Autor: Anthonny Arias-García

Sub-Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.
Vectores en el Plano

Vectores en el Plano

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Si bien hemos podido identificar subconjuntos en el plano cartesiano con figuras geométricas tales como rectas, parábolas u otro tipo figuras determinadas por funciones, también podemos identificar en el plano otro tipo de elementos, por ejemplo, al estudiar fenómenos físicos como la aplicación de una fuerza, se debe especificar la magnitud y la dirección con que esta ha sido aplicada; para esto se definen los vectores.

Intuitivamente, diremos que un vector es elemento que tiene una magnitud y una dirección y; geométricamente, se representa con una flecha que tiene una longitud y una inclinación respecto al Eje X. Usualmente, los vectores se presentan con un par ordenado que denota el punto en el plano cartesiano hasta donde llega el vector, partiendo desde el origen.

De esta forma, si P = (x,y) es un punto en el plano, denotamos un vector que parte desde el origen y que llega hasta el punto P encerrando el par ordenado con los delimitadores \left\langle \ , \ \right\rangle de la siguiente forma:

\overrightarrow{OP} = \left\langle x , y \right\rangle

Y lo representamos gráficamente en el plano cartesiano de la siguiente forma:

Es importante señalar cual es el origen de un vector, pero cuando esto queda sobre entendido, también se pueden denotar usando letras como \overrightarrow{v} ó \overrightarrow{A}. Sin embargo, siempre se debe dejar clara la forma en que el vector está definido.

Magnitud de un Vector

La magnitud de un vector también es conocida como la norma del vector y se interpreta geométricamente como la longitud de la flecha que define el vector. La norma de un vector \overrightarrow{v} se denota usando delimitando el vector usando una barra vertical \left|\overrightarrow{v}\right| o usando la notación de distancia euclidiana con doble barra vertical \left\lVert \overrightarrow{v}\right\rVert.

La norma de un vector \overrightarrow{v} = \left\langle x , y \right\rangle se calcula recurriendo al Teorema de Pitágoras y es que podemos notar que cualquier vector representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos x y y de la siguiente forma:

Entonces, el Teorema de Pitágoras nos indica que

\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert^2 = x^2 + y^2

Teniendo en cuenta esta igualdad, podemos aplicar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación y de esta forma, definimos una fórmula para calcular la norma de un vector de la siguiente forma:

\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}

Veamos en los siguientes ejemplos, como aplicar esta fórmula para calcular la norma de distintos vectores.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{OP} = \left\langle 3 , 4 \right\rangle, calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert \ = \ \sqrt{(3)^2 + (4)^2}

\ = \ \sqrt{9 + 16}

\ = \ \sqrt{25}

\ = \ 5

Ejemplo 2

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{u} = \left\langle -2 , 2 \right\rangle, calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-2)^2 + (2)^2}

\ = \ \sqrt{4 + 4}

\ = \ \sqrt{8}

Ejemplo 3

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{v} = \left\langle -5 , -1 \right\rangle, calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2}

\ = \ \sqrt{25 + 1}

\ = \ \sqrt{26}

Ejemplo 4

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{A} = \left\langle 4 , -2 \right\rangle, calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

\left\lVert \overrightarrow{A} \right\rVert \ = \ \sqrt{(4)^2 + (-2)^2}

\ = \ \sqrt{16 + 4}

\ = \ \sqrt{20}

Dirección de un Vector

La dirección de un vector también es conocida como el sentido del vector y se interpreta geométricamente como el ángulo (menor de 180 grados) que forma la flecha que define el vector con la parte positiva del Eje X.

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com
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La dirección un vector \overrightarrow{v} = \left\langle x , y \right\rangle se calcula recurriendo a la trigonometría, pues podemos notar que cualquier vector representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos x y y, considerando el siguiente gráfico

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com

Podemos definir las siguientes expresiones trigonométricas.

\sin(\alpha) = \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert}

\cos(\alpha) = \dfrac{x}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert}

\tan(\alpha) = \frac{y}{x}

Teniendo en cuenta estas igualdades, podemos aplicar las función inversa correspondiente a cada función trigonométrica y así, definimos una fórmula para calcular el ángulo del vector \overrightarrow{v} respecto al Eje X, usando cualquiera de las siguientes igualdades:

\alpha = \arcsin\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)

\alpha = \arccos\left( \dfrac{x}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)

\alpha = \arctan \left( \dfrac{y}{x} \right)

De forma general, se usa la fórmula que involucra el arco coseno, pues es la que determina el ángulo formado entre el vector y el Eje positivo de X directamente.

Veamos en los siguientes ejemplos, como aplicar esta fórmula para calcular la dirección de distintos vectores.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{OP} = \left\langle 3 , 4 \right\rangle, calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com

De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector

\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert \ = \ \sqrt{(3)^2 + (4)^2}

\ = \ \sqrt{9 + 16}

\ = \ \sqrt{25}

\ = \ 5

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert} \right)

\ = \ \arccos \left( \frac{3}{5} \right)

\ \approx \ 53.13^{\circ}

Ejemplo 6

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{u} = \left\langle -2 , 2 \right\rangle, calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com

De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector

\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-2)^2 + (2)^2}

\ = \ \sqrt{4 + 4}

\ = \ \sqrt{8}

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert} \right)

\ = \ \arccos \left( \frac{-2}{\sqrt{8}} \right)

\ = \ 135^{\circ}

Ejemplo 7

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{v} = \left\langle -5 , -1 \right\rangle, calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com

De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector

\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2}

\ = \ \sqrt{25 + 1}

\ = \ \sqrt{26}

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)

\ = \ \arccos \left( \frac{-5}{\sqrt{26}} \right)

\ \approx \ 168.69^{\circ}

Ejemplo 8

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{A} = \left\langle 4 , -2 \right\rangle, calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com

De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector

\left\lVert \overrightarrow{A} \right\rVert \ = \ \sqrt{(4)^2 + (-2)^2}

\ = \ \sqrt{16 + 4}

\ = \ \sqrt{20}

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{A} \right\rVert} \right)

\ = \ \arccos \left( \frac{4}{\sqrt{20}} \right)

\ \approx \ 26.56^{\circ}

Puntos de corte de una función con los ejes

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar la gráfica de una función real, notamos que hay puntos en los cuales la función pasa por encima de los ejes del plano cartesiano, estos son conocidos como los puntos de corte de la función con los ejes y se pueden calcular de forma analítica fijando condiciones sobre la forma en que está definida la función. Veamos cuales son las condiciones para los distintos ejes.

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Punto de corte con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje Y, son de la forma (0,y) donde y puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.

Punto de corte con el Eje Y | totumat.com

Formalmente, si consideramos una función f(x) tal que x=0 es un elemento de su dominio, entonces calculamos el punto de corte con el Eje Y evaluando la función en x=0, es decir, calculando

f(0)

Recordando que una función es una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento de su dominio con un único elemento en el rango, podemos concluir que una función tendrá a lo sumo un solo punto de corte con el Eje Y.

Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje Y.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función lineal f(x)=3x-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en x=0, entonces,

f(0) = 3(0)-1 = 0 - 1 = -1

En conclusión, la función f(x) corta al Eje Y en el punto (0,-1). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 2

Considerando la función cuadrática f(x)=-(x+1)^2+4, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en x=0, entonces,

f(0) = -(0+1)^2+4 = -1 + 4 = 3

En conclusión, la función f(x) corta al Eje Y en el punto (0,3). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 3

Considerando la función exponencial f(x)=\frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en x=0, entonces,

f(0) = \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{0+2} - 1 = \frac{\textit{\Large e}^{2}}{3} - 1 = \frac{\textit{\Large e}^{2}-3}{3}

En conclusión, la función f(x) corta al Eje Y en el punto \left(0,\frac{3}{2}\right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 4

Considerando la función radical f(x)= \sqrt{x - 4} + 2, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Esta función no tiene punto de corte con el Eje Y, pues el punto x=0 no está en su dominio. Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Puntos de corte con el Eje X

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje X, son de la forma (x,0) donde x puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.

Puntos de corte con el Eje X | totumat.com

Formalmente, si consideramos una función f(x), entonces calculamos el punto de corte con el Eje X verificando para cuales valores de x la función se anula, es decir, calculando los valores de x para los cuales

f(x) = 0

Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje X.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función lineal f(x)=3x-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de x para los cuales f(x)=0, entonces,

f(x) = 0

\ \Rightarrow \ 3x-1 = 0

\ \Rightarrow \ 3x=1

\ \Rightarrow \ x = \frac{1}{3}

En conclusión, la función f(x) corta al Eje X en el punto \left( \frac{1}{3},0 \right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 6

Considerando la función cuadrática f(x)=-(x+1)^2+4, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de x para los cuales f(x)=0, entonces,

f(x) = 0

\ \Rightarrow \ -(x+1)^2+4 = 0

\ \Rightarrow \ -(x+1)^2 = -4

\ \Rightarrow \ (x+1)^2 = 4

\ \Rightarrow \ \sqrt{(x+1)^2} = \sqrt{4}

\ \Rightarrow \ |x+1| = 2

A partir de esta última igualdad, podemos considerar dos casos: x+1=2 ó x+1=-2, por lo tanto, x=1 ó x=-3.

En conclusión, la función f(x) corta al Eje X en los puntos \left( 1,0 \right) y \left( -3,0 \right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Puntos de corte con el Eje X | totumat.com

Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función raíz cuadrada para poder despejar la variable x cuando esta se encuentra involucrada en una expresión cuadrática.

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Ejemplo 7

Considerando la función exponencial f(x)=\frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de x para los cuales f(x)=0, entonces,

f(x) = 0

\ \Rightarrow \ \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1 = 0

\ \Rightarrow \ \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2} = 1

\ \Rightarrow \ \textit{\Large e}^{x+2} = 3

\ \Rightarrow \ \ln\left( \textit{\Large e}^{x+2} \right) = \ln(3)

\ \Rightarrow \ x+2 = \ln(3)

\ \Rightarrow \ x = \ln(3) -2

En conclusión, la función f(x) corta al Eje X en el punto \left( \ln(3) -2,0 \right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Puntos de corte con el Eje X | totumat.com

Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función logaritmo neperiano para poder despejar la variable x cuando esta se encuentra involucrada en una expresión exponencial.

Ejemplo 8

Considerando la función radical f(x)= \sqrt{x - 4} + 2, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Esta función no tiene punto de corte con el Eje X, pues el punto y=0 no está en su rango. Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Puntos de corte con el Eje X | totumat.com

Simetría de Funciones

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar la gráfica de funciones podemos notar que en algunos casos, podemos partirlas en dos partes que tienen el mismo comportamiento, es decir, funciones que presentan simetrías. Estas simetrías se pueden describir analíticamente como propiedades al definir las reglas que definen las funciones.

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Funciones Pares

Si consideramos la gráfica de la Función Cuadrática, f(x)=x^2, podemos notar que la forma que ella tiene del lado derecho del Eje Y es un reflejo de la forma que ella tiene del lado izquierdo, en este caso, decimos que existe una simetría respecto al Eje Y. A las funciones que presentan este comportamiento se les conoce como funciones pares.

Formalmente, diremos que una función f(x) es una Función Par si para todo x en el dominio de la función, se cumple que

f(-x) = f(x)

Veamos algunos ejemplos de funciones pares para entender esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos la función f(x) = |x|, esta sí es una función par, pues considerando que el valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos, es decir, |a \cdot b| = |a| \cdot |b|, entonces

f(-x) = \left| -x \right| = \left| (-1) \cdot x \right| = \left| -1 \right| \cdot \left| x \right| = |x|

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Par | totumat.com

Ejemplo 2

Consideremos la función f(x) = x^2, esta sí es una función par pues considerando la Ley de los Signos, tenemos que

f(-x) = (-x)^2 = (-x) \cdot (-x) = x^2

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Par | totumat.com
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Ejemplo 3

Consideremos la función f(x) = -\frac{x^4}{10} + 5, esta sí es una función par pues

f(-x) = -\frac{(-x)^4}{10} + 5 = -\frac{x^4}{10} + 5

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Par | totumat.com

Ejemplo 4

Consideremos la función f(x) = 3x + 2, esta no es una función par, pues,

f(-x) = 3(-x) + 2 = -3x+2

Así, podemos concluir que f(-x) \neq f(x). Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función no par | totumat.com
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Funciones Impares

Si consideramos la gráfica de la Función Cúbica, f(x)=x^3, podemos notar que la forma que ella tiene en el primer cuadrante es un reflejo de la forma que ella tiene en el tercer cuadrante, en este caso, decimos que existe una simetría respecto al origen. A las funciones que presentan este comportamiento se les conoce como funciones impares.

Formalmente, diremos que una función f(x) es una Función Impar si para todo x en el dominio de la función, se cumple que

f(-x) = -f(x)

Veamos algunos ejemplos de funciones pares para entender esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos la función f(x) = \frac{x}{2}, esta sí es una función impar, pues

f(-x) = \frac{-x}{2} = - \frac{x}{2}

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Impar | totumat.com

Ejemplo 6

Consideremos la función f(x) = \frac{1}{x}, esta sí es una función impar, pues

f(-x) = \frac{1}{-x} = - \frac{1}{x}

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Impar | totumat.com
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Ejemplo 7

Consideremos la función f(x) = x^3, esta sí es una función par pues considerando la Ley de los Signos, tenemos que

f(-x) = (-x)^3 = (-x) \cdot (-x) \cdot (-x) = -x^3

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Impar | totumat.com

Ejemplo 8

Consideremos la función f(x) = -\frac{x^4}{10} + 5, esta no es una función par pues

f(-x) = -\frac{(-x)^4}{10} + 5 = -\frac{x^4}{10} + 5

Así, podemos concluir que f(-x) \neq -f(x). Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función no impar | totumat.com

Ley de los Signos

Anthonny Arias-García3 comentarios

Al efectuar el producto entre números reales, debemos ser estar muy atentos al signo de los factores involucrados para llegar a la conclusión correcta. Es por esto que enunciaremos los cuatro casos que se pueden presentar al efectuar el producto de de dos factores.

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Consideremos dos números reales a y b; y para ser enfáticos, los denotaremos con +a y +b. En contraparte, consideremos sus opuestos aditivos denotados con -a y -b, entonces tenemos que:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 1

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 2

Para efectuar el producto 2 \cdot \sqrt(5), el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

2 \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}

Ejemplo 3

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

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Ejemplo 4

Para efectuar el producto (-3) \cdot \frac{1}{3}, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-3) \cdot \frac{1}{3} = - ( 3 \cdot \frac{1}{3} ) = -1

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 6

Para efectuar el producto 10 \cdot (-\sqrt{7}), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

10 \cdot (- \sqrt{7}) = - (10 \cdot \sqrt{7}) = -10 \sqrt{7}

Ejemplo 7

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-x) \cdot (-x), donde x es una variable real. Notemos que si bien no sabemos si la variable es positiva o negativa, el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-x) \cdot (-x) = (x \cdot x) = x^2

Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Diagramas Sagitales: Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Anthonny Arias-García5 comentarios
  1. Tipos de funciones
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
  2. Diagramas Sagitales
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 3
      2. Ejemplo 4
      3. Ejemplo 5

Habiendo definido las funciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos clasificar las funciones considerando la forma en que las correspondencias entre elementos están dadas, estas clasificaciones cumplen un papel fundamental en el estudio de las matemáticas.

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Tipos de funciones

Si consideramos dos conjuntos A y B, sabemos que una función es una relación del conjunto A con el conjunto B que corresponde a todo elemento a que está en A con un único elemento b que está en B, pero además, podemos clasificarlas de la siguiente forma:

Función Inyectiva: Diremos que una función es inyectiva si los elementos del rango están correspondidos con sólo un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que a los elementos del conjunto de llegada no se les corresponde más de un elemento del dominio.

Función Sobreyectiva: Diremos que una función es sobreyectiva si los elementos conjunto de llegada están correspondidos con al menos un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que el conjunto de llegada es igual al rango de la función.

Función Biyectiva: Diremos que una función es biyectiva si es inyectiva y es sobreyectiva al mismo tiempo.

También podemos decir que corresponde a todo elemento b que está en B con un único elemento a que está en A.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considere el conjunto A conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los gorros de colores: verde, morado y azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Esta sí es una función inyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues no se le ha correspondido el mismo gorro a más de un niño.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues todos los gorros han sido correspondidos con un niño.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplo 2

Considere el conjunto A conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi y iPhone. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene Cámara HD, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Pixel, Cámara HD) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Esta no es una función inyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues existen dos marcas con la misma característica.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues todas las características han sido adoptadas por al menos una marca.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues es no es inyectiva.

Los tipos de funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

  • Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
  • Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
  • La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que:

  • Si la función inyectiva, a los elementos de B llega a lo sumo una línea.
  • Si la función es sobreyectiva, a todos los elementos de B llega al menos una línea.
  • Si la función es biyectiva, a todos y cada uno de los elementos de B llega exactamente una línea.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto A conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta sí es una función biyectiva, porque a cada elemento de B llega exactamente una línea.

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Ejemplo 4

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo, el 3 de azul y el 4 de rojo. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (3, Azul) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función sobreyectiva | totumat.com

Esta no es una función inyectiva, porque llegan dos líneas al color amarillo.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta no es una función biyectiva, porque no es inyectiva.

Ejemplo 5

Considere el conjunto A conformado por los números 2, 3, 5. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los números: 1, 2, 3, 5.

Diremos que un elemento a del conjunto A está relacionado con un elemento b del conjunto B si a es un divisor de b, es decir, tal que la división \frac{b}{a} es exacta. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (2, 2) ; (3, 3) ; (5, 5) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta no es una función sobreyectiva, porque el número 1 en el conjunto B no está correspondido con ningún elemento de A.

Esta no es una función biyectiva, porque no es sobreyectiva.