Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (No-Homogéneas)

12.10.202003.06.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes
1. Teorema (Principio de Superposición – Ecuaciones No-Homogéneas)
Método de los Coeficientes Indeterminados
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1
  2. Ejemplo 2

Los métodos para calcular la solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Las funciones $a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x)$ que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

$a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)$

Donde $a_0, a_1, \ldots, a_n$ son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de $g(x)$ . Diremos que una ecuación de este tipo es no-homogénea si $g(x) \neq 0$ , y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes

Habiendo clasificado las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales como homogéneas y no-homogéneas, pudimos establecer un principio (de superposición) que nos determinó la forma en que está expresada la solución general del caso homogéneo. Durante esta sección, podremos generalizar este principio para el caso no-homogéneo. Pero antes debemos precisar algunos elementos.

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden $n$ expresada de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Definimos su ecuación homogénea asociada, considerando $g(x)=0$ de la siguiente forma

$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0$

Sabiendo como calcula la solución general esta ecuación homogénea asociada, veremos en el siguiente teorema que esta juega un papel fundamental para poder definir la solución general de la ecuación no-homogénea asociada.

Teorema (Principio de Superposición – Ecuaciones No-Homogéneas)

Si $y_p$ es una solución particular de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden $n$ de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

definida en un intervalo $I$ ; $y_1,y_2, \ldots ,y_n$ conforman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada en el intervalo $I$ , entonces la siguiente combinación lineal

$y = c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n + y_p$

también es una solución de la ecuación no-homogénea.

De este teorema, diremos que $c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n$ es la solución complementaria y la denotaremos por $y_c$ . De esta forma, podemos expresar la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de la siguiente forma

El Principio de Superposición para ecuaciones no-homogéneas puede ser generalizado tomando en cuenta que si tenemos $k$ ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x)$
$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_2(x)$
$\vdots$
$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_k(x)$

donde $y_{p_1},y_{p_2}, \ldots ,y_{p_k}$ son soluciones particulares correspondientes. Entonces, la suma de todas estas soluciones particulares,

$y_p = y_{p_1} + y_{p_2} + \ldots + y_{p_k}$

Será una solución particular de la ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x) + \ldots + g_k(x)$

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Método de los Coeficientes Indeterminados

Conociendo esta última generalización, veamos un método que se basa en intuir cómo debería ser la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea fijándonos en la forma en que está expresada la función $g(x)$ . Desarrollaremos este método para tres formas básicas de la función $g(x)$ .

Forma Polinómica

Si $g(x)$ es un polinomio de grado $m$ expresado de la forma

$g(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma polinómica pues derivando polinomios, obtenemos polinomios, es decir, de la forma

$y_p(x)= A_n x^n + \ldots + A_1 x + A_0$

Forma Exponencial

Si $g(x)$ es una función exponencial expresada de la forma

$g(x) = a \textit{\Large e}^{m x}$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma exponencial pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

$y_p(x) = A \textit{\Large e}^{m x}$

De forma general, si $g(x)$ es una función exponencial expresada de la forma

$g(x) = a_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + a_1 x \textit{\Large e}^{m x} + a_0 \textit{\Large e}^{m x}$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma polinómica pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

$y_p(x)= A_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + A_1 x \textit{\Large e}^{m x} + A_0 \textit{\Large e}^{m x}$

Forma Trigonométrica

Si $g(x)$ está expresada como la suma de senos y cosenos de la forma

$g(x) = a \sin(x) + b \cos(x)$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma de suma de senos y cosenos pues \emph{derivando senos y cosenos, obtenemos senos y cosenos}, es decir, de la forma

$y_p(x)= A \sin(x) + B \cos(x)$

Estos tres casos pueden combinarse ya sea con sumándolos o multiplicándolos entre sí, de esta forma podemos ampliar el espectro de soluciones que podemos considerar para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes.

Para entender como aplicar este método, veamos algunos ejemplos que ilustrarán con precisión el desarrollo del mismo.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$y'' + 4y'-2y = 2x^2 - 3x +6$

Antes de abordar esta ecuación, debemos recordar que la solución general de este tipo de ecuaciones se expresa como

$y = y_c + y_p$

Como primer paso debemos calcular la solución complementaria $y_c$ . Considerando la ecuación homogénea asociada $y'' + 4y'-2y=0$ , podemos expresar su ecuación auxiliar $m^2 + 4m - 2 = 0$ y calcular su solución utilizando el método del discriminante:

$m = \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}i}{2} = -2 \pm i \sqrt{6}$

Por lo tanto, expresamos la solución complementaria de la siguiente manera:

$y_c = c_1 \textit{\Large e}^{-2x} cos(\sqrt{6}) + c_2 \textit{\Large e}^{-2x} sen(\sqrt{6})$

Como segundo paso, debemos notar que en la ecuación diferencial planteada, $g(x)=2x^2-3x+6$ , es una función polinómica de segundo grado. Así, intuitivamente nuestra solución particular debería tener la siguiente forma

$y_p = Ax^2 + Bx + C$

Nuestro propósito será el de hallar $A$ , $B$ y $C$ y para esto sustituimos $y_p$ en la ecuación original pues esta debe satisfacer la igualdad. Entonces

$y'_p \ = \ 2Ax + B$

$y''_p \ = \ 2A$

Sustituimos en la ecuación diferencial que hemos planteado originalmente para obtener

Considerando únicamente la expresión que está del lado izquierdo de la ecuación, expandimos distribuyendo los factores involucrados y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a $x$ , $x^2$ y los términos independientes.

$2A + 8Ax + 4B - 2Ax^2 - 2Bx - 2C$
$\Rightarrow \; - 2Ax^2 + 8Ax - 2Bx + 2A + 4B - 2C$
$\Rightarrow \; (-2A)x^2 + (8A - 2B)x + (2A + 4B - 2C)$

Esta última expresión debe ser exactamente igual a $2x^2 - 3x +6$ , entonces los coeficientes correspondientes también deben ser exactamente iguales, por lo que planteamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Así, nuestra solución particular viene dada por

$y_p = -x^2 -\frac{5}{2}x -9$

Finalmente, la solución general está expresada de la siguiente manera:

Ejemplo 2

En este ejemplo veremos que debemos ser cuidadosos al calcular la solución pues la escogencia intuitiva pudiera no ser la más correcta, así que debemos recurrir a otra escogencia más general. Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

$3y''' - 15y''+ 7y'= \textit{\Large e}^{3x} -8x$

Antes de abordar esta ecuación, debemos recordar que la solución general de este tipo de ecuaciones se expresa como

$y = y_c + y_p$

Como primer paso debemos calcula la solución complementaria $y_c$ . Considerando la ecuación homogénea asociada $3y''' - 15y''+ 7y'=0$ , podemos expresar su ecuación auxiliar $3m^3 - 15m^2 + 7m = m(3m^2 - 15m + 7) = 0$ y calcular su solución utilizando el método del discriminante una vez que hemos factorizado:

$m = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2-4(3)(7)}}{2(3)} = \frac{15 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{15 \pm 2\sqrt{21}}{6}$

Por lo tanto, expresamos la solución complementaria de la siguiente manera:

$y_c = c_1\textit{\Large e}^{0 \cdot x} + c_2 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 + 2\sqrt{21}}{6} \right)x} + c_3 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 - 2\sqrt{21}}{6} \right)x}$

Es decir,

$y_c = c_1 + c_2 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 + 2\sqrt{21}}{6} \right)x} + c_3 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 - 2\sqrt{21}}{6} \right)x}$

Como segundo paso, debemos notar que en la ecuación diferencial planteada, $g(x)=\textit{\Large e}^{3x} - 8x$ , una función exponencial más una función polinómica de primer grado. Así, intuitivamente nuestra solución particular debería tener la siguiente forma

$y_p = A\textit{\Large e}^{3x} + Bx + C$

Nuestro propósito será el de hallar $A$ , $B$ y $C$ y para esto sustituimos $y_p$ en la ecuación original pues esta debe satisfacer la igualdad. Entonces

$y'_p \ = \ 3A\textit{\Large e}^{3x} + B$

$y''_p \ = \ 9A\textit{\Large e}^{3x}$

$y'''_p \ = \ 27A\textit{\Large e}^{3x}$

Sustituimos en la ecuación diferencial que hemos planteado originalmente para obtener

Considerando únicamente la expresión que está del lado izquierdo de la ecuación, efectuamos los factores involucrados y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a $\textit{\Large e}^{3x}$ y los términos independientes.

$81A\textit{\Large e}^{3x} - 135A\textit{\Large e}^{3x}+ 21A\textit{\Large e}^{3x} + 7B$
$\Rightarrow \; (81 - 135 + 21) A\textit{\Large e}^{3x} + 7B$
$\Rightarrow \; -33A\textit{\Large e}^{3x} + 7B$

Esta última expresión debe ser exactamente igual a $\textit{\Large e}^{3x} -8x$ , entonces los coeficientes correspondientes también deben ser exactamente iguales, por lo que planteamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Sin embargo, estos coeficientes no proveen una solución pues

$y_p = -\frac{1}{33}\textit{\Large e}^{3x} + 0x + C = -\frac{1}{33}\textit{\Large e}^{3x} + C$

y al plantear de esta forma la solución particular, no se satisface la igualdad por lo tanto será necesario replantearla.

La teoría sugiere aumentar en un grado la función donde se presenta el problema, por lo tanto, en este caso aumentaremos en un grado el elemento polinómico de la solución particular. Entonces, si consideramos $y_p \ = \ A\textit{\Large e}^{3x} + Bx^2 + Cx + D$ , tenemos que

$y'_p \ = \ 3A\textit{\Large e}^{3x} + 2Bx + C$

$y''_p \ = \ 9A\textit{\Large e}^{3x} + 2B$

$y'''_p \ = \ 27A\textit{\Large e}^{3x}$

Sustituimos estas nuevas expresiones en la ecuación diferencial que hemos planteado originalmente para obtener

$81A\textit{\Large e}^{3x} - 135A\textit{\Large e}^{3x} -30B + 21A\textit{\Large e}^{3x} + 14Bx + 7C$
$\Rightarrow \; (81 - 135 + 21) A\textit{\Large e}^{3x} + 14Bx + 7C$
$\Rightarrow \; -33A\textit{\Large e}^{3x} + 14Bx + 7C$

Así, nuestra solución particular viene dada por

$y_p = -\frac{1}{33}\textit{\Large e}^{3x} -\frac{4}{7}x^2 + \frac{120}{49}x + D$

Finalmente, expresamos nuestra solución.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (Homogéneas)

11.10.202002.07.2025 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Los métodos para calcular al solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Las funciones $a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x)$ que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

$a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)$

Donde $a_0, a_1, \ldots, a_n$ son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de $g(x)$ . Diremos que una ecuación de este tipo es homogénea si $g(x)=0$ , y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes de segundo orden

Consideremos de forma particular, una ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes constantes de segundo orden, de la cual no conocemos ninguna solución particular, expresada de la siguiente forma:

$ay'' + by' + cy = 0$

Notemos que al ser todos sus coeficientes constantes, entonces todos sus coeficientes son funciones continuas en cualquier intervalo $I$ , por lo tanto podemos garantizar que existe una solución.

La Ecuación Auxiliar

La ecuación que hemos considerado se puede reescribir como $y'' = \alpha y' + \beta y$ , esta expresión sugiere que la segunda derivada de la solución que estamos buscando es una combinación lineal de la primera y segunda derivada. Podemos intuir con certeza que una función de la forma $y=\textit{\Large e}^{mx}$ cumple con esta propiedad pues

$y=\textit{\Large e}^{mx}$

$y'=m\textit{\Large e}^{mx}$

$y''=m^2\textit{\Large e}^{mx}$

Entonces, sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación que hemos planteado, tenemos que

$am^2\textit{\Large e}^{mx} + bm\textit{\Large e}^{mx} + c\textit{\Large e}^{mx} = 0$

Podemos factorizar esta expresión, pues si sacamos $\textit{\Large e}^{mx}$ como un factor obtenemos

$\textit{\Large e}^{mx} ( am^2 + bm + c) = 0$

Tomando en cuenta que la función exponencial siempre es distinta de cero, tenemos que $\textit{\Large e}^{mx} \neq 0$ , entonces para que esta igualdad se satisfaga, necesariamente el otro factor involucrado debe ser igual a cero, es decir,

$am^2 + bm + c = 0$

Esta última es una ecuación cuadrática y en este caso la llamamos ecuación auxiliar. Nuestro propósito será el calcular el valor $m$ que la satisface pues de esta forma hallamos la función $y$ , para esto usamos el método del discriminante del cual obtenemos dos valores.

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \text{ y } m_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

A partir de aquí debemos tener tres consideraciones antes de que expresar nuestra solución:

Discriminante positivo

Si $b^2-4ac > 0$ , entonces $m_1$ y $m_2$ son dos números reales distintos, obtenemos dos soluciones particulares $y_1 = \textit{\Large e}^{m_1 x}$ y $y_2 = \textit{\Large e}^{m_2 x}$ por lo que la solución general está definida como

$y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1 x} + c_2 \textit{\Large e}^{m_2 x}$

Discriminante igual a cero

Si $b^2-4ac = 0$ , entonces $m_1$ y $m_2$ son dos números reales exactamente iguales $\frac{-b}{2a}$ , por lo que la una solución particular está definida como $y_1=\textit{\Large e}^{m_1x}$ , sin embargo, ¿cómo determinamos la otra solución particular?

Considerando la ecuación $ay'' + by' + cy = 0$ , entonces estandarizamos la ecuación

$y'' + \frac{b}{a}y' + \frac{c}{a}y = 0$

Y recordemos que si conocemos una solución particular $y_1$ de una ecuación, la otra solución particular $y_2$ se puede calcular aplicando la siguiente fórmula

$y_2(x) \ = \ y_1(x) \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int P dx}}{ \left( y_1(x) \right)^2} dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{m_1 x} \right)^2} dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Huge e}^{\tiny - \int \frac{b}{a} dx}}{ \left( \textit{\Large e}^{\frac{-b}{2a} x} \right)^2} dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int \frac{\textit{\Large e}^{\tiny - \frac{b}{a} x}}{ \textit{\Large e}^{- \frac{b}{a} x} } dx$

$= \ \textit{\Large e}^{m_1 x} \int dx$

$= \ x \textit{\Large e}^{m_1 x}$

Por lo tanto, la solución general está definida como

$y = c_1 \textit{\Large e}^{m_1x} + c_2 x \textit{\Large e}^{m_1x}$

Discriminante negativo

Si $b^2-4ac < 0$ , entonces $m_1$ y $m_2$ son dos números complejos distintos de la forma $m_1=\alpha + i\beta$ y $m_2=\alpha-i\beta$ donde $\alpha,\beta<0$ e $i^2=-1$ . Formalmente no hay diferencia entre este y el primer caso, por lo que la solución será

$y = c_1 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x} + c_2 \textit{\Large e}^{(\alpha + i\beta)x}$

Sin embargo, será necesario reescribir esta función en términos de números reales, por esta razón recurrimos a una serie de artilugios matemáticos que al final nos darán como resultado

$y = c_1 \textit{\Large e}^{\alpha x} cos(\beta x) + c_2 \textit{\Large e}^{\alpha x} sen(\beta x)$