Conjuntos Acotados

Otro aspecto importante en el estudio de las sucesiones es saber cuales son los elementos que las encajonan, ya que de esta forma, podemos establecer con más claridad el espacio donde estas se desarrollan.

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Cotas Superiores

Una cota superior (o elemento mayorante) de una sucesión es un número real que es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, $C$ es una cota superior de una sucesión $a_n$ si $a_n \leq C$ para todo número natural $n$ . Si una sucesión tiene una cota superior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada superiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $1$ , $0$ , $9$ o $3572$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que $-1$ es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $3$ , $2$ , $14$ o $1000$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que $1$ es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $2$ , $33$ , $97$ o $751$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

Cotas Inferiores

Una cota inferior (o elemento minorante) de una sucesión es un número real que es menor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, $c$ es una cota superior de una sucesión $a_n$ si $a_n \geq c$ para todo número natural $n$ . Si una sucesión tiene una cota inferior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada inferiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $-1$ , $0$ , $-34$ o $0.5$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $1$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ 3 \right\}_{n} = \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $2$ , $-839$ , $1.5$ o $-55$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $3$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $-2$ , $-10$ , $-7.98$ o $-457$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $0$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Sucesiones Acotadas

De forma general, diremos que una sucesión está acotada si está acotada tanto superior como inferiormente. Formalmente, diremos que una sucesión $a_n$ está acotada si existe un par de números reales $r$ y $R$ tales que $r \leq a_n \leq R$ para todo número natural $n$ . Por ejemplo, si consideramos la sucesión $\left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \}$ y vemos su comportamiento de forma gráfica:

Podemos notar que esta sucesión está acotada superiormente por cualquier número mayor que 1 y está acotada inferiormente por cualquier número menor que -1.

También hay sucesiones que no están acotadas (ni superior ni inferiormente), por ejemplo, si consideramos la sucesión $\left\{ n(-1)^{n-1} \right\}_{n} = \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, \ldots\}$ y viendo su comportamiento de forma gráfica:

Es fácil notar que esta sucesión no está acotada.

¡Acotemos conjuntos numéricos!

Al considerar la solución de una inecuación, tenemos conjuntos numéricos muy particulares pues al expresar estos de forma gráfica sobre la recta real, vemos que tienen una estructura parecida, es por esto que podemos clasificar las distintas formas en que podemos expresar estas soluciones. Para esto definimos los intervalos.

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Intervalos no acotados

Definimos los intervalos no acotados, como aquellos intervalos que contienen a todos los números mayores que un número fijo. Formalmente, sea $a$ un numero real, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos no acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto en a, hasta más infinito

$\{ x \in R : x > a \} = (a,+\infty)$
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta más infinito

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ , pero no contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea mayor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado en a, hasta más infinito

$\{ x \in R : x > a \} = [a,+\infty)$
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta más infinito

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ , y sí contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea mayor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo abierto en a, desde menos infinito

$\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a)$
el intervalo que va desde menos infinito, hasta a (excluyendo a)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números menores que $a$ , pero no contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea menor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado en a, desde menos infinito

$\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a]$
el intervalo que va desde menos infinito, hasta a (incluyendo a)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números menores que $a$ , y sí contiene a $a$ . Además, no existe un número dentro del intervalo, que sea menor que todos los demás números del intervalo. Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

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Intervalos acotados

Sentando base en los intervalos que van hasta o desde el infinito, es posible definir otro tipo de intervalos a partir de la intersección de estos. Es decir, definimos un intervalo como el conjunto de todos los números que se encuentran entre dos números dados. Consideremos dos números reales $a$ y $b$ tal que $a < b$ , entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto

$(a,+\infty) \cap (-\infty,b) = (a,b)$
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta b (excluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, no contiene a $a$ y no contiene a $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo semicerrado o semiabierto

$[a,+\infty) \cap (-\infty,b) = [a,b)$
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta b (excluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, sí contiene a $a$ y no contiene $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo semicerrado o semiabierto

$(a,+\infty) \cap (-\infty,b] = (a,b]$
el intervalo que va desde a (excluyendo a), hasta b (incluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, no contiene a $a$ y sí contiene $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

Intervalo cerrado

$(a,+\infty) \cap (-\infty,b)= [a,b]$
el intervalo que va desde a (incluyendo a), hasta b (incluyendo b)

Notemos que este conjunto contiene a todos los números mayores que $a$ y menores que $b$ al mismo tiempo. Además, sí contiene a $a$ y sí contiene $b$ . Lo representamos gráficamente de la siguiente manera:

De esta forma, si consideramos una inecuación, podemos expresar su solución en términos de intervalos y así, facilitar su ilustración de una forma más intuitiva. Veamos con un ejemplo como usar intervalos al resolver inecuaciones.