Ejercicios Propuestos – Propiedades de los Radicales

31.05.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Factorice las siguientes expresiones descomponiendo cada uno de los elementos involucrados en factores primos y posteriormente usando las propiedades de los radicales.

$\sqrt[4]{76}$
$\sqrt[6]{115}$
$\sqrt[8]{49}$
$\sqrt[10]{90}$

$\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^5}$
$\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}$
$\sqrt[4]{18^4} \cdot \sqrt[5]{20^3}$
$\sqrt[5]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^2}$

$\sqrt[3]{27 \cdot 30}$
$\sqrt[5]{24 \cdot 16}$
$\sqrt[7]{62 \cdot 20}$
$\sqrt[9]{63 \cdot 98}$

$\dfrac{\sqrt[4]{76}}{\sqrt[6]{115}}$
$\dfrac{\sqrt[8]{49}}{\sqrt[10]{90}}$
$\dfrac{\sqrt[12]{89}}{\sqrt[14]{30}}$
$\dfrac{\sqrt[16]{65}}{\sqrt[18]{27}}$

$\dfrac{\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^9}}{\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}}$
$\dfrac{\sqrt[5]{18^4} \cdot \sqrt[6]{20^7}}{\sqrt[8]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^3}}$
$\dfrac{\sqrt[7]{28^6} \cdot \sqrt[8]{66^5}}{\sqrt[13]{87^8} \cdot \sqrt[8]{50^2}}$
$\dfrac{\sqrt[9]{55^8} \cdot \sqrt[10]{61^3}}{\sqrt[18]{78^{11}} \cdot \sqrt[10]{72}}$

$\dfrac{\sqrt[3]{27 \cdot 30}}{\sqrt[5]{24 \cdot 16}}$
$\dfrac{\sqrt[7]{62 \cdot 20}}{\sqrt[9]{63 \cdot 98}}$
$\dfrac{\sqrt[11]{81 \cdot 20}}{\sqrt[13]{46 \cdot 53}}$
$\dfrac{\sqrt[15]{98 \cdot 54}}{\sqrt[17]{45 \cdot 75}}$

Propiedades de los Radicales

14.05.202007.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades del radical de un número, del producto y la división. Sean $a$ y $b$ números reales; $m$ y $n$ números naturales, entonces

1. $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = a^{1/2}$ , si el radical de un número no tiene índice, se sobreentiende que es la raíz cuadrada. Más aún, la segunda raíz se puede expresar como la potencia $\frac{1}{2}$ .

2. $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ , la n-ésima raíz se puede expresar como la potencia $\frac{1}{n}$ .

3. $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ , la n-ésima raíz de la m-ésima potencia se puede expresar como la potencia $\frac{m}{n}$ .

4. $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ , si $n$ es par; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia es el valor absoluto, siempre que $n$ se par. Esto se debe a que el resultado de esta operación siempre será positivo.

5. $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ , si $n$ es impar; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del opuesto aditivo de un número negativo es el opuesto aditivo, de la la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del número. Esto se debe a que al multiplicar un número negativo, por sí mismo un número impar de veces, resulta en un número negativo.

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6. $\sqrt[n]{0} = 0$ , la raíz n-ésima de cero es igual a cero, esto se debe a que cero multiplicado por sí mismo, $n$ veces, es igual a cero.

7. $\sqrt[n]{1} = 1$ , la raíz n-ésima de uno es igual a uno, esto se debe a que uno multiplicado por sí mismo, $n$ veces, es igual a uno.

8. $\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ , la raíz n-ésima del producto de dos números, es igual al producto de las raíces n-ésimas de dichos números.

9. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0$ , la raíz n-ésima de la división de dos números, es igual a la división de las raíces n-ésimas de dichos números.

Esta lista es citada por algunos autores como la Ley de los Radicales o Leyes de Radicación, pero estas en realidad, son propiedades que se deducen de la propiedades de las potencias. De forma resumida, tenemos que

$\sqrt{a} = a^{1/2}$

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

$\sqrt[n]{a^n} = |a|$ , si $n$ es par

$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ , si $n$ es impar

$\sqrt[n]{0} = 0$

$\sqrt[n]{1} = 1$

$\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0$

Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos como usar estas propiedades.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifique la expresión $\sqrt[3]{7^4}$ usando las propiedades de los radicales.

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

$\sqrt[3]{7^4} = \sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{7} = 7 \cdot \sqrt[3]{3}$

Ejemplo 2

Simplifique la expresión $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos reescribir los radicales como exponentes y sumarlos,

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5}$

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Ejemplo 3

Simplifique la expresión $\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}} = 9^{\frac{1}{5}} \cdot 9^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{5} + \frac{4}{3}} = 9^{\frac{23}{15}}$

Antes de reescribir este exponente como un radical, podemos descomponer el número $9$ en factores primos para obtener que

$9^{\frac{23}{15}} = \left( 3^2 \right)^{\frac{23}{15}} = 3^{\frac{46}{15}} = \sqrt[15]{3^{46}}$

$\sqrt[15]{3^{46}} = \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{31}} = \sqrt[15]{3^{15}} \cdot \sqrt[15]{3^{31}} = 3 \cdot \sqrt[15]{3^{31}}$

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

$3\sqrt[15]{3^{31}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{16}} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}}$

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

$3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3} = 3^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^3 \cdot \sqrt[15]{3}$

Nota: Estos últimos tres pasos se pudieron resumir separando $\sqrt[15]{3^{46}}$ como $\sqrt[15]{3^{45} \cdot 3}$ y simplificando directamente el $45$ con $15$ para obtener el exponente $3$ .

Ejemplo 4

Simplifique la expresión $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5^3}$ usando las propiedades de los radicales.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$

Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,

$3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = \left( 3 \cdot 5 \right)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left( 3 \cdot 5 \right)^3}$

Ejemplo 5

Simplifique la expresión $\frac{\sqrt[5]{2^{27}}}{2}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,

$\frac{2^{\frac{27}{5}}}{2} = 2^{\frac{9}{5}-1} = 2^{\frac{22}{5}} = \sqrt[5]{2^{22}}$

$\sqrt[5]{2^{22}} = \sqrt[5]{2^{20} \cdot 2^{2}} = 2^{4} \cdot \sqrt[5]{2^{2}}$

Nota: Se pudo en un principio simplificar el numerador y posteriormente simplificar con el denominador, sin embargo, no se hizo así para demostrar como aplicar las propiedades.

Radicales

14.05.202011.04.2023 Anthonny Arias-García4 comentarios

Al definir las potencias, encontramos una forma de denotar el producto de un número multiplicado por él mismo reiteradas veces. De esta forma tenemos que

Al considerar el número nueve, tres es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente nueve, es decir,
$3^2 = 9$ .
Al considerar el número cuatro, dos es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cuatro, es decir,
$2^2 = 4$ .
Al considerar el número sesenta y cuatro, ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente sesenta y cuatro, es decir,
$8^2 = 64$ .

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Esta idea es bastante intuitiva pero, ¿y si consideramos el número dos? ¿Cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo, el resultado es exactamente dos? ¿Será uno? ¿Dos? ¿Uno y un medio? ¿Uno y un cuarto? Los números número enteros o fracciones de enteros en los que podemos pensar no aportarán ninguna solución. Es por esto que recurrimos a un nuevo número que satisface esta condición, lo llamaremos es la raíz cuadrada de dos y usamos la notación de radical ( $\sqrt{ \ \ }$ ) para denotarlo de la siguiente manera

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente dos, es decir, $\left( \sqrt{2} \right)^2 = 2$ . Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

Al considerar el número cinco, la raíz cuadrada de cinco es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente cinco, es decir,
$\left( \sqrt{5} \right)^2 = 5$ .
Al considerar el número doce, la raíz cuadrada de doce es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente doce, es decir,
$\left( \sqrt{12} \right)^2 = 12$ .
Al considerar el número treinta, la raíz cuadrada de treinta es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente treinta, es decir,
$\left( \sqrt{30} \right)^2 = 30$ .
Al considerar el número uno, la raíz cuadrada de uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo, el resultado es exactamente uno, es decir,
$\left( \sqrt{1} \right)^2 = 1$ .
En este caso, notemos que $\sqrt{1} = 1$ .
Al considerar el número menos tres, podemos decir de forma general que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida pues no existe un número que multiplicado por sí mismo sea un número negativo.

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Muy bien, ahora, ¿cuál el número tal que al multiplicarlo por sí mismo tres veces, el resultado es exactamente dos? A este número lo llamaremos es la raíz cúbica de dos y usamos la notación de radical ( $\sqrt{ \ \ }$ ) con el índice tres para denotarlo de la siguiente manera

Aunque no sepamos exactamente toda la extensión decimal de este número sabemos que, por definición, es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente dos, es decir, $\left( \sqrt[3]{2} \right)^3 = 2$ . Esta notación se puede extender para otros números en los que se presente la misma situación.

Al considerar el número siete, la raíz cúbica de siete es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente siete, es decir,
$\left( \sqrt[3]{7} \right)^{3} = 7$ .
Al considerar el número quince, la raíz cúbica de quince es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente quince, es decir,
$\left( \sqrt[3]{15} \right)^{3} = 15$ .
Al considerar el número menos uno, la raíz cúbica de menos uno es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos uno, es decir,
$\left( \sqrt[3]{-1} \right)^{3} = -1$ .
En este caso, notemos que $\sqrt[3]{-1} = -1$ .
Al considerar el número menos veinticuatro, la raíz cúbica de menos veinticuatro es un número tal que al multiplicarlo por él mismo tres veces, el resultado es exactamente menos veinticuatro, es decir,
$\left( \sqrt[3]{-24} \right)^{3} = -24$ .

Los radicales se pueden usar para expresar números que cumplen con este tipo de condiciones. De forma general podemos decir que si consideramos un número $a$ y $n$ un número entero mayor que uno, entonces definimos la raíz $n$ -ésima de $a$ como un número tal que al multiplicarlo por sí mismo $n$ veces, el resultado es exactamente $a$ , usamos la notación de radical ( $\sqrt{ \ \ }$ ) con el índice $n$ para denotarlo de la siguiente manera

Considerando que si $n$ es un número par, la raíz $n$ -ésima de $a$ está definida sólo si $a \geq 0$ . De esta forma, tenemos que

Al considerar el número ocho, la raíz sexta de ocho es un número tal que al multiplicarlo por él mismo seis veces, el resultado es exactamente ocho, es decir,
$\left( \sqrt[6]{8} \right)^{6} = 8$ .
Al considerar el número menos diez, la raíz quinta de menos diez es un número tal que al multiplicarlo por él mismo cinco veces, el resultado es exactamente menos diez, es decir,
$\left( \sqrt[5]{-10} \right)^{5} = -10$ .
Al considerar el número trece, la raíz vigésima de trece es un número tal que al multiplicarlo por él mismo veinte veces, el resultado es exactamente trece, es decir,
$\left( \sqrt[20]{13} \right)^{20} = 13$ .

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