Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas y No-Exactas

05.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Una ecuación de la forma

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es exacta si cumple que $M_y = N_x$

En caso de ser una ecuación no-exacta, entonces el factor integrante correspondiente $\mu$ estará definido de la siguiente manera:

Si $\frac{M_y-N_x}{N}$ es una función que depende únicamente de x, entonces

$\mu(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{M_y-N_x}{N} dx}$

Si $\frac{N_x-M_y}{M}$ es una función que depende únicamente de y, entonces

$\mu(y) = \textit{\huge e}^{\int \frac{N_x-M_y}{M} dy}$

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$(x+1)dx + (y+1)dy=0$
$(4x-1)dx + (3y+7)dy=0$
$(-2x-5)dx + (6y+7)dy=0$
$(2x+3)dx + (13y-4)dy=0$

$(y+1)dx + (6x+1)dy=0$
$(3y+3)dx - (4x-1)dy=0$
$(6y+7)dx + (-2x-5)dy=0$
$(3y-4)dx - (x+3)dy=0$

$(y-x)dx + (x-y)dy=0$
$(2x+y)dx + (x+6y)dy=0$
$(-3x+5y)dx + (5x-2y)dy=0$
$(4x-8y)dx - 2(4x+y)dy=0$

$(y-x)dx - (x-1)dy=0$
$(2x-2)dx + (x+8y)dy=0$
$(-3+9y)dx - (5x-2y)dy=0$
$(x+3y)dx + 3(2x+1)dy=0$

$xy^2dx + x^2ydy=0$
$(1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy=0$
$(3 + 6x^2y^2)dx - (7 - 4x^3y^2)dy=0$
$(-7x + 10x^3y^6)dx + (9y + 15x^4y^5)dy=0$

$xydx + x^2ydy=0$
$(5 + x^2y^3)dx - (x^3y^2)dy=0$
$(6x^2y^7)dx - (7y^3 - 4x^3y^8)dy=0$
$(-7x + 10x^3y^4)dx - (8x^4y^3)dy=0$

$\ln(y)dx + \frac{x}{y}dy=0$
$\big( x\ln(y) \big)dx + \left( 1+\frac{x^2}{2y} \right)dy=0$
$\left( 3x + 3\frac{y}{x} \right)dx + \big( -2y + \ln(x^3) \big)dy=0$
$\left( -5x + 7\frac{y}{x} \right)dx + \big( 4y + 7\ln(x) \big)dy=0$
$\big( \ln(xy) + 5x + \frac{y}{x} \big)dx + \left( \ln(y) + \ln(x) + \frac{x}{y} \right)dy=0$

$(\textit{\Large e}^x + 1)dx + (\textit{\Large e}^y + 1)dy=0$
$(\textit{\Large e}^y + \textit{\Large e}^x)dx + (x\textit{\Large e}^y + 2)dy=0$
$(-\textit{\Large e}^{7y} - 4x)dx - (7x\textit{\Large e}^{7y} + 2y)dy=0$
$(9x-5y\textit{\large e}^{-5x})dx + (\textit{\Large e}^{-5x} + 2y)dy=0$

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Al considerar la forma estándar de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$y' + P(x) \cdot y = f(x)$

entonces el factor integrante correspondiente será

$\textit{\Large e}^{\int P(x) dx}$

Calcule la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el factor integrante. Determine además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$y'- y = 1$
$5y' + 4y = -2$
$10y' - 10y = 3x$
$15y' + 7y = -4x^2$ ; $y(0)=1$

$y'+ y = x + 1$
$3y' - y = 4x - 9$
$-5y'- y = 2y + 3$
$4y'- 8y = y + 7x + 3$ ; $y(3)=-1$

$y' + xy = 5x$
$8y' - x^2y = -6x^2$
$-10y' + xy = 7x^3$
$12y' - x^3y = -8x^7$ ; $y(1)=0$

$y' - \frac{y}{x} = x$
$2y' - \frac{3y}{x} = 8x$
$12y' + \frac{36y}{x+2} = -5x^2$
$-3y' + \frac{2y}{-x-4} = 10(-x-4)^5$ ; $y(4)=-1$

$y' + \frac{5y}{x} = \sqrt{x}$
$-6y' - \frac{7y}{x} = -2\sqrt[3]{x}$
$-20y' + \frac{40y}{-x+6} = -4\sqrt[5]{x^4}$
$-9y' - \frac{y}{7x-1} = 3\sqrt[4]{7x-1}$ ; $y(-1)=2$

$y' - y = \textit{\large e}^{x}$
$-9y' + 4y = -2\textit{\large e}^{2x}$
$18y' - 5y = 3x\textit{\large e}^{x}$
$-27y' + 11y = 6x\textit{\large e}^{-3x}$ ; $y(0)=1$

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