Las ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables representan sólo una pequeña porción en el universo de las ecuaciones diferenciales, es por esto que debemos generalizar nuestras definiciones paso a paso para poder abordar ecuaciones diferenciales menos triviales.

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Definición

Entonces, definimos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales como aquellas que se expresan de la siguiente forma

$a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x)$

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea si $g(x)=0$ , por otra parte, diremos que es no-homogénea si $g(x) \neq 0$ . Podemos notar que toda ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea es de variables separables pues

$\displaystyle a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x)y = 0 \Rightarrow a_1(x) \frac{dy}{dx} = - a_0(x)y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{a_0(x)}{a_1(x)} \cdot y$

Sabiendo esto, en esta sección descartaremos las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas y nos enfocaremos en el caso en que éstas sean no-homogéneas.

Antes de explicar el procedimiento para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, debemos tener claros algunos elementos: Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal está expresada en su forma estándar si el coeficiente que multiplica a la derivada de mayor orden involucrada en la ecuación es exactamente igual a uno, es decir, que está expresada de la siguiente forma

$y' + P(x) y = f(x)$

Y decimos que estandarizar una ecuación diferencial ordinaria lineal es reescribirla en su forma estándar.

El Factor Integrante

El procedimiento que usaremos para calcular la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas se basa en encontrar factor tal que al multiplicarlo por cada sumando de la ecuación, ésta se reduce a una ecuación homogénea. A este factor lo llamaremos factor integrante y lo definimos como

$\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int P(x)dx}$

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea:

$5y' - 20y = 30$

Lo primero que debemos notar es que esta ecuación no está expresada en su forma estándar así que aún no podemos identificar la función $P(x)$ para definir nuestro factor integrante, para estandarizarla debemos dividir cada uno de sus sumandos por 5 para obtener

$y' - 4y = 6$

Una vez estandarizada, podemos concluir que $P(x)=-4$ , así que nuestro factor integrante es

$\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int -4dx} = \textit{\huge e}^{-4x}$

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor integrante

$\textit{\huge e}^{-4x} y' + \textit{\huge e}^{-4x} (- 4y) = \textit{\huge e}^{-4x} 6$

Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada del producto $\textit{\huge e}^{-4x} \cdot y$ , así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

Expresados ambos elementos de la ecuación de esta forma, calculamos la integral de ambas expresiones respecto a la variable $x$ tal como se ha planteado al calcular la solución de ecuaciones diferenciales de variables separables.

$\int \frac{d}{dx} \left( \textit{\huge e}^{-4x} y \right) \ dx = \int \textit{\huge e}^{-4x} 6 \ dx \Rightarrow \textit{\huge e}^{-4x} y = \frac{\textit{\huge e}^{-4x}}{-4} 6 + C$

Finalmente, despejamos $y$ para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

$y = -\frac{3}{2} + C\textit{\huge e}^{4x}$

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea:

$2x^2y' + 4xy = 7x^4$

$y' + \frac{2}{x}y = \frac{7}{2}x^2$

Una vez estandarizada, podemos concluir que $P(x) = \frac{2}{x}$ , así que nuestro factor integrante es

$\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{2}{x} dx} = \textit{\huge e}^{2\ln(x)} = x^2$

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor integrante

$x^2 \cdot y' + x^2 \cdot \frac{2}{x} y = x^2 \cdot \frac{7}{2}x^2$

Cuyos sumandos podemos simplificar de la siguiente forma:

$x^2 \cdot y' + 2x \cdot y = \frac{7}{2}x^4$

Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada del producto $x^2 \cdot y$ , así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

$\int \frac{d}{dx}\left( x^2 y \right) dx = \int \frac{7}{2}x^4 dx \Rightarrow x^2 y = \frac{7}{10}x^5 + C$

Finalmente, despejamos $y$ para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

$y = \frac{7}{10}x^3 + \frac{C}{x^2}$

Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea con el problema de valor inicial indicado:

$6x^3y' - 2x^2y = 4x - 6, \ y(1) = 1$

$y' - \frac{1}{3x}y = \frac{2}{3x^2} - \frac{1}{x^3}$

Una vez estandarizada, podemos concluir que $P(x) = - \frac{1}{3x}$ , así que nuestro factor integrante es

$\rho(x) = \textit{\huge e}^{\int - \frac{1}{3x} dx} = \textit{\huge e}^{-\frac{1}{3}\ln(x)} = x^{-\frac{1}{3}}$

Ahora multiplicamos cada uno de los sumandos de nuestra ecuación estandarizada por el factor integrante

$x^{-\frac{1}{3}} \cdot y' - x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3x}y = x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3x^2} - x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{x^3}$

Cuyos sumandos podemos simplificar de la siguiente forma:

$x^{-\frac{1}{3}} \cdot y' - \frac{1}{3} x^{-\frac{4}{3}} y = \frac{2}{3}x^{-\frac{7}{3}} - x^{-\frac{10}{3}}$

Notando que la suma expresada en el lado izquierdo de la ecuación es justamente de la derivada del producto $x^{-\frac{1}{3}} \cdot y$ , así que podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

$\int \frac{d}{dx}\left( x^{-\frac{1}{3}} \cdot y \right) dx = \int \left( \frac{2}{3}x^{-\frac{7}{3}} - x^{-\frac{10}{3}} \right) \ dx$

$\Rightarrow \ x^{-\frac{1}{3}} \cdot y = -\frac{1}{2}x^{-\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{-\frac{7}{3}} + C$

Finalmente, despejamos $y$ para obtener la solución general de la ecuación diferencial.

$y = -\frac{1}{2x} + \frac{3}{7x^2} + C x^{\frac{1}{3}}$

Una vez que hemos calculado la solución general de esta ecuación diferencial, debemos encontrar la solución particular que cumple con el problema de valor inicial. Para esto, sustituimos los valores $x=1$ y $y=1$ en la solución general para posteriormente despejar $C$

$y = -\frac{1}{2x} + \frac{3}{7x^2} + C x^{\frac{1}{3}}$

$\; \Rightarrow \; 1 = -\frac{1}{2(1)} + \frac{3}{7(1)^2} + C (1)^{\frac{1}{3}}$
$\; \Rightarrow \; 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{7} + C$
$\; \Rightarrow \; 1 + \frac{1}{2} - \frac{3}{7} = C$
$\; \Rightarrow \; \frac{15}{14} = C$
$\; \Rightarrow \; C = \frac{15}{14}$

De esta forma, concluimos que la solución que satisface el problema de valor inicial $y(1)=1$ es

$y =-\frac{1}{2x} + \frac{3}{7x^2} + \frac{15}{14} x^{\frac{1}{3}}$

Sistemas de Ecuaciones Lineales – Cramer

30.07.202007.03.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ un conjunto de $n$ incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con $n$ incógnitas y $m$ ecuaciones, de la siguiente forma:

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Podemos definir varios elementos que nos permitan calcular la solución del sistema de ecuaciones usando determinantes de matrices, así que empezaremos definiendo

$\Delta = |A|$

Si $\Delta \neq 0$ , podemos garantizar que existe una única solución para el sistema de ecuaciones, por lo tanto

Definimos $\Delta_{x_1}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la primera columna por la matriz $C$ , es decir,

Definimos $\Delta_{x_2}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la segunda columna por la matriz $C$ , es decir,

Continuando así, definimos $\Delta_{x_j}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{j-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Finalmente, definimos $\Delta_{x_n}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{n-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Una vez que hemos definido esta serie de elementos, podemos definir los valores que dan solución al sistema de ecuaciones planteando los siguientes cocientes:

$x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}, \ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}, \ \ldots , \ x_n = \frac{\Delta_{x_n}}{\Delta}.$

Este método es conocido como la Regla de Cramer, veamos entonces con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{15}{16}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{71}{32}$

Ejemplo 2

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{400}{133}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{270}{133}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{41}{133}$

Ejemplo 3

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-355}{257}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{-145}{257}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{133}{257}$

Ejemplo 4

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x = \frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-109}{235}, \ y = \frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{213}{235}, \ z = \frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{34}{47}, \ w = \frac{\Delta_{ w }}{\Delta} = \frac{354}{235}$

Sistemas de Ecuaciones Lineales

30.07.202007.03.2025 Anthonny Arias-García4 comentarios

Al definir una ecuación, de forma básica, se establece la relación entre un número desconocido y números conocidos a partir de una igualdad, también hemos visto que es posible establecer relaciones entre más números desconocidos tal como cuando se define una recta de la forma $ax + by + c = 0$ y calcular el punto de intersección entre dos rectas, se determinan los valores de $x$ y $y$ que satisfacen ambas ecuaciones; generalizando así, nuestra definición de ecuación.

La solución de este sistema es un conjunto de números reales que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, y para determinar si un sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución, debemos tomar ciertas consideraciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede ver como una ecuación donde los elementos involucrados son matrices pues las expresiones que están del lado izquierdo de la igualdad se pueden escribir como un producto de matrices y los elementos que están del lado derecho se pueden escribir como una matriz de una sola columna, de la siguiente manera:

Identificando las matrices $A$ , $X$ y $C$ ; podemos asegurar que el sistema de ecuaciones tendrá exactamente una solución si la matriz $A$ es una matriz cuadrada y si esta es una matriz no-singular, es decir, si $|A| \neq 0$ . Existen diversos métodos para calcular esta única solución de un sistema de ecuaciones.

Introducción a las ecuaciones con valor absoluto

29.11.201906.01.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

¿Qué es una distancia?

Si consideramos dos objetos posicionados en dos lugares distintos, siempre habrá un espacio que los separa, al espacio más pequeño que los separa, se conoce como la distancia entre ellos dos y es posible medir este espacio fijando patrones, por ejemplo: metros, kilometros, bananas, pies, pulgadas o hasta canchas de fútbol americano.

En ocasiones, al trabajar con problemas de matemáticas avanzados, más allá de obtener valores, es necesario medir la magnitud de estos, pues su interpretación en el problema que se esté describiendo puede indicar resultados importantes. Para esto, debemos definir una herramienta que nos permita medir la magnitud de un número.

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¿Qué es el valor absoluto de un número?

Si $a$ es un número real, definimos valor absoluto de $a$ como la distancia que hay entre $a$ número y el número cero. El valor absoluto de $a$ se denota encerrando el número $a$ con dos barras verticales de al siguiente manera $|a|$ y formalmente se expresa así:

$\large \left| a \right| = \left\{ {\begin{array}{lcr} a & \text{si} & a \geq 0\\ \text{\'o} & & \\ -a & \text{si} & a < 0 \end{array} } \right.$

Ejemplos

Consideremos dos números, uno negativo y otro negativo, y veamos cómo calcular el valor absoluto de estos usando la definición formal:

Ejemplo 1

Si consideramos el número 3, como éste es un número positivo entonces tenemos que $3>0$ , por lo tanto $|3|=3$ . Gráficamente, nos damos cuenta que la distancia entre el número $3$ y el número cero, es igual a $3$ .

Ejemplo 2

Por otra parte si consideramos el número -2, como este es un número negativo entonces tenemos que $-2<0$ , por lo tanto $|-2|=-(-2)=2$ . Gráficamente, nos damos cuenta que la distancia entre el número $-2$ y el número cero, es igual a $2$ .

Nota: El valor absoluto de cero, es igual a cero, pues la distancia entre el cero y él mismo es igual a cero. Por otra parte, el valor absoluto de cualquier número real distinto de cero, al ser una medida, siempre es un número positivo.

Ecuaciones con Valor Absoluto

Suponga que se plantea una situación que se puede describir con la siguiente ecuación: $|x| = 5$ , ¿qué números son los que satisfacen la igualdad? Sabemos que $|5|=5$ por lo que podemos concluir que $x=5$ es una solución de esta ecuación. Sin embargo, debemos notar que $|-5|=5$ , asi que podemos concluir que $x=-5$ también es una solución de esta ecuación.

En vista de que hay dos valores de $x$ que satisfacen la igualdad, entonces la solución de la ecuación está definida por el conjunto $\{-5,5\}$ pues ambos valores satisfacen la ecuación.

De forma general, si consideramos la ecuación $|x| = a$ , entonces los valores que satisfacen esta inecuación son $a$ y el opuesto aditivo de $a$ , es decir, $-a$ . Esto lo podemos expresar con la siguiente equivalencia.

$\displaystyle \Large \left| x \right| = a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = a \\ \text{\'o} \\ x = -a \end{array} } \right.$

Ejemplos

Consideremos algunos ejemplos de ecuaciones lineales que involucran el valor absoluto de una variable.

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|x|=7$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$\left| x \right| = 7 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x = 7 \\ \text{\'o} \\ x = -7 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$x = 7$

Solución (2):

$x = -7$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\{-7,7\}$ .

Ejemplo 4

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|x+4|=1$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|x+4| = 1 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x + 4 = 1 \\ \text{\'o} \\ x + 4 = -1 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$x + 4 = 1$

$\Rightarrow x = 1 - 4$

$\Rightarrow x = - 3$

Solución (2):

$x + 4 = -1$

$\Rightarrow x = -1 - 4$

$\Rightarrow x = - 5$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\{-3,-5\}$ .

Ejemplo 5

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|-x+5|=9$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|-x+5|=9 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} -x + 5 = 9 \\ \text{\'o} \\ -x + 5 = -9 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$-x + 5 = 9$

$\Rightarrow -x = 9 - 5$

$\Rightarrow -x = 4$

$\Rightarrow x = - 4$

Solución (2):

$-x + 5 = -9$

$\Rightarrow -x = -9 - 5$

$\Rightarrow -x = -14$

$\Rightarrow x = 14$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\{-4,14\}$ .

Ejemplo 6

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|6x-10|=5$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|6x-10|=5 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 6x - 10 = 5 \\ \text{\'o} \\ 6x - 10 = -5 \end{array} } \right.$

Solución (1):

$6x - 10 = 5$

$\Rightarrow 6x = 5 + 10$

$\Rightarrow 6x = 15$

$\Rightarrow x = \dfrac{15}{6}$

$\Rightarrow x = \dfrac{5}{2}$

Solución (2):

$6x - 10 = -5$

$\Rightarrow 6x = -5 + 10$

$\Rightarrow 6x = 5$

$\Rightarrow x = \dfrac{5}{6}$

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\left\{ \frac{5}{6} , \frac{5}{2} \right\}$ .

Ejemplo 7: El valor absoluto igual a un número negativo

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|2x+7|=-12$

Recordemos que el valor absoluto, al ser una medida, es siempre mayor o igual a cero. Por lo tanto, no existe un valor de $x$ para el cual el valor absoluto sea igual al número negativo $-12$ . En resumen, si nos preguntamos: ¿cuándo un número positivo es negativo? La respuesta es: nunca.

Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|2x+1|=x+4$

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta ecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta igualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|2x+1|=x+4 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} 2x + 1 = x + 4 \\ \text{\'o} \\ 2x + 1 = -(x + 4) \\ \end{array} } \right.$

Solución (1):

$2x + 1 = x + 4$

$\Rightarrow 2x = x + 4 - 1$

$\Rightarrow 2x = x + 3$

$\Rightarrow 2x - x = 3$

$\Rightarrow x = 3$

Solución (2):

$2x + 1 = -(x + 4)$

$\Rightarrow 2x + 1 = -x - 4$

$\Rightarrow 2x = -x - 4 - 1$

$\Rightarrow 2x = -x - 5$

$\Rightarrow 2x + x = - 5$

$\Rightarrow 3x = - 5$

$\Rightarrow x = - \frac{5}{3}$

Considerando la expresión $x+4$ , no sabemos si esta es positiva o negativa, pues su valor depende del valor que tenga la variable $x$ . Entonces, definimos la solución parcial de nuestra ecuación con el conjunto $\left\{ -\frac{5}{3} , 3 \right\}$ .

Para determinar la solución general, debemos descartar los valores de $x$ para los cuales la expresión $x+4$ es negativa, pues el valor absoluto de un número siempre es positivo. Así,

Si $x=3$ , entonces $x+4 = 3 +4 = 7$ , por lo tanto $x=3$ sí es una solución de la ecuación.
Si $x=-\frac{5}{3}$ , entonces $x+4 = -\frac{5}{3} +4 = \frac{7}{3}$ , por lo tanto $x=-\frac{5}{3}$ sí es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\left\{ -\frac{5}{3} , 3 \right\}$ .

Ejemplo 8: Variables en ambos lados de la ecuación

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

$|x+7|=2x+5$

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual a la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.
Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es igual al opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la ecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

$|x+7|=2x+5 \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x + 7 = 2x + 5 \\ \text{\'o} \\ x + 7 = -(2x + 5) \\ \end{array} } \right.$

Solución (1):

$x + 7 = 2x + 5$

$\Rightarrow x = 2x + 5 - 7$

$\Rightarrow x = 2x - 2$

$\Rightarrow x -2x = - 2$

$\Rightarrow -x = - 2$

$\Rightarrow x = 2$

Solución (2):

$x + 7 = -(2x + 5)$

$\Rightarrow x + 7 = -2x - 5$

$\Rightarrow x = -2x - 5 - 7$

$\Rightarrow x = -2x - 12$

$\Rightarrow x + 2x = - 12$

$\Rightarrow 3x = - 12$

$\Rightarrow x = - \frac{12}{3}$

$\Rightarrow x = - 4$

Considerando la expresión $2x + 5$ , no sabemos si esta es positiva o negativa, pues su valor depende del valor que tenga la variable $x$ . Entonces, definimos la solución parcial de nuestra ecuación con el conjunto $\left\{-4 , 2 \right\}$ .

Para determinar la solución general, debemos descartar los valores de $x$ para los cuales la expresión $2x + 5$ es negativa, pues el valor absoluto de un número siempre es positivo. Así,

Si $x=2$ , entonces $2x+5 = 2(2) +4 = 4+4 = 8$ , por lo tanto $x=2$ sí es una solución de la ecuación.
Si $x=-4$ , entonces $2x+5 = 2(-4) +4 = -8+4 = -4$ , por lo tanto $x=-4$ no es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación está viene dada por el conjunto $\left\{ 2 \right\}$ .

Resolución de Ecuaciones Lineales

07.11.201915.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

¿Cómo se despeja la incógnita x?

Para calcular la solución de una ecuación lineal, debemos despejar la incógnita, esto es aplicar los axiomas algebraicos de los números reales de forma secuencial para que nuestra incógnita «se quede sola» en un sólo lado de la igualdad en la ecuación planteada.

Entonces, si considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ ; veremos en algunos ejemplos cómo despejar la incógnita partiendo de la siguiente forma básica de una ecuación lineal,

$ax + b = c$

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Nota: Al ser la técnica de despeje un proceso lógico-deductivo, usaremos una flecha con dos rayas ( $\Longrightarrow$ ) para denotar que una ecuación se ha deducido de la anterior. Dicha flecha se lee «implica que».

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la ecuación $5x+10 = 20$ despejando la incógnita $x$ .

$5x+10 = 20$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por $5$ y posteriormente sumanda por $10$ .

$\Longrightarrow \ 5x+10-10 = 20-10$

Queremos anular el $10$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por 10 en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ 5x+0 = 10$

Al ser $10$ y $-10$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 5x = 10$

Al sumar $5x$ más cero, el resultado es $5x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{5} \cdot 5x = \dfrac{1}{5} \cdot 10$

Queremos simplificar el $5$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{5}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 2$

Al ser $5$ y $\frac{1}{5}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = 2$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la ecuación $-3x+20 = 5$ despejando la incógnita $x$ .

$-3x+20 = 5$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por $-3$ y posteriormente sumanda por $20$ .

$\Longrightarrow \ -3x+20 -20 = 5 -20$

Queremos anular el $20$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por $20$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ -3x+0 = -15$

Al ser $20$ y $-20$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ -3x = -15$

Al sumar $-3x$ más cero, el resultado es $-3x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{-3} \cdot (-3)x = \dfrac{1}{-3} \cdot (-15)$

Queremos simplificar el $-3$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{-3}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 5$

Al ser $5$ y $\frac{1}{5}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = 5$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

En el siguiente ejemplo notaremos que en ambos lados de la ecuación se presentan expresiones que involucran a la incógnita $x$ , es por esto que será necesario agrupar las expresiones que involucran a $x$ en un lado de la igualdad (preferiblemente en lado izquierdo) y todas las expresiones que no involucran a $x$ del otro lado de la igualdad (preferiblemente el lado derecho).

Finalmente, nos daremos cuenta que debemos usar la propiedad distributiva para poder efectuar operaciones entre las expresiones que involucran a la incógnita x.

Ejemplo 3

Calcule la solución de la ecuación $10x+7 = 4x - 11$ despejando la incógnita $x$ .

$10x+7 = 4x - 11$

Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita $x$ en lado izquierdo de la igualdad, que está multiplicada por -3 y posteriormente sumanda por 20. E identificamos la incógnita $x$ en lado derecho de la igualdad, que está multiplicada por $4$ y posteriormente restada por $11$ .

$\Longrightarrow \ 10x+7-7 = 4x - 11-7$

Queremos anular el $7$ que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por $7$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18$

Al ser $7$ y $-7$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18$

Al ser $7$ y $-7$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ 10x = 4x -18$

Al sumar $10$ más cero, el resultado es $10x$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = -4x+ 4x -18$

Queremos anular el $4x$ que está sumando en el lado derecho de la igualdad. Entonces, restamos por $4x$ en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = 0 -18$

Al ser $4x$ y $-4x$ opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.

$\Longrightarrow \ -4x+10x = -18$

Al restar cero menos $18$ , el resultado es $18$ . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.

$\Longrightarrow \ (-4+10)x = -18$

Para sumar los términos que multiplican a equis, aplicamos la propiedad distributiva, notando que $x$ es un factor común.

$\Longrightarrow \ 6x = -18$

Sumamos los elementos que están dentro del paréntesis para obtener $6x$ .

$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{6} \cdot 6x = \dfrac{1}{6} \cdot (-18)$

Queremos simplificar el $6$ que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por $\frac{1}{6}$ en ambos lados de la igualdad.

$\Longrightarrow \ 1 \cdot x = -3$

Al ser $6$ y $\frac{1}{6}$ inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.

$\Longrightarrow \ x = -3$

Finalmente, obtenemos el valor de $x$ que satisface la ecuación original.

Mientras se está aprendiendo a calcular la solución de una ecuación lineal, es necesario seguir cada uno de los pasos para comprender la esencia de las operaciones que se hacen para poder abordar problemas más complejos en el futuro.

Sin embargo, a medida que nos vamos adiestrando en la resolución de ecuaciones lineales, podremos prescindir de algunos pasos para poder hallar la solución con mayor rapidez, por supuesto, siempre tomando en cuenta el trasfondo de los Axiomas Algebraicos que se están aplicando.

Entonces, podemos abusar de las operaciones y decir que «lo que está sumando de un lado de la igualdad, pasa a restar y lo que está restando de un lado de la ecuación, pasa a sumar«, también podemos decir que «lo que está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa a dividir y lo que está dividiendo de un lado de la ecuación, pasa a multiplicar«. Así, éste último ejemplo se puede abordar de la siguiente forma:

Ejemplo 3 – Otra forma

Calcule la solución de la ecuación $10x+7 = 4x - 11$ despejando la incógnita $x$ .

$10x+7 = 4x - 11$

Esta es nuestra ecuación original.

$\Rightarrow \ 10x = 4x - 11-7$

El siete que está sumando en el lado izquierdo del igualdad, pasa a restar en el lado derecho de la igualdad.

$\Rightarrow \ 10x = 4x - 18$

Menos once menos siente es igual a menos dieciocho.

$\Rightarrow \ 10x -4x = - 18$

El cuatro equis que está sumando de lado derecho de la igualdad, pasa a restar en el lado izquierdo de la igualdad.

$\Rightarrow \ 6x = - 18$

Diez equis menos cuatro equis es igual a seis equis.

$\Rightarrow \ x = -\dfrac{18}{6}$

El seis que está multiplicando a equis en el lado izquierdo de la igualdad, pasa a dividir a menos dieciocho en el lado derecho de la igualdad.

$\Rightarrow \ x = -3$

Finalmente, menos dieciocho entre seis es igual a menos tres.

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