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Axiomas Algebraicos de los Números Reales

Anthonny Arias-García9 comentarios
  1. Axiomas Algebraicos
    1. Axiomas para la suma
    2. Axiomas para el producto
    3. Propiedad Distributiva
  2. Axiomas de Orden
    1. Ley de Tricotomía
      1. Números positivos y números negativos
    2. Transitividad
    3. Orden de la suma
    4. Orden del producto

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido al definir los números naturales, enteros y racionales, estas operaciones son: suma, resta, multiplicación y división. Pero, al presentarse los números reales como un contexto más general, es necesario formalizar la forma en que podemos efectuar estas operaciones.

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Axiomas Algebraicos

Los Axiomas Algebraicos de los Números Reales usualmente se conocen como propiedades de los números reales y para enunciarlos, consideremos a, b y c números reales.

Axiomas para la suma

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: a+b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a + b = b + a
  3. Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b)+c
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a + 0 = 0 + a = a
  5. Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir, a + (-a) = (-a) + a = 0

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Axiomas para el producto

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: a \cdot b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a \cdot b = b \cdot a
  3. Propiedad asociativa: a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que a \cdot 1 = 1 \cdot a = a
  5. Inverso multiplicativo: Para todo número real a \neq 0, existe un número real a^{-1} tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir, a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1
  6. Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Si consideramos esta igualdad en el sentido de izquierda a derecha, podemos notar que hemos distribuimos el factor en una suma.

Sin embargo, en el sentido de derecha a izquierda, podemos notar que al ser a un factor común en ambos sumandos, haremos algo que se conoce como sacar el factor común, es decir,

a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)

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Axiomas de Orden

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define una parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales.

Ley de Tricotomía

Formalmente, si a y b son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, a = b. Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

a es igual a b

2.- a es menor que b, es decir, a < b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

a es menor que b

3.- a es mayor que b, es decir, a > b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

a es mayor que b

Números positivos y números negativos

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si a es un número real, tendremos que:

  • Si a > 0, diremos que a es un número positivo.
  • Si a < 0, diremos que a es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.

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Transitividad

Consideremos tres números reales a, b y c. Si a es menor que b y a su vez, b es menor que c, podemos asegurar que a es menor que c, es decir,

a < b y b < c, entonces a < c

Orden de la suma

Consideremos tres números reales a, b y c. Si a es menor que b y sumamos c a a y a b, entonces se preserva el orden de estas sumas, es decir,

a < b, entonces a +c < b + c

Orden del producto

Consideremos tres números reales a, b y c. Si a es menor que b y multiplicamos por un número positivo c a a y a b, entonces se preserva el orden de la suma, es decir,

a < b y c > 0, entonces a +c < b + c

Los números enteros y sus operaciones

Anthonny Arias-García2 comentarios
  1. ¿Qué son los números enteros?
  2. Operaciones entre Números Enteros
    1. Suma y Resta de Números Enteros
      1. Ejemplos
        1. Ejemplo 1
        2. Ejemplo 2
        3. Ejemplo 3
        4. Ejemplo 4
    2. El producto de Enteros y la Ley de los Signos
      1. Ejemplo
        1. Ejemplo 5
        2. Ejemplo 6
        3. Ejemplo 7
        4. Ejemplo 8

¿Qué son los números enteros?

Considere el número 4 y el número 7, estos dos son números naturales y por lo tanto ambos representan una cantidad de objetos. Suponga que se tiene una caja con 7 juguetes y se sacan 4 juguetes de ella. La caja quedaría con 3 juguetes. Ahora bien, ¿qué pasaría si se tiene una caja con 4 juguetes y queremos sacar 4 juguetes? ¿O si se quieren sacar 7 juguetes? ¿Puede el resultado de esta situación representarse con un número natural?

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Respondamos la primera pregunta, si se tienen 4 juguetes en una caja y se sacan 4, no queda ningún juguete en la caja. Sin embargo, no conocemos ningún número natural que podamos corresponder con esta situación, así que definiremos un nuevo número llamado cero que denotaremos por 0 y nos representará ninguna cantidad.

El número cero permite definir una nueva gama de números, de la siguiente forma: Si a es un número natural entonces definimos un nuevo número -a como su opuesto aditivo, que tendrá la siguiente propiedad:

a + (-a) = (-a) + a = 0

Nota: Podemos decir, además, que a es el opuesto aditivo de -a.

Sentando base en estos nuevos números podemos definir una nueva operación, si consideramos dos números naturales a y b, entonces al sumar a con el opuesto aditivo de b, la operación a+(-b) se conoce como la resta y la escribimos de la siguiente forma:

a-b

Definiremos el conjunto de los Números Enteros como un nuevo conjunto que contiene a todos los números naturales junto con el número 0 y el opuesto aditivo de cada número natural. Lo denotaremos por \mathbb{Z} y lo expresamos extensivamente así:

\mathbb{Z} = \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}

Este conjunto continúa de manera indefinida siguiendo la secuencia de los números naturales 1,2,3,4, \ldots y además, siguiendo la secuencia de los opuestos aditivos de los números naturales -1,-2,-3,-4, \ldots, es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva.

También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta. Los números naturales se escriben hacia la derecha y sus opuestos aditivos se escriben hacia la izquierda, el cero se escribe el medio de ambos, así

Representación gráfica de los números enteros | totumat.com

Es importante acotar que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir,

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}

Operaciones entre Números Enteros

Al efectuar operaciones entre números naturales tales como la suma o el producto, es poco el cuidado que tenemos sobre el signo pues el resultado siempre es positivo. Sin embargo, la resta de números naturales puede presentar algunos problemas, es por esto que hemos definido los números enteros, así que veamos como se efectúan.

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Suma y Resta de Números Enteros

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

suma de números enteros tres más dos es igual a cinco | totumat.com
tres más dos es igual a cinco

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

resta de números enteros dos menos tres es igual a menos uno | totumat.com
dos menos tres es igual a menos uno

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman y se mantiene el signo.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Para efectuar la suma 7 +10, ambos números tienen signo positivo, así que los sumamos y mantenemos el signo positivo.

7 +10 = 17

Ejemplo 2

Para efectuar la suma 9 + (-3), estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, 9 es el mayor, así que dejamos el signo positivo.

9 + (-3) = 9 - 3 = 6

Ejemplo 3

Para efectuar la suma (-20) + 11, estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, 20 es el mayor, así que dejamos el signo negativo.

(-20) + 11 = 11 - 20 = -9

Ejemplo 4

Para efectuar la suma (-37) + (-23), ambos números tienen signo negativo, así que los sumamos y mantenemos el signo negativo.

(-37) + (-23) = - 37 - 23 = - 60

El producto de Enteros y la Ley de los Signos

El producto entre dos números enteros lo definiremos igual que el producto entre números naturales, pero debemos tener ciertas consideraciones sobre los signos. Sean a y b dos números naturales, entonces:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 6

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

Ejemplo 7

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32

Definiendo los números enteros podemos encontrar una respuesta al problema que no se nos presentó cuando restábamos números naturales, pero aún nos queda una pregunta por responder sobre los números naturales y que se aplica también a los números enteros: ¿Qué sucede si dividimos dos números enteros? Debemos entonces definir los Números Racionales.