Autor: Anthonny Arias-García

Sub-Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.
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La Propiedad Distributiva

Anthonny Arias-García6 comentarios

Al sumar números reales tenemos la libertad de asociar los números involucrados con ligereza y de igual forma, podemos asociar los números involucrados si estamos multiplicando números reales, sin embargo, debemos ser precavidos cuando nos topamos con operaciones mixtas, es decir, sumas y productos al mismo tiempo. A continuación veremos una propiedad que nos permite operar sumas y productos al mismo tiempo.

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La propiedad distributiva establece que si un número multiplica a la suma de dos números, entonces el factor involucrado se distribuye entre cada uno de los sumandos. Formalmente, si a, b y c son números reales, entonces

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Podemos también aplicar esta propiedad si dentro de los paréntesis está involucrada una resta en vez de una suma, de la siguiente forma:

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Notamos que si observamos esta igualdad de derecha a izquierda, estamos tomando el factor común que hay en ambos sumandos y lo estamos sacando a multiplicar:

a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)

Esta es una de las propiedades más usadas en al cálculo de operaciones mixtas y a partir de ellas, se deducen algunos casos que facilitan la simplificación de expresiones matemáticas. Veamos algunos ejemplos para entender bien esta propiedad:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot (1 + 6). En este caso no es necesario usar la propiedad distributiva ya que podemos sumar los números que están dentro de los paréntesis y posteriormente multiplicar de la siguiente forma:

2 \cdot (1 + 6) = 2 \cdot 7 = 14

Ejemplo 2

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 6, por lo tanto no se puede sumar con 1, entonces distribuimos el factor involucrado

2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2 \sqrt{6}

Ejemplo 3

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de 10 y el otro es una incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces distribuimos el factor involucrado

5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right) = 5 \cdot x - 5 \cdot \sqrt{10} = 5x - 5\sqrt{10}

Ejemplo 4

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión x \cdot \left( x + x^2 \right). Notemos que uno de los sumandos involucrados una incógnita y el otro es una incógnita elevada al cuadrado, por lo tanto no se pueden sumar, entonces distribuimos el factor involucrado

x \cdot \left( x + x^2 \right) = x \cdot x + x \cdot x^2 = x^2 + x^3

Ejemplo 5

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión 18 + 3\sqrt{7}. Notemos que 18=3 \cdot 6, entonces,

18 + 3\sqrt{7} = 3 \cdot 6 + 3 \sqrt{7} = 3 \cdot \left( 6 + \sqrt{7} \right)

Ejemplo 6

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión x^4 - 8x. Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita elevada a la cuatro y el otro es 8 veces dicha incógnita, por lo tanto no se pueden restar, entonces

x^4 - 8x = x \cdot x^3 - x \cdot 8 = x \cdot \left( x^3 - 8 \right)

Ejemplo 7

Use la propiedad distributiva para sacar el factor común de la expresión 12x^7 + 15x^4. Estos dos elementos no se pueden sumar, entonces

12x^7 + 15x^4 = 3 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot x^3 + 3 \cdot 5 \cdot x^4 = 3 x^4 \cdot \left( 4x^3 + 5 \right)

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Ejemplo 8

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 2 \cdot (3x + 4 + 7x + 5). Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

2 \cdot (3x + 7x + 4 + 5)

Sumamos los elementos que están multiplicando a x y por otra parte, los términos independientes.

2 \cdot (10x + 9)

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

20x + 18

Ejemplo 9

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión 5 \cdot (10 + x - 5x + 6y - 6 + 8y). Notemos que podemos agrupar los elementos que están dentro de los paréntesis, para obtener

5 \cdot (x - 5x + 6y +8y + 10 - 6)

Sumamos los elementos que están multiplicando a x, por otra parte los elementos que están multiplicando a y y por otra parte, los términos independientes.

5 \cdot (- 4x + 14y + 4)

Finalmente, efectuamos la propiedad distributiva.

-20x + 70y + 20

Ejemplo 10

Use la propiedad distributiva para expandir la expresión (\frac{24}{100}q + 10) \cdot q. Pese a que la variable q aparece como un factor en el lado derecho de la expresión, podemos distribuirlo en cada uno de los sumandos tal como si apareciera del lado izquierdo:

\frac{24}{100}q \cdot q + 10 \cdot q

Notando que al multiplicar $q \cdot q$, ambos factores tienen la misma base, entonces obtenemos lo siguiente

\frac{24}{100}q^2 + 10q

Video Complementario

Productos Complementarios y Suplementarios

Anthonny Arias-García1 comentario
  1. Productos Suplementarios
  2. Productos Complementarios
  3. Ejemplo

En ocasiones, dos productos pudieran estar relacionados de modo que los cambios en el precio de uno afectan la demanda del otro, el uso de derivadas parciales permite determinar qué tipo de cambios se generan.

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Productos Suplementarios

Si consideramos la Coca-Cola y la Pepsi, al ser estos dos productos muy similares, es natural que al no poder adquirir uno, los consumidores opten por adquirir el otro. De forma particular, si sube el precio de uno, los consumidores se verán mas dispuestos a adquirir el otro. A este tipo de productos los llamamos Productos Suplementarios, Competitivos o Sustitutivos.

Conociendo las ecuaciones de demanda de dos productos es posible determinar si estos son suplementarios haciendo un análisis marginal. Para ser más precisos si q_A (P_A , P_B) y q_B (P_A , P_B) son las ecuaciones de demanda de dos productos A y B, entonces

\text{Si } \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} > 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} > 0

Diremos que estos A y B son Productos Suplementarios, pues cuando aumenta el precio de uno, aumenta la demanda del otro.

Productos Complementarios

Por otra parte, si consideramos la cebolla y el tomate, usualmente estos dos productos son usados como ingredientes se encuentran combinados en una gran cantidad de platos de la cocina venezolana, por lo tanto si una persona no se encuentra en disposición de adquirir uno de ellos, no estará tentada a adquirir el otro. De forma particular, si aumenta el precio de uno los consumidores se verán menos dispuestos a comprar el otro. A este tipo de productos los llamaremos Productos Complementarios.

Conociendo las ecuaciones de demanda de dos productos es posible determinar si estos son complementarios haciendo un análisis marginal. Para ser más precisos si q_A (P_A , P_B) y q_B (P_A , P_B) son las ecuaciones de demanda de dos productos A y B, entonces

\text{Si } \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} < 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} < 0

Diremos que estos A y B son Productos Complementarios, pues cuando aumenta el precio de uno, disminuye la demanda del otro.

En otro caso, concluiremos que no son ni complementarios ni suplementarios.

Ejemplo

Supongamos que las funciones de demanda para los plátano chips y papa chips vienen dadas por

q_A(P_A,P_B) = \dfrac{50 \cdot \sqrt[3]{P_B}}{\sqrt{P_A}} y q_B(P_A,P_B) = \dfrac{75 \cdot P_A}{\sqrt[3]{P_B^2}}

respectivamente.

Determinaremos si estos productos son complementarios o suplementarios calculando las funciones marginales de la demanda de uno respecto al precio del otro.

\dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} = \dfrac{50}{\sqrt{P_A}} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot P_B^{-2/3} > 0

\dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} = \dfrac{75}{\sqrt[3]{P_B^2}} > 0

Estas expresiones son positivas, ya que al representar precios, P_A y P_B son son considerados como valores positivos. Por lo tanto concluimos que estos dos productos son suplementarios ya que cuando aumenta el precio de uno, aumenta la demanda del otro.

Derivadas Parciales Implícitas

Anthonny Arias-García2 comentarios

No todas las funciones se expresan de forma explícita, esto es, como una variable que depende enteramente de otras. Al considerar más de dos variables, encontramos nuevamente funciones expresadas forma implícita, es decir, como una relación entre tres o más variables que depende una de la otra a través de una igualdad. Por ejemplo, si consideramos la ecuación

x^2+y^2+z^2=1

esta es la función implícita que define una esfera en el espacio centrada en el origen y de radio igual a 1.

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas parciales, sin embargo, al no poder estudiar la función como un todo, será necesario estudiar las variables una a una como si éstas fueran variables dependientes, de forma que calculamos la derivada de una variable derivada respecto a otra variable, esto implica que se deben fijar las variables no involucradas. Por ejemplo, si queremos calcular la derivada de la variable z respecto a la variable x, debemos fijar la variable y. Veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea x^2+y^2+z^2=1 una función implícita. Calcule la derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{\partial y}{\partial x}.

De la misma forma que con la derivación implícita, derivamos a ambos lados de la ecuación, en este caso derivamos respecto a la variable x:

\dfrac{\partial \left( x^2+y^2+z^2 \right) }{\partial x} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial x}

Posteriormente, al derivar una suma podemos separar cada uno de los sumandos para calcular la deriva de cada uno

\dfrac{\partial ( x^2 ) }{\partial x} + \dfrac{\partial ( y^2 ) }{\partial x} + \dfrac{\partial ( z^2 ) }{\partial x} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial x}

Derivamos la función x^2 respecto a x usando la propiedad del exponente tal como la hemos aprendido, sin embargo, al derivar y^2 debemos tomar en cuenta que la variable y se está comportando como una variable dependiente De esta forma, debemos aplicar la regla de la cadena tal como si estuviéramos derivando una función. Por último, z se comporta como una constante así que la derivada de z^2 y de 1 es igual a 0.

2x + 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} + 0 = 0

Finalmente, despejamos \frac{\partial y}{\partial x} para expresar esta derivada de forma explícita.

\Rightarrow \; 2x + 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = 0

\Rightarrow \; 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = -2x

\Rightarrow \; \frac{\partial y}{\partial x} = \dfrac{-2x}{2y}

\Rightarrow \; \frac{\partial y}{\partial x} = -\dfrac{x}{y}

Nota: La regla de la cadena indica que si tenemos una función compuesta de la forma f^n, entonces la derivada de esta viene dada por n \cdot f^{n-1} \cdot f'.

Supongamos ahora que queremos calcular la derivada de la variable z respecto a la variable y, es decir, calcule \frac{\partial z}{\partial y}.

x^2+y^2+z^2=1

\; \Rightarrow \; \dfrac{\partial \left( x^2+y^2+z^2 \right) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial y}

\Rightarrow \; \dfrac{\partial ( x^2 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( y^2 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( z^2 ) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial y}

\Rightarrow \; 0 + 2y + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0

\Rightarrow \; 2y + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0

\Rightarrow \; 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = -2y

\Rightarrow \; \frac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{-2y}{2z}

\Rightarrow \; \frac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{y}{z}

Para simplificar la escritura de este tipo de ejercicios, podemos usar la notación que planteamos para derivadas parciales usando un subíndice sobre la variable dependiente para indicar cuales la variable respecto a la cual estamos derivando. De esta forma se pueden ilustrar este tipo de ejercicios con mayor claridad, siempre que se tenga claro el papel que juega cada una de las variables.

Ejemplo 2

Sea 7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8=8yz una función implícita. Calcule la derivada de la variable x respecto a la variable z, es decir, calcule \frac{\partial x}{\partial z} = x_z.

7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8=8yz

\Rightarrow \; \dfrac{\partial \left( 7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8 \right) }{\partial z} = \dfrac{\partial ( 8yz ) }{\partial z}

\Rightarrow \; \dfrac{\partial ( 7\sqrt[3]{y^2} ) }{\partial z} - \dfrac{\partial ( 5xy^5 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( 4xz^8 ) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 8yz ) }{\partial y}

\Rightarrow \; 0 - 5 x_z y^5 + 4 x_z (8z^8) = 8y

\Rightarrow \; - 5 y^5 \cdot x_z + 32 z^8 \cdot x_z = 8y

\Rightarrow \; x_z(- 5 y^5 + 32 z^8) = 8y

\Rightarrow \; x_z = \dfrac{8y}{(- 5 y^5 + 32 z^8) }

Ejemplo 3

Sea \ln(-9xz + 4x^2yz) = 2x^7y^4 una función implícita. Para facilitar la escritura de las derivadas de esta función, podemos identificar el argumento del logaritmo con una variable auxiliar, digamos $a$, para obtener \ln(a) = 2x^7y^4.

Calcule y_z.

\ln( \underbrace{-9xz + 4x^2yz}_\text{a} )

= 2y^4x^7 \; \Rightarrow \; \frac{1}{a} \cdot \big(-9x + 4x^2(y_z \cdot z + y) \big) = 2x^7(4y^3 \cdot y_z)

\Rightarrow \; -9x + 4x^2(z \cdot y_z + y) = 8x^7y^3 \cdot y_z \cdot a

\Rightarrow \; -9x + 4x^2 z \cdot y_z + 4x^2y = 8x^7y^3 a \cdot y_z

\Rightarrow \; 4x^2 z \cdot y_z - 8x^7y^3 a \cdot y_z = 9x - 4x^2y

\Rightarrow \; (4x^2 z - 8x^7y^3 a ) \cdot y_z = 9x - 4x^2y

\Rightarrow \; y_z = \dfrac{9x - 4x^2y}{4x^2 z - 8x^7y^3 a }

Calcule z_x

\ln( \underbrace{-9xz + 4x^2yz}_\text{a} )

= 2x^7y^4 \; \Rightarrow \; \frac{1}{a} \cdot \big(-9(z + x \cdot z_x) + 4y(2xz + x^2 \cdot z_x) \big) = 14x^6y^4

\Rightarrow \; -9z -9 x \cdot z_x + 8xyz + 4x^2y \cdot z_x = 14x^6y^4 a

\Rightarrow \; -9 x \cdot z_x + 4x^2y \cdot z_x = 14x^6y^4 a + 9z - 8xyz

\Rightarrow \; (-9 x + 4x^2y) \cdot z_x = 14x^6y^4 a + 9z - 8xyz

\Rightarrow \; z_x = \dfrac{14x^6y^4 a + 9z - 8xyz}{(-9 x + 4x^2y)}

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Finalmente, siempre recordemos que al calcular derivadas de funciones en varias variables tendremos una variable dependiente, una independiente y las demás se fijan. La nota siguiente nos ayudará a recordar:

Note que en el numerador siempre tendremos la variable dependiente y en el denominador la variable independiente.

Optimización con restricciones – Multiplicadores de Lagrange

Anthonny Arias-García4 comentarios
  1. Método de los Multiplicadores de Lagrange
    1. Ejemplo

En el estudio de máximos y mínimos de funciones en varias variables, comúnmente se encuentran restricciones sobre las variables involucradas, por ejemplo, al considerar una función de costos conjuntos de una empresa que produce dos artículos A y B tal que la cantidad total de unidades producidas debe ser igual a 200, en este caso tendríamos que

x+y=200

suponiendo que x es la cantidad de unidades producidas del artículo A y y la cantidad de unidades producidas del artículo B.

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Método de los Multiplicadores de Lagrange

Al encontrar restricciones sobre las variables, debemos ser cautelosos en el cálculo de los extremos relativos ya que debemos tomar consideraciones adicionales. Debemos entonces establecer un nuevo método que nos permita calcular estos extremos relativos. De esta forma definimos el Método de los Multiplicadores de Lagrange de la siguiente forma:

Sea f(x,y) una función en varias variables y sea g(x,y)=0 una restricción sobre estas variables. Para calcular los puntos críticos de esta función. consideramos una variable auxiliar \lambda y definimos una función auxiliar F como sigue

F(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda \cdot g(x,y)

Nuestro propósito será el de calcular los puntos críticos de esta función auxiliar F, pues si (x_0,y_0,\lambda_0) es un punto crítico de F, entonces (x_0,y_0) es punto crítico de f sujeta a la restricción indicada. Para esto debemos calcular la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Finalmente, evaluamos la función f(x,y) en los puntos que satisfacen el sistema de ecuaciones y a partir de los valores resultantes concluimos lo siguiente:

Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de funciones con restricción sobre sus variables.

Ejemplo

Sea f(x,y) = 3x^2 + 2y^2 + 80 una función, cuyas variables están restringidas a x+y=30. Determine los extremos relativos de esta función considerando la restricción indicada.

Para empezar, debemos reescribir la restricción como una función g(x,y) de la siguiente forma g(x,y)=x+y-30=0

Obteniendo la función g(x,y), definimos nuestra función auxiliar F(x,y,\lambda) como

F(x,y,\lambda)

\; = \; f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)

\; = \; 3x^2 + 2y^2 + 80-\lambda \cdot (x+y-30)

Y planteamos el sistema de ecuaciones siguiente para calcular los puntos críticos de esta función:

Sustituimos x = \dfrac{\lambda}{6} y y = \dfrac{\lambda}{4} en la última ecuación para hallar el valor de \lambda

x+y = 30

\Rightarrow \; \dfrac{\lambda}{6} + \dfrac{\lambda}{4} = 30

\Rightarrow \; \dfrac{10}{24} \lambda = 30

\Rightarrow \; \lambda = 30 \dfrac{24}{10}

\Rightarrow \; \lambda = 72

Ahora sustituimos \lambda = 72 en x = \frac{\lambda}{6} y y = \frac{\lambda}{4}:

Concluimos entonces que el punto (12,18,72) es el punto crítico de la función F(x,y,\lambda) y en consecuencia, el punto (12,18) es un punto crítico de la función f(x,y) cuando las variables x y y están restringidas a x+y=30. Calculamos ahora las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir D(x,y).

f_x(x,y) = 6x \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 6

f_y(x,y) = 4y \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 4

f_{xy}(x,y) = 0

D(x,y)= f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 4 - 0 = 24

Finalmente, como D(12,18) = 24 > 0 y f_{xx}(12,18) = 6 > 0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (12,18).

Optimización (en varias variables)

Anthonny Arias-García3 comentarios

Al estudiar funciones de una sola variable pudimos determinar los puntos en los cuales estas alcanzaban sus extremos locales, y también podremos encontrar extremos locales para funciones de varias variables generalizando el método que usamos para una variable tomando en cuenta que ya no trabajaremos con intervalos si no con regiones muy particulares en el plano XY.

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Diremos que una función alcanza un máximo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \leq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por debajo de la imagen de (x_0,y_0).

Diremos que una función alcanza un mínimo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \geq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por encima de la imagen de (x_0,y_0).

Los máximos y mínimos de una función, serán llamados extremos locales, y estarán íntimamente relacionados con la primera derivada parcial de la función. En estos puntos, las rectas tangentes a la curvas que se definen al fijar las variables son horizontales, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que las derivadas parciales se anulan al mismo tiempo (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que (x_0,y_0) es un punto crítico de f(x,y) si

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La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta que son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa.

Para determinar si un punto crítico (x_0,y_0) es un máximo o mínimo relativo debemos calcular las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir una función auxiliar D(x,y) de la siguiente forma

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2

en todos los puntos cercanos al punto (x_0,y_0) y posteriormente considerar los siguientes criterios:

  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}<0, entonces f alcanza un máximo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}>0, entonces f alcanza un mínimo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)<0, entonces f alcanza un punto de silla en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)=0, no hay información suficiente para concluir el comportamiento de f en el punto (x_0,y_0).

A este criterio lo llamamos Criterio de la Segunda Derivada para funciones de dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de una función en varias variables.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=3x^2+5y^2-12x-30y+200, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

f_x(x,y) = 0

f_y(x,y) = 0

6x - 12 = 0

10y - 30 = 0

x = 2

y = 3

Así el punto crítico de esta función es (2,3). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=6, \, f_{yy}(x,y)=10, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 10 - 0 = 60

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) = 60

Finalmente, como D(2,3)>0 y f_{xx}(2,3)>0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (2,3).

Ejemplo 2

Sea f(x,y)=y^2-x^2, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

f_x(x,y) = 0

f_y(x,y) = 0

-2x = 0

2y = 0

x = 0

y = 0

Así el punto crítico de esta función es (0,0). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=-2, \, f_{yy}(x,y)=2, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = -2 \cdot 2 - 0 = -4

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) =-4

Finalmente, como D(2,3)<0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un punto de silla en el punto (0,0). Para entender exactamente por qué se llama punto de silla, observemos el gráfico de esta función y veamos su comportamiento en los puntos cercanos a (0,0):