¿Cuál es el resultado de 8÷2(2+2)?

25.01.202007.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

En el 2019 se viralizó un debate sobre cual es el resultado de la operación 8÷2(2+2), pensé que había quedado en el olvido y que ya se había aclarado la situación. Sin embargo, me preguntaron cual era el resultado de esta operación citándome en un tweet y, aún hoy, las personas que respondían no se decidían entre 1 y 16.

Es necesario entender que al considerar operaciones mixtas, hay una jerarquía establecida entre las operaciones. Primero se deben efectuar todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último todas las restas. También hay que considerar que si se presentan signos de agrupación hay que efectuar primero lo contenido entre paréntesis (), luego corchetes [] y luego llaves {}; hay que efectuar las operaciones que se encuentran dentro de ellos considerando la jerarquía original.

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¿Las calculadoras mienten?

Al calcular esta operación en una calculadora, los resultados diferirán dependiendo de como han sido programadas pues algunas han sido programadas para priorizar la jerarquía entre las operaciones y otras han sido programadas para priorizar el orden de aparición de las operaciones.

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Escribir bien…

En mi opinión, el problema con ese caso específico es que la persona que lo planteó originalmente no tiene la más mínima de cómo se usan los signos de agrupación pues cuando se plantean operaciones entre números, éstas siempre provienen de un caso real, así que ese tipo de problemas siempre estarán bien planteados si se escriben correctamente. La ambigüedad en las matemáticas no debe tener cabida.

Esa operación tal como está definida es como plantear una pregunta sin signos de interrogación, comas, puntos o acentos .

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¿Cómo plantear el problema?

Caso 1

Supongamos que usted trabaja para una agencia de festejos y en una fiesta le ha correspondido repartir ocho trozos de torta entre un par de niños, esta situación se describe con la operación 8÷2. Suponga además que usted debe hacer esto dos veces más, entonces esta situación la describe con la siguiente operación (8÷2)×2. Si nuevamente le indican qué debe hacer esto dos veces más, entonces al final usted describirá esto con la siguiente operación

(8÷2)×(2+2)
= 4×4
= 16

Esto quiere decir que al final deberá repartir 16 trozos de torta.

Caso 2

Suponga nuevamente que usted trabaja en una agencia de festejos y en una fiesta le ha correspondido repartir ocho trozos de torta entre un par de niños, esta situación se describe con la operación 8÷2. Sin embargo, le indican que ahora no es un par de niños si no que son dos pares de niños, esta situación se describe con la operación 8÷(2×2). Por último, le indican que han llegado dos pares de niños más, entonces al final usted describirá esto con la siguiente operación

8÷[2×(2+2)]
= 8÷[2×4]
= 8÷8
= 1

Esto quiere decir que al final deberá repartir un pedazo de torta a cada niño.

En conclusión…

Considerando estos dos casos, notamos que cada uno tiene su propio planteamiento e interpretación. Siempre especificando cuales operaciones se han agrupado y siempre especificando qué operaciones se deben efectuar primero. Sin embargo, el problema original se resume en el siguiente tweet:

Coronavirus – COVID-19 (Un enfoque matemático)

23.01.202004.09.2020 Anthonny Arias-García2 comentarios

¿Qué es el coronavirus?

Ante las noticias sobre un nuevo brote del coronavirus es pertinente que todos estemos al tanto sobre lo referente a este virus. La Organización Mundial de la Salud (OMS) comparte la siguiente información en su página web:

Los coronavirus son una extensa familia de virus, algunos de los cuales pueden ser causa de diversas enfermedades humanas, que van desde el resfriado común hasta el SRAS (síndrome respiratorio agudo severo). Los virus de esta familia también pueden causar varias enfermedades en los animales.

¿Cuáles son los síntomas del coronavirus?

La agencia de noticias Deutsche Welle (DW) informa los siguientes síntomas:

Los pacientes que han contraído el virus han tenido fiebre, dificultad para respirar y tos. El virus también puede causar neumonía, una infección que inflama los sacos de aire en los pulmones y puede hacer que se llenen de líquido o pus. Los ciudadanos mayores tienden a verse más afectados por el virus que las personas más jóvenes.

¿Un nuevo coronavirus?

En el portal de The Guardian, indican qué es lo que ha ocurrido en Wuhan, la extensa capital de la provincia de Hubei en China central donde el virus ha tomado más vidas:

Es un nuevo coronavirus, es decir, un miembro de la familia de los coronavirus que nunca antes se había encontrado. Al igual que otros coronavirus, proviene de animales. Muchos de los infectados trabajaban o compraban frecuentemente en el mercado mayorista de mariscos de Huanan en el centro de la ciudad china, que también vendía animales vivos y recién sacrificados. Los virus nuevos y problemáticos generalmente se originan en huéspedes animales. El ébola y la gripe son ejemplos.

¡La simulación!

Por otra parte, Business Insider va directo a los números y contacta a Eric Toner, científico del Centro Johns Hopkins para la Seguridad de la Salud quién llevó a cabo una simulación de propagación del coronavirus tres meses antes del brote en el Evento 201. La simulación de Toner de una hipotética pandemia mortal de coronavirus sugirió que después de seis meses, casi todos los países del mundo tendrían casos del virus. En 18 meses, 65 millones de personas podrían morir.

Si bien Toner pudo con la tecnología de hoy en día simular una pandemia, este poder de cómputo no siempre ha estado disponible. Sin embargo, el estudio sobre la propagación de enfermedades ha ocupado —y preocupado— a los científicos de todas las eras y particularmente a los matemáticos.

El modelo matemático

Daniel Bernoulli, un matemático y físico suizo, realizó la primera aplicación de ecuaciones diferenciales al estudio de epidemias y enfermedades contagiosas en el año 1760. Y aunque este modelo se ha refinado con el tiempo, tal como lo presentan Dietz K y Heesterbeek JA en su artículo Daniel Bernoulli’s epidemiological model revisited, o modelos como el que presenta Tom Britton de la Universidad de Estocolmo en su artículo Stochastic epidemic models: a survey. Este modelo ilustra la línea de pensamiento que planteó Bernoulli:

La enfermedad en cuestión es la viruela. La enfermedad es contagiosa, pero confiere inmunidad completa a cualquiera que la haya contraído y se haya recuperado. Es esta última característica la que hace que la vacunación sea tan efectiva y finalmente hizo posible erradicar la enfermedad.

Bernoulli comienza con una población de personas en el momento $t = 0$ . Suponga que en el momento $t$ hay $x(t)$ personas vivas y $y(t)$ personas vivas que aún no han tenido viruela. El modelo es

Donde $a$ es la tasa de que la y-población es susceptible a la enfermedad, $b$ (con $0 < b < 1$ ) es la fracción de la y-población que contrae la enfermedad y no se recupera, y $d(t)$ es la tasa de mortalidad de todas las demás enfermedades. Multiplicando la primera ecuación por $y(t)$ y la segunda por $x(t)$ , obtenemos

De esta forma, al restar ambas ecuaciones se cancelan los sumandos $d(t) \cdot xy$ y así

Entonces, si consideramos la variable auxiliar $z=\dfrac{x}{y}$ , ésta última ecuación se puede reescribir como

$z' = -ab + az \Rightarrow z' - az = -ab$

Que es una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de primer orden, que podemos calcular definiendo su factor integrante. Notando que $P(t)=-a$ , entonces $\mu(t) = \text{\Large e}^{\int -a dt} = \text{\Large e}^{-at}$ , por lo tanto

Al considerar el problema de valor inicial $z(0)=1$ , entonces la solución de la ecuación diferencial que cumple con esta condición está expresada de la siguiente manera:

$z = b + (1-b) \text{\Large e}^{at}$

Bernoulli estimó que $a=b=\frac{1}{8}$ después de estudiar tablas de mortalidad, así que recomendó la vacunación.

¿Cómo prevenirlo?

Actualmente se sabe que este virus se contagia de humano a humano y, aunque no está clara la forma en que se contagia, las siguientes indicaciones son normales generales para prevenir cualquier enfermedad de contacto o por vías respiratorias.

Lave sus manos con agua y jabón frecuentemente.
Evite tocarse la boca, nariz u ojos; principalmente si se encuentra en la calle.
Tape su boca cuando tosa y si lo hace, no estreche la mano con otras personas.
Si presenta síntomas de estar enfermo, use tapabocas para evitar que otras personas se enfermen.
Use tapabocas si va a lugares muy concurridos, pues es en esos casos aumenta la probabilidad de contagio.

El Modelo de Bernoulli tomado del libro Elementary Differential Equations de C. Henry Edwards, David E. Penney en su sexta edición.

¿La fórmula cuadrática de Po-Shen Loh?

08.12.201908.01.2023 Anthonny Arias-García14 comentarios

El Doctor en Matemáticas Po-Shen Loh, ha descubierto una nueva forma — ¡más simple! — para deducir la fórmula cuadrática y así calcular la solución de las ecuaciones cuadráticas, es decir, aquellas que se expresan de la forma $Ax^2+ Bx+C=0$ . Esta fórmula ha estado frente a nuestras narices.

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Perdón, ¿quién?

Po-Shen, quien obtuvo su título como matemático en el Instituto de Tecnología de California (Caltech), su maestría en la universidad de Cambridge y finalmente su doctorado en Princeton en el año 2009, ha trabajado arduamente en el desarrollo de nuevas técnicas para la enseñanza de las matemáticas. Es el fundador de la plataforma gratuita de aprendizaje personalizado expii.com, una empresa social respaldada por su serie de cursos de matemáticas en línea, es profesor de matemáticas en la Universidad Carnegie Mellon y entrenador nacional del equipo de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de EE. UU.

¡Los babilonios tenían el secreto!

De acuerdo con lo publicado por Po-Shen en su artículo y lo relatado por el MIT technology review, los babilonios encontraron la ahora famosa fórmula cuadrática para ahorrarse en la engorrosa tarea de pagar impuestos. Particularmente el problema que tenían los babilonios que trabajaban con cultivos fue: dada una factura de impuestos que debe pagarse sobre los cultivos, ¿en cuánto debería aumentar el tamaño de mi campo para pagarla?

Entonces, tomando en cuenta un cultivo cuadrado (o en su defecto rectangular), si el tamaño de este es desconocido se presentará inevitablemente una ecuación cuadrática expresada de la forma $Ax^2 +Bx+C=0$ y su solución se calcula con la siguiente fórmula:

$\displaystyle \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4 \cdot A \cdot C}}{2 \cdot A}$

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La nueva deducción de la fórmula…

Po-Shen partió del hecho que si una ecuación cuadrática de la forma $x^2 + Bx + C = 0$ tiene dos soluciones R y S, entonces podemos factorizar y reescribir la expresión que la define como sigue:

$\displaystyle x^2 + Bx + C = (x-R)(x-S)$

A partir de aquí utiliza una técnica archiconocida y es que, al presentarse una ecuación de la forma $x^2 + Bx + C = 0$ , ésta puede factorizarse hallando dos números que sumados sean igual a B y multiplicados sean igual a C. De esta forma, tenemos las siguientes igualdades:

$R+S = -B$

$R \cdot S = C$

Añadimos el hecho de que la suma de dos números es exactamente -B cuando el promedio de estos es $-\frac{B}{2}$ . Así, R y S deben ser dos números de la forma $-\frac{B}{2} \pm z$ , donde z es un número arbitrario. Entonces, como el producto de esta forma debe ser igual a C, existe una equivalencia entre las siguientes expresiones:

$R \cdot S = C$

$(-\frac{B}{2} + z) \cdot (-\frac{B}{2} - z) = C$

$(-\frac{B}{2})^2 - z^2 = C$

$\frac{B^2}{4} - z^2 = C$

$- z^2 = C - \frac{B^2}{4}$

$z^2 = \frac{B^2}{4} -C$

$z = \pm \sqrt{ \frac{B^2}{4} -C}$

Entonces, como en un principio hemos dicho que R y S son las soluciones de nuestra ecuación cuadrática, entonces al sustituir z en la expresión $-\frac{B}{2} \pm z$ concluimos que la solución de la ecuación cuadrática $x^2 + Bx + C = 0$ viene dada por

$\displaystyle -\frac{B}{2} \pm \sqrt{\frac{B^2}{4}-C}$

Veamos como aplicar esta fórmula cuando se nos presenta una ecuación cuadrática.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que safistacen la siguiente ecuación cuadrática:

$x^2 + 5x+6 = 0$

Identificando los coeficientes B=5 y C=6, entonces la solución de esta ecuación viene dada de la siguiente forma

$-\dfrac{B}{2} \pm \sqrt{\dfrac{B^2}{4}-C}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{5^2}{4}-6}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}-6}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25-24}{4}}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}}$

$= -\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{1}{2}$

Solución (1):

$= -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}$

$= \dfrac{-5+1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Solución (2):

$= -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}$

$= \dfrac{-5-1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

De esta forma, concluimos que la solución de la ecuación cuadrática $x^2 + 5x+6$ viene dada por $x = -2$ y $x = -3$ .

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que safistacen la siguiente ecuación cuadrática:

$3x^2 +9x-12 = 0$

Debemos notar que si el coeficiente A es distinto de 1 tal como se presenta en este ejemplo, es conveniente sacarlo como factor común para obtener la fórmula $3(x^2 +3x-4) = 0$ y entonces, consideramos los coeficientes B=3 y C=-4 de nuestro nuevo factor.

$-\dfrac{B}{2} \pm \sqrt{\dfrac{B^2}{4}-C}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{3^2}{4}-(-4)}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}+4}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9+16}{4}}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}}$

$= -\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{5}{2}$

Solución (1):

$= -\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2}$

$= \dfrac{-3+5}{2}$

$= \dfrac{2}{2}$

$= 1$

Solución (2):

$= -\dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{2}$

$= \dfrac{-3-5}{2}$

$= \dfrac{-8}{2}$

$= -4$

De esta forma, concluimos que la solución de la ecuación cuadrática $3x^2 +9x-12 = 0$ viene dada por $x = 1$ y $x = -4$ .

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que safistacen la siguiente ecuación cuadrática:

$-x^2 +7x-10 = 0$

Debemos notar que si el coeficiente A es distinto de 1 tal como se presenta en este ejemplo, es conveniente sacarlo como factor común para obtener la fórmula $-(x^2 -7x+10) = 0$ y entonces, consideramos los coeficientes B=-7 y C=10 de nuestro nuevo factor.

$= -\dfrac{B}{2} \pm \sqrt{\dfrac{B^2}{4}-C}$

$= -\dfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{(-7)^2}{4}-10}$

$= \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49}{4}-10}$

$= \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49-40}{4}}$

$= \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}}$

$= \dfrac{7}{2} \pm \dfrac{3}{2}$

Solución (1):

$= \dfrac{7}{2} + \dfrac{3}{2}$

$= \dfrac{7+3}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

Solución (2):

$= \dfrac{7}{2} - \dfrac{3}{2}$

$= \dfrac{7-3}{2}$

$= \dfrac{4}{2}$

$= 2$

De esta forma, concluimos que la solución de la ecuación cuadrática $-x^2 +7x-10 = 0$ viene dada por $x=5$ y $x=2$ .

El artículo formal del Dr. Po-Shen Loh fue publicado en Arxiv.org (un repositorio de artículos científicos de la Universidad de Cornell que cuenta hasta la fecha con 1.628.829 artículos en los campos de física, matemática, informática, biología cuantitativa, finanzas cuantitativas, estadística, ingeniería eléctrica y ciencia de sistemas, y economía) y puede consultarse en el siguiente enlace: https://arxiv.org/abs/1910.06709

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Categoría: Artículos

¿Cuál es el resultado de 8÷2(2+2)?

¿Las calculadoras mienten?

Escribir bien…

¿Cómo plantear el problema?

Caso 1

Caso 2

En conclusión…

Coronavirus – COVID-19 (Un enfoque matemático)

¿Qué es el coronavirus?

¿Cuáles son los síntomas del coronavirus?

¿Un nuevo coronavirus?

¡La simulación!

El modelo matemático

¿Cómo prevenirlo?

¿La fórmula cuadrática de Po-Shen Loh?

Perdón, ¿quién?

¡Los babilonios tenían el secreto!

La nueva deducción de la fórmula…

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

¿Las calculadoras mienten?

Escribir bien…

¿Cómo plantear el problema?

Caso 1

Caso 2

En conclusión…

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¿Qué es el coronavirus?

¿Cuáles son los síntomas del coronavirus?

¿Un nuevo coronavirus?

¡La simulación!

El modelo matemático

¿Cómo prevenirlo?

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Perdón, ¿quién?

¡Los babilonios tenían el secreto!

La nueva deducción de la fórmula…

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