Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Tasa Técnica de Sustitución y Tasa Marginal de Sustitución

Anthonny Arias-García2 comentarios
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Tasa Técnica de Sustitución (TTS)

1.- Una compañía que fabrica celulares ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{45}{59} \cdot \sqrt[ 86 ]{ l^{81} } \cdot \sqrt[ 86 ]{ k^{5} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

2.- Una compañía que fabrica neveras ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{37}{56} \cdot \sqrt[ 97 ]{ l^{95} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ k^{2} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

3.- Una compañía que fabrica cristales ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{61}{99} \cdot \sqrt[ 19 ]{ l^{18} } \cdot \sqrt[ 19 ]{ k }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

4.- Una compañía que fabrica trajes de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{14}{27} \cdot \sqrt[ 6 ]{ l^{5} } \cdot \sqrt[ 6 ]{ k }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

5.- Una compañía que fabrica metras/canicas ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{119}{22} \cdot \sqrt[ 44 ]{ l^{5} } \cdot \sqrt[ 44 ]{ k^{39} }-\sqrt[ 44 ]{ l^{49} } \cdot \sqrt[ 44 ]{ k^{83} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

6.- Una compañía que fabrica helados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{315}{59} \cdot \sqrt[ 77 ]{ l^{52} } \cdot \sqrt[ 77 ]{ k^{25} }-\sqrt[ 77 ]{ l^{129} } \cdot \sqrt[ 77 ]{ k^{102} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

7.- Una compañía que fabrica jabones de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{219}{33} \cdot \sqrt[ 15 ]{ l } \cdot \sqrt[ 15 ]{ k^{14} }-\sqrt[ 15 ]{ l^{16} } \cdot \sqrt[ 15 ]{ k^{29} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

8.- Una compañía que fabrica jugos empaquetados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{158}{95} \cdot \sqrt[ 32 ]{ l^{3} } \cdot \sqrt[ 32 ]{ k^{29} }-\sqrt[ 32 ]{ l^{35} } \cdot \sqrt[ 32 ]{ k^{61} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

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Tasa Marginal de Sustitución

Reduzcamos una situación en la que un individuo de la sociedad sólo puede dedicar su tiempo a dos usos respecto al mercado: horas de trabajo y horas de no trabajo.

Denotaremos las horas de trabajo con la variable l (labor en inglés) y si por cada hora de trabajo obtiene un ingreso de w, entonces, considerando que este individuo puede adquirir bienes si trabaja, definimos la variable consumo c = l \cdot w.

Definiremos las horas de no trabajo como horas de ocio y las denotaremos con la variable h, estas representan las horas que dedica a trabajar en casa (no en el mercado), ver televisión o navegar en las redes sociales.

9.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{12}{83} \cdot \sqrt[ 55 ]{ c^{18} } \cdot \sqrt[ 55 ]{ h^{37} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

10.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{25}{38} \cdot \sqrt[ 55 ]{ c^{27} } \cdot \sqrt[ 55 ]{ h^{28} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

11.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{12}{31} \cdot \sqrt[ 97 ]{ c^{40} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ h^{57} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

12.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{25}{74} \cdot \sqrt[ 31 ]{ c^{22} } \cdot \sqrt[ 31 ]{ h^{9} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

13.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{18}{89} \cdot \sqrt[ 43 ]{ c^{9} } \cdot \sqrt[ 43 ]{ h^{63} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

14.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{54}{77} \cdot \sqrt[ 83 ]{ c^{89} } \cdot \sqrt[ 83 ]{ h^{4} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

15.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{82}{85} \cdot \sqrt[ 33 ]{ c^{47} } \cdot \sqrt[ 48 ]{ h }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

16.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{21}{88} \cdot \sqrt[ 9 ]{ c^{41} } \cdot \sqrt[ 91 ]{ h^{50} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

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Solución

Ejercicio 1

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Lineales

Anthonny Arias-García1 comentario

Calcule la solución de las siguientes ecuaciones lineales usando en cada paso los Axiomas Algebraicos de los Números Reales, explique cada paso con sus propias palabras.

Ecuaciones Lineales

  1. x + 6 = 9
  2. x - 9 = 6
  3. x + 5 = -10
  4. x - 3 = -30

  1. 7x + 1 = 10
  2. 5x - 4 = 5
  3. 4x + 10 = -5
  4. 4x - 7 = -15

  1. 2 + x = 3
  2. 7 - 6x = 10
  3. -8 + 16x = -7
  4. 3 - 8x = -9
  1. 3 + x = 8x
  2. 2 - 8x = 9x
  3. -5 + 81x = -9x
  4. 2 - 18x = -4x

  1. 1 + x = 18 + 8x
  2. 2 - 8x = 2 + 2x
  3. 6 - 5x = 9 - 9x
  4. -3 + 9x = -6 - 6x

  1. 3 + 11x = 8 + 8x - 10x
  2. 12 - 81x = 21x + 2x
  3. 6x - 5x + 10 = 9 - 9x
  4. -3x + 9x + 20 = 12x -16 - 6x

Ecuaciones Lineales con Valor Absoluto

  1. |x + 6| = 9
  2. |x - 9| = 6
  3. |x + 5| = 0
  4. |x - 3| = -30

  1. |7x + 1| = 10
  2. |5x - 4| = 5
  3. |4x + 10| = 15
  4. |4x - 7| = 30

  1. |2 + x| = 3
  2. |7 - 6x| = 0
  3. |-8 + 16x| = 7
  4. |3 - 8x| = -9

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Análisis Marginal: Costos Conjuntos y Producción

Anthonny Arias-García2 comentarios
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Funciones de Costos Conjuntos

1.- Una compañía fabrica celulares en dos presentaciones: Pixel, cuya cantidad producida se presenta con x y Pixel XL, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.1 x^{3} + 2.3 x^{2} - 65.0 x + 0.2 y^{3} - 2.2 y^{2} - 51.4 y + 5953

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 63 , 35 ) e interprete los resultados.

2.- Una compañía fabrica neveras en dos presentaciones: con congelador, cuya cantidad producida se presenta con x y sin congelador, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.2 x^{3} + 4.0 x^{2} - 199.8 x + 0.12 y^{3} + 3.72 y^{2} - 103.92 y + 5893

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 75 , 95 ) e interprete los resultados.

3.- Una compañía fabrica cristales en dos presentaciones: con anti-reflejo, cuya cantidad producida se presenta con x y sin anti-reflejo, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.33 x^{3} - 1.6 x^{2} - 68.32 x + 0.2 y^{3} + 3.8 y^{2} - 150.0 y + 5296

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 32 , 22 ) e interprete los resultados.

4.- Una compañía fabrica trajes de baño en dos presentaciones: para damas, cuya cantidad producida se presenta con x y para caballeros, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.14 x^{3} + 2.36 x^{2} - 134.58 x + 0.1 y^{3} + 0.8 y^{2} - 55.5 y + 5810

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 39 , 43 ) e interprete los resultados.

5.- Una compañía fabrica metras/canicas en tres presentaciones: ojo de gato, cuya cantidad producida se presenta con x, coquito, cuya cantidad producida se presenta con y y bolondrones, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.5 x^{3} - 7.0 x^{2} - 96.0 x + 0.11 y^{3} + 0.47 y^{2} - 55.8 y + 0.33 z^{3} - 3.61 z^{2} - 16.84 z + 8878

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 92 , 59 , 98 ) e interprete los resultados.

6.- Una compañía fabrica helados en tres presentaciones: mantecado, cuya cantidad producida se presenta con x, chocolate, cuya cantidad producida se presenta con y y fresa, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.25 x^{3} + 1.25 x^{2} - 105.5 x + 0.1 y^{3} + 0.6 y^{2} - 24.7 y + 0.12 z^{3} - 0.88 z^{2} - 35.04 z + 8303

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 83 , 94 , 92 ) e interprete los resultados.

7.- Una compañía fabrica jabones de baño en tres presentaciones: finas esencias, cuya cantidad producida se presenta con x, flor primaveral, cuya cantidad producida se presenta con y y perro mojado, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.1 x^{3} + 8.0 x^{2} - 192.5 x + 0.17 y^{3} + 5.6 y^{2} - 173.88 y + 0.33 z^{3} + 0.07 z^{2} - 124.56 z + 9163

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 80 , 46 , 24 ) e interprete los resultados.

8.- Una compañía fabrica jugos empaquetados en tres presentaciones: manzana, cuya cantidad producida se presenta con x, pera, cuya cantidad producida se presenta con y y durazno, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.14 x^{3} + 3.22 x^{2} - 169.4 x + 0.12 y^{3} + 2.48 y^{2} - 95.4 y + 0.2 z^{3} + 6.4 z^{2} - 173.6 z + 8464

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 105 , 85 , 83 ) e interprete los resultados.

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Funciones de Producción

9.- Una compañía que fabrica celulares ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{45}{59} \cdot \sqrt[ 86 ]{ l^{81} } \cdot \sqrt[ 86 ]{ k^{5} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 50 , 659 ) e interprete los resultados.

10.- Una compañía que fabrica neveras ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{37}{56} \cdot \sqrt[ 97 ]{ l^{95} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ k^{2} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 100 , 295 ) e interprete los resultados.

11.- Una compañía que fabrica cristales ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{61}{99} \cdot \sqrt[ 19 ]{ l^{18} } \cdot \sqrt[ 19 ]{ k }

Evalúe las funciones que \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 80 , 909 ) e interprete los resultados.

12.- Una compañía que fabrica trajes de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{14}{27} \cdot \sqrt[ 6 ]{ l^{5} } \cdot \sqrt[ 6 ]{ k }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 60 , 372 ) e interprete los resultados.

13.- Una compañía que fabrica metras/canicas ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{9}{13} \cdot \sqrt[ 97 ]{ l^{31} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ k^{66} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 50 , 807 ) e interprete los resultados.

14.- Una compañía que fabrica helados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{61}{86} \cdot \sqrt[ 24 ]{ l^{7} } \cdot \sqrt[ 24 ]{ k^{17} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 20 , 1091 ) e interprete los resultados.

15.- Una compañía que fabrica jabones de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{15}{68} \cdot \sqrt[ 90 ]{ l^{17} } \cdot \sqrt[ 90 ]{ k^{73} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 70 , 389 ) e interprete los resultados.

16.- Una compañía que fabrica jugos empaquetados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{13}{24} \cdot \sqrt[ 82 ]{ l^{61} } \cdot \sqrt[ 82 ]{ k^{21} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 80 , 661 ) e interprete los resultados.

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Receta: Galletas de avena con pasas

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Estudiar matemáticas puede resultar agotador, y en muchas ocasiones, por no decir todas, es necesario un aperitivo al tomar una pausa mientras organizamos nuestras ideas. Es por eso que les traigo esta sencilla receta de galletas de avena con pasas, son divinas y pueden acompañarse con cualquier bebida caliente.

Ingredientes

  • 1/2 Taza de Mantequilla (o Margarina)
  • 3/4 Taza de Azúcar Morena
  • 1/2 Taza de Azúcar Blanca
  • 2 Huevos
  • 1 Cucharadita de Vainilla
  • 1 Cucharadita de Polvo Para Hornear
  • 1 Cucharadita de Bicarbonato de Sodio
  • 1 Cucharada de Canela
  • 1 Pizca de Sal
  • 11/2 Taza de Harina Todo Uso
  • 3 Tazas de Avena
  • 1 Taza de Pasas

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Preparación

  • Con una batidora, se bate la mantequilla con la azúcar hasta que esté cremosa; se continúa batiendo con la batidora.
Mantequilla y Azúcar
Se bate hasta que esté cremosa
  • Se añaden los huevos y la vainilla; se continúa batiendo en la batidora.
Huevos
Vainilla
Se bate
  • Se agrega la harina todo uso, el polvo para hornear, el bicarbonato de sodio, la canela y la sal; se continúa batiendo con la batidora.
Polvo para Hornear
Canela
Bicarbonato de Sodio
Sal
Harina
Se bate
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  • Se agrega la avena y las pasas; se continúa batiendo, aunque en este punto, debe tener cuidado pues si su batidora no tiene mucha potencia, se puede quemar por lo espesa que es la mezcla, así que recomiendo batir a mano.
Avena
Pasas
Se mezcla
  • Cuando la mezcla esté homogénea, se toma una cucharada (15 gramos o tablespoon como medida exacta) de esta mezcla y se hace una bolita. De esta forma, alcanza para 40 unidades, aunque se pueden hacer menos unidades de mayor tamaño.
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  • Se disponen las bolitas en una bandeja enmantequillada y enharinada (o en papel parafinado); se hornean durante 10 minutos a una temperatura de 175°C.

  • Una vez que se sacan del horno ellas estarán blandas, por lo tanto, es importante dejarlas reposar en una rejilla por unos pocos minutos para que endurezcan un poco.

Finalmente, les comparto fotografías de algunas galletas que horneé semanas atrás:

Notas

  • Las pasas se pueden sustituir por cualquier otro fruto deshidratado o confitado.
  • El polvo para hornear hace que las galletas crezcan.
  • El bicarbonato de sodio hace que las galletas se inflen (dándole esa textura explosiva), si se omite el bicarbonato de sodio, las galletas resultarán planas como se muestra en las siguientes imágenes:
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Derivadas Parciales Implícitas

Anthonny Arias-García2 comentarios
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Dadas las siguientes funciones definidas en varias variables. Derivando implícitamente, calcule las siguientes derivadas parciales:

\dfrac{\partial x}{\partial z}, \dfrac{\partial x}{\partial y}, \dfrac{\partial y}{\partial x}, \dfrac{\partial y}{\partial z}, \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}

  1. x=0
  2. 2x=1
  3. -3z=2
  4. 2x-3y+4z=3

  1. x+y=4
  2. x+z=5
  3. xy+xz+3=6
  4. x^2+ y^2+z^2=49

  1. \dfrac{7}{x}=8
  2. -\dfrac{5}{y}=9
  3. \dfrac{3}{z}=10x
  4. \dfrac{11}{x+3y-2z}=y

  1. \dfrac{x}{y}+\frac{x}{z}=-1
  2. 5\dfrac{x}{y}-3\frac{y}{z}=-2
  3. 6\dfrac{x+y}{xy}+10\frac{x+z}{xy}=-3
  4. \dfrac{2x-y}{x+8y}+z=-4

  1. 2\dfrac{x}{\sqrt{yz}}=-5
  2. -3\dfrac{\sqrt{xz}}{y}=-6
  3. 10\dfrac{x+y+2z}{xyz}=-7
  4. \dfrac{x-y+z}{5x+y-z}=-8
  1. \sqrt{x}yz=-9
  2. 6x\sqrt{yz}=-10
  3. 8\sqrt{x}\sqrt{y}=-xz
  4. \dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{y}} + zx^2y^2+20=x+y
  1. x^2+5x^4+y-2y^3+6z^7=2x+y+z
  2. x\sqrt{y}+x^3+y^2-z=3x
  3. \sqrt{z}\sqrt{x}\sqrt{y}=4y
  4. \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + 10z^3 + 5x^2 -y^2-15=5y

  1. \ln(x)=-2x
  2. -3\ln(y)=-3x
  3. \ln(-z)=-4y
  4. \ln(3x-y+z)=-5y

  1. 2\ln(z)\ln(x)\ln(y)=x+y+z
  2. 3\ln(7y)+x^2-z^3=x-y+z
  3. -4\ln(xyz)-y^3=2x+2y
  4. 5\ln(x+y+z)+x^3+y^2+z=2x+3y+4z

  1. \textit{\Large e}^{x}=yz
  2. 2\textit{\Large e}^{y}=-2xz
  3. -6\textit{\Large e}^{z}=3xy
  4. \textit{\Large e}^{x+y+z}=-4xyz

  1. \textit{\Large e}^{2x^2+5x+2y^3 - y + 6z^5}=x^2
  2. \textit{\Large e}^{xz\sqrt{y}+x^3+y^2+z}=6y^3
  3. \textit{\Large e}^{\frac{x-y+z}{x+y-z}}=-z^4
  4. \textit{\Large e}^{\ln(x+y+z)+x^2+y^3+z^4}=4y^2
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Solución

En los siguientes videos, se presenta el cálculo de la derivada de algunos de los ejercicios.

Ejercicio 23

Ejercicio 34

Ejercicio 41