Autor: Anthonny Arias-García

Sub-Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.
Sucesiones | totumat.com

Comportamiento de una sucesión

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario
  1. Sucesión Creciente
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
  2. Sucesión Decreciente
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 4
      2. Ejemplo 5
      3. Ejemplo 6
  3. Caso especial

Las sucesiones pierden sentido si no se comparan sus elementos entre sí, pues su importancia radica en el comportamiento que estas describen a medida que crece el número natural con el que es correspondido cada elemento. Veamos entonces cuales son los principales comportamientos que podemos encontrar al estudiar sucesiones.

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Sucesión Creciente

Diremos que una sucesión a_n es creciente si a medida que crece el valor de n, entonces crece su valor correspondiente. Formalmente, si a_i \leq a_j para todo par de números naturales i < j, y más aún, diremos que a_n es estrictamente creciente si a_i < a_j para todo par de números naturales i < j. Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión \left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \} , esta sucesión es creciente, más aún, es estrictamente creciente.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión \left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}, esta sucesión es creciente, más aún, es estrictamente creciente.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión \left\{ -2 \right\}_{n} =\{ -2, -2, -2, -2, -2, -2, \ldots \} , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Sucesión Decreciente

Diremos que una sucesión a_n es \textbf{decreciente} si a medida que crece el valor de n, entonces decrece su valor correspondiente. Formalmente, si a_i \leq a_j para todo par de números naturales i > j, y más aún, diremos que a_n es estrictamente creciente si a_i < a_j para todo par de números naturales i > j. Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \} , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión \left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\} , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión \left\{ 1 \right\}_{n} = \{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \} , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Caso especial

Hay sucesiones que no son ni crecientes ni decrecientes, esto es lo que ocurre con los sucesiones alternantes, consideremos la sucesión \left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \} y veamos su comportamiento de forma gráfica:

Sucesiones

Anthonny Arias-García3 comentarios
  1. Definición de Sucesión
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1: Sucesión Constante
      2. Ejemplo 2: Sucesión de los Números Naturales
      3. Ejemplo 3: Sucesión de Proporcionalidad Inversa
      4. Ejemplo 4
      5. Ejemplo 5: Sucesión de los Números Pares
      6. Ejemplo 6: Sucesión de los Números Impares
      7. Ejemplo 7: Sucesión Alternante
      8. Ejemplo 8: Sucesión Recursiva

A menudo, en las matemáticas, es necesario proceder paso a paso, contando detalladamente lo que ocurre en cada paso. Es por esto que definimos las sucesiones, pues tomando en cuenta que el conjunto de los números naturales es un conjunto contable, podemos establecer una relación entre estos y cualquier conjunto para estudiar su comportamiento.

Las sucesiones sientan una base para el cálculo infinitesimal y además, permiten, estudiar fenómenos en distintos ámbitos de las ciencias básicas y ciencias sociales.

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Definición de Sucesión

Definimos una sucesión de números reales como una regla de correspondencia que corresponde a cada número natural con un único número real, es decir, una sucesión es una función que parte de desde \mathbb{N} y llega hasta \mathbb{R}, entonces, si a es una sucesión, tenemos que:

a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}

Al trabajar con sucesiones, la notación de función puede sobrecargar la nomenclatura, es por esto que la regla de correspondencia a(n) para cada n \in \mathbb{N} que define la sucesión usualmente se denota de la siguiente forma

a_n

De esta forma, podemos expresar a las sucesiones como conjuntos, ya sea de forma comprensiva, definiendo la regla general que define a todos los elementos del conjunto o de forma extensiva, nombrando todos sus elementos como veremos a continuación:

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Aunque también se puede expresar de forma comprensiva usando las notaciones \{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} o (a_{n}).

Al ser las sucesiones representadas como conjuntos, llamaremos elemento a cada número real que la compone, sin embargo, para ser más específicos, al hacer referencia a la posición que cada elemento en el orden de la sucesión, se le llamará término.

Veamos en los siguientes ejemplos algunas de las sucesiones básicas. Como ejercicio mental para el lector, vea primero el conjunto que define la sucesión y piense cual es la regla general que la define.

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Ejemplos

Ejemplo 1: Sucesión Constante

Si consideramos la sucesión \{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}, notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número 1. De forma que

  • a_1 = 1
  • a_2 = 1
  • a_3 = 1
  • a_4 = 1
  • a_5 = 1
  • \ldots

Esta sucesión será llamada sucesión constante uno y la regla general que define a esta sucesión es

a_{n} = 1.

De forma general, la sucesión \{ c, c, c, c, c, c, \ldots \} definida por a_{n} = c donde c es un número real, será llamada sucesión constante c.

Ejemplo 2: Sucesión de los Números Naturales

Si consideramos la sucesión \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}, notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo. De forma que

  • a_1 = 1
  • a_2 = 2
  • a_3 = 3
  • a_4 = 4
  • a_5 = 5
  • \ldots

Esta sucesión será llamada sucesión de los números naturales y la regla general que define a esta sucesión es

a_{n} = n.

Ejemplo 3: Sucesión de Proporcionalidad Inversa

Si consideramos la sucesión \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}, notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número 1 dividido el número natural correspondiente. De forma que

  • a_1 = \frac{1}{1} = 1
  • a_2 = \frac{1}{2}
  • a_3 = \frac{1}{3}
  • a_4 = \frac{1}{4}
  • a_5 = \frac{1}{5}
  • \ldots

Esta sucesión será llamada sucesión de proporcionalidad inversa y la regla general que define a esta sucesión es

a_{n} = \frac{1}{n}.

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}, notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo dividido entre el número natural siguiente. De forma que

  • a_1 = \frac{0}{1} = 0
  • a_2 = \frac{1}{2}
  • a_3 = \frac{3}{4}
  • a_4 = \frac{5}{6}
  • a_5 = \frac{7}{8}
  • \ldots

La regla general que define a esta sucesión es

a_{n} =\frac{n}{n+1}.

Ejemplo 5: Sucesión de los Números Pares

Si consideramos la sucesión \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots \}, notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo, multiplicado por dos. De forma que

  • a_1 = 2 \cdot 1 = 2
  • a_2 = 2 \cdot 2 = 4
  • a_3 = 2 \cdot 3 = 6
  • a_4 = 2 \cdot 4 = 8
  • a_5 = 2 \cdot 5 = 10
  • \ldots

Esta sucesión será llamada sucesión de los números pares y la regla general que define a esta sucesión es

a_{n} = 2n

Ejemplo 6: Sucesión de los Números Impares

Si consideramos la sucesión \{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots \}, notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo, multiplicado por dos menos uno, es decir, restando uno a cada número par. De forma que

  • a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1
  • a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3
  • a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5
  • a_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7
  • a_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9
  • \ldots

Esta sucesión será llamada sucesión de los números impares y la regla general que define a esta sucesión es

a_{n} = 2n-1

Ejemplo 7: Sucesión Alternante

Si consideramos la sucesión \{ -1, 1, -1, 1, -1, 1, \ldots \}, notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número -1 multiplicado por sí mismo la cantidad de veces correspondiente a dicho número natural. De forma que

  • a_1 = (-1) = -1
  • a_2 = (-1) \cdot (-1) = (-1)^2 = 1
  • a_3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^3 = -1
  • a_4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^4 = 1
  • a_5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^5 = -1
  • \ldots

Esta sucesión será llamada sucesión alternante y la regla general que define a esta sucesión es

a_{n} = (-1)^{n}

Ejemplo 8: Sucesión Recursiva

Si consideramos la sucesión \{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots \}, notamos que esta sucesión se genera definiendo los dos primeros elementos, y de ahí en adelante, sumamos los dos elementos anteriores. De forma que

  • a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2
  • a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3
  • a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5
  • a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8
  • a_7 = a_6 + a_5 = 8 + 5 = 13
  • a_8 = a_7 + a_6 = 13 + 8 = 21

Esta sucesión es conocida como la Sucesión de Fibonacci y la regla general que define a esta sucesión es

a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}.

De forma general, todas aquellas sucesiones tales que su n-ésimo término es define a partir de términos anteriores, son conocidas como sucesiones recursivas.

Sistemas de Ecuaciones Lineales – Cramer

Anthonny Arias-García1 comentario

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean x_1, x_2, \ldots, x_n un conjunto de n incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y m ecuaciones, de la siguiente forma:

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con n ecuaciones y n incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Podemos definir varios elementos que nos permitan calcular la solución del sistema de ecuaciones usando determinantes de matrices, así que empezaremos definiendo

\Delta = |A|

Si \Delta \neq 0, podemos garantizar que existe una única solución para el sistema de ecuaciones, por lo tanto

Definimos \Delta_{x_1} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la primera columna por la matriz C, es decir,

Definimos \Delta_{x_2} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la segunda columna por la matriz C, es decir,

Continuando así, definimos \Delta_{x_j} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{j-ésima} columna por la matriz C, es decir,

Finalmente, definimos \Delta_{x_n} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{n-ésima} columna por la matriz C, es decir,

Una vez que hemos definido esta serie de elementos, podemos definir los valores que dan solución al sistema de ecuaciones planteando los siguientes cocientes:

x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}, \ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}, \ \ldots , \ x_n = \frac{\Delta_{x_n}}{\Delta}.

Este método es conocido como la Regla de Cramer, veamos entonces con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{15}{16}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{71}{32}

Ejemplo 2

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{400}{133}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{270}{133}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{41}{133}

Ejemplo 3

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-355}{257}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{-145}{257}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{133}{257}

Ejemplo 4

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x = \frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-109}{235}, \ y = \frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{213}{235}, \ z = \frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{34}{47}, \ w = \frac{\Delta_{ w }}{\Delta} = \frac{354}{235}

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Anthonny Arias-García4 comentarios

Al definir una ecuación, de forma básica, se establece la relación entre un número desconocido y números conocidos a partir de una igualdad, también hemos visto que es posible establecer relaciones entre más números desconocidos tal como cuando se define una recta de la forma ax + by + c = 0 y calcular el punto de intersección entre dos rectas, se determinan los valores de x y y que satisfacen ambas ecuaciones; generalizando así, nuestra definición de ecuación.

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean x_1, x_2, \ldots, x_n un conjunto de n incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y m ecuaciones, de la siguiente forma:

La solución de este sistema es un conjunto de números reales que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, y para determinar si un sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución, debemos tomar ciertas consideraciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede ver como una ecuación donde los elementos involucrados son matrices pues las expresiones que están del lado izquierdo de la igualdad se pueden escribir como un producto de matrices y los elementos que están del lado derecho se pueden escribir como una matriz de una sola columna, de la siguiente manera:

Identificando las matrices A, X y C; podemos asegurar que el sistema de ecuaciones tendrá exactamente una solución si la matriz A es una matriz cuadrada y si esta es una matriz no-singular, es decir, si |A| \neq 0. Existen diversos métodos para calcular esta única solución de un sistema de ecuaciones.

Cómo conectarse a internet de CANTV #SinLuz

Anthonny Arias-García10 comentarios

Asegúrese de recibir supervisión o asesoría de un experto.

  1. ¿Es que a ustedes se les va la luz?, me han preguntado.
  2. También se va el internet…
  3. Batería de Laptop + Módem = Internet
    1. Elementos necesarios
      1. Batería de Laptop.
      2. Cable de Transformador.
      3. Módem Inalámbrico.
    2. Indicaciones
      1. Verificar el voltaje
      2. Preparar el cable
      3. Identificar las cargas
    3. Otro ejemplo

¿Es que a ustedes se les va la luz?, me han preguntado.

El servicio eléctrico en Venezuela a caído en picada desde hace años, particularmente en la Región Andina este problema se ha sentido con mayor intensidad que en el resto del país. Aunque en twitter se pueden encontrar en tiempo real una infinidad de reportes siguiendo la etiqueta #SinLuz, en algunos portales de noticias y de organizaciones sin fines de lucro, se presentan balances mensuales de las horas en las que el servicio eléctrico es inexistente, tal como el que presenta PROMEDEHUM:

Estos insistentes y prolongados cortes de luz llevan a la población a buscar alternativas, en algunas poblaciones del páramo merideño han tomado la iniciativa de usar paneles solares tal como lo reseña Liliana Rivas en Cinco8, sin embargo, no en todas partes se puede considerar esta opción.

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También se va el internet…

Hay que destacar que cuando ocurre un apagón, también cesa conexión a internet pues los dispositivos de los proveedores funcionan con energía eléctrica. Hace unos días una amiga me comentó que un amigo de ella le conectó una batería de laptop a su módem inalámbrico de CANTV y con eso ha podido tener conexión a internet cuando se va la luz pero no me dio detalles al respecto.

La idea de hacer este tipo de conexiones retumbó en mi cabeza y junto con un vecino, haciendo ensayo y error, logramos conectar la batería de una laptop al módem. Así que en esta ocasión, le comparto algunos detalles sobre como hice esta conexión, pues debido a la pandemia que estamos enfrentando el distanciamiento social nos exige conexión a internet para mantenernos comunicados.

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Batería de Laptop + Módem = Internet

Elementos necesarios

Los elementos indispensables para esta conexión, son:

Batería de Laptop.

batería de canaima | totumat.com

Cable de Transformador.

Módem Inalámbrico.

módem de cantv con clave de acceso | totumat.com

Indicaciones

Verificar el voltaje

Lo primero que deben verificar antes de hacer cualquier conexión es verificar el voltaje de la batería y el voltaje del módem. Es importante que el voltaje de salida de la batería sea menor que el voltaje de entrada del módem, en otro caso, se puede quemar el módem.

Especificaciones de Batería de Canaima | totumat.com

Especificaciones de módem de CANTV | totumat.com

Para este caso, el voltaje de salida de la batería es 10.8V y el voltaje de entrada del módem es de 12V, así que no se presenta el riesgo de sobrecarga.

Preparar el cable

Para el cable, tomé un cargador de celular viejo que tenía guardado y probé que la punta fuera de la misma medida que la de mi módem.

Después de comprobar que tuvieran la misma medida, corté la punta del cable que proviene del transformador de corriente, retiré el plástico de seguridad que recubre el cable y a cada punta le adosé unas puntas metálicas que tenía guardadas para facilitar la conexión y que encajan perfectamente con la batería. Sin embargo, esto no es indispensable.

Identificar las cargas

Es importante identificar cual es el cable que lleva la carga negativa y cual lleva la carga positiva. Para este cable particular, el azul lleva la carga negativa y el marrón la carga positiva. Con una rápida búsqueda en internet, se puede determinar qué función cumple cada cable, aunque generalmente para los transformadores de corriente, el cable negro con la raya blanca lleva la carga positiva y el totalmente negro lleva la carga negativa.

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Finalmente, conecta estos tres elementos de modo que la batería proveerá al módem con electricidad. Posteriormente conecta el módem a la toma de CANTV para que este le provea conexión ADSL y así conectarse a internet.

Conexión de batería de canaima a módem de CANTV | totumat.com

Para finalizar esta publicación les presento un video donde hice la conexión:

Espero que les sea de ayuda, más aún, en estos tiempos de penurias.

Otro ejemplo

Les comparto unas fotografías de cómo le preparé los cables para una vecina que me pidió el favor de hacer la conexión entre la batería de su laptop y su módem.