Hemos calculado anteriormente la integral de la función $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ usando el método de sustitución de variable, pero si consideramos una función levemente distinta ¿podemos usar usar nuevamente el método de sustitución de variable?

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Supongamos que queremos calcular la integral de la función $f(x) = \ln(x)$ . Por más que pensemos en una variable auxiliar que nos pueda ayudar a calcular esta integral, no la encontraremos. Entonces, debemos desarrollar un método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, entonces a partir de la Regla del Producto para la derivada de funciones, podemos concluir lo siguiente

$\displaystyle \int f(x) g'(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int g(x) f'(x) dx$

El Método de Integración por Partes

A esta igualdad la llamaremos El Método de Integración por Partes y aunque pareciera un poco intrincada, existe una regla mnemotécnica, es decir, un juego de palabras muy divertido para aprendérsela de memoria con facilidad recurriendo a dos variables auxiliares $u(x)$ y $v(x)$ planteando lo siguiente

$\displaystyle \int u \ dv = u \cdot v - \int v \ du$

un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

Una vez identificados los factores $u$ y $dv$ que están involucrados en la integral notamos que además de estas dos variables debemos contar también con $du$ y $v$ para poder aplicar el método de integración por partes. ¿Cómo lo hacemos?

Calculamos $du$ a partir de $u$ usando las técnicas de derivación que conocemos.
Calculamos $v$ a partir de $dv$ usando las técnicas de integración que conocemos.

Veamos entonces como aplicar este método para calcular la integral de la función $f(x) = \ln(x)$ , es decir,

$\displaystyle \int \ln(x) \, dx$

Para este caso en particular podemos considerar $u=ln(x)$ y $dv=dx$ , entonces

$\displaystyle u=\ln(x) \ \Rightarrow \ du = \frac{1}{x} \, dx$

$\displaystyle dv=dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int \, dx$

$\displaystyle \ \Rightarrow \ v = x$

Notemos que hemos descartado la constante $C$ al calcular $v$ . Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Método de Integración por Partes | totumat.com

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

$\displaystyle \int \frac{1}{x}x \, dx = \int \frac{x}{x} \, dx = \int \, dx = x + C$

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

$\displaystyle \int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - x + C$

La idea de este método es obtener del lado derecho de la igualdad una integral más simple de la que estamos calculando originalmente. Veamos en lo siguientes ejemplos las estrategias para proceder usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de $f(x) = x\ln(x)$ , es decir,

$\displaystyle \int x\ln(x) \, dx$

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores $u$ y $dv$ es de vital importancia para calcular la integral propuesta, es por esto que no nos debemos confiar en el orden que estos aparecen a primera vista. Cambiemos entonces el orden de los factores para plantear lo siguiente

$\displaystyle u=\ln(x) \ \Rightarrow \ du = \frac{1}{x}\, dx$

$\displaystyle dv=x\, dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int x\, dx$

$\displaystyle \ \Rightarrow \ v = \frac{x^2}{2}$

Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

$\displaystyle \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{4} + C$

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

$\displaystyle \int x\ln(x) \, dx = \ln(x) \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} + C$

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

Ejemplo 2

Calcule la integral de $f(x) = x \textit{\Large e}^x$ , es decir,

$\displaystyle \int x \textit{\Large e}^x \, dx$

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores $u$ y $dv$ es de vital importancia para calcular la integral propuesta, escojamos en este caso

$u=x \ \Rightarrow \ du = dx$

$dv=\textit{\Large e}^x \, dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int \textit{\Large e}^x \, dx$

$\ \Rightarrow \ v = \textit{\Large e}^x$

Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

$\displaystyle \int \textit{\Large e}^x \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x} \, dx = \textit{\Large e}^x + C$

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

$\displaystyle \int x \textit{\Large e}^x \, dx = x \textit{\Large e}^x - \textit{\Large e}^x + C$

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

Ejemplo 3

Calcule la integral de $f(x) = x^2 \textit{\Large e}^x$ , es decir,

$\displaystyle \int x \textit{\Large e}^x \, dx$

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores $u$ y $dv$ es de vital importancia para calcular la integral propuesta, escojamos en este caso

$\displaystyle u=x^2 \ \Rightarrow \ du = 2x \, dx$

$\displaystyle dv=\textit{\Large e}^x \, dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int \textit{\Large e}^x \, dx$

$\displaystyle \ \Rightarrow \ v = \textit{\Large e}^x$

Al estar definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes, tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

$\displaystyle \int \textit{\Large e}^x 2x \, dx = 2 \int x\textit{\Large e}^x \, dx = 2 \left( x\textit{\Large e}^x + \textit{\Large e}^x \right) + C$

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

$\displaystyle \int x^2 \textit{\Large e}^x \, dx \$

$\displaystyle = \ x^2 \textit{\Large e}^x - \textit{\Large e}^x - 2 \left( x\textit{\Large e}^x + \textit{\Large e}^x \right) + C$

$\displaystyle \ = \ x^2 \textit{\Large e}^x - \textit{\Large e}^x - 2 x\textit{\Large e}^x - 2 \textit{\Large e}^x + C$

$\displaystyle \ = \ x^2 \textit{\Large e}^x - 2 x\textit{\Large e}^x - 3 \textit{\Large e}^x + C$

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

En estos ejemplos hemos visto los casos más básicos del Método de Integración por Partes para facilitar su entendimiento, sin embargo, hay casos para funciones más complejas en las que se puede usar.

Algunos memes del Método de Integración por Partes

Patricio de Bob Esponja en el Método de Integración por Partes | meme totumat.com

Por esa vaca vestida de uniforme | meme totumat.com

Fusión de Dragon Ball en el Método de Integración por Partes | meme totumat.com

Método de Sustitución de Variable

30.04.202018.08.2025 Anthonny Arias-García4 comentarios

Método de Sustitución de Variable
1. La Variable Auxiliar
2. Ejemplos

Consideremos la función $f(x)=(x+3)^2$ , ¿de qué forma calcularía usted la integral de esta función? Si consideramos únicamente las reglas básicas de integración, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el producto notable y calcular la integral del polinomio resultante de la siguiente manera:

$\int (x+3)^2 \, dx =\int (x^2 + 6x + 9) \, dx$

Y tras consultar la tabla de integrales y aplicar las propiedades aprendidas, tenemos que,

$\int x^2 \, dx + \int 6x \, dx +\int 9 \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 x^2 + 9x + C$

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Método de Sustitución de Variable

Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que queremos calcular la integral de la función $f(x) = (x+3)^{20}$ . Pudiéramos pensar en expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este proceso pudiera ser engorroso, más aún si consideramos una función expresada como $f(x) = (x+3)^{200}$ . Entonces, debemos desarrollar un método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, entonces a partir de la Regla de la Cadena para la derivada de funciones compuestas podemos concluir lo siguiente

$\displaystyle \int f'\big(g(x)\big) g'(x) \, dx = f\big(g(x)\big) + C$

La Variable Auxiliar

De esta forma, podemos simplificar funciones dentro de una integral considerando una variable auxiliar $t = g(x)$ y sustituyéndola en la función. Tomando en cuenta que el diferencial de la variable $t$ viene dado por $dt = g'(x)dx$ , podemos reescribir esta última igualdad de la siguiente forma:

$\displaystyle \int f'(t) \, dt = f(t) + C$

A esta simplificación la llamaremos Método de Sustitución de Variable, y retomando el ejemplo que habíamos considerado, calculemos la integral de $f(x) = (x+3)^{20}$ .

Debemos considerar una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y la idea es que al simplificarla podamos usar las herramientas que conocemos actualmente. Entonces, si consideramos la variable auxiliar $t=x+3$ , su diferencial será $dt = (x+3)' dx = (1) dx = dx$ , y así obtenemos la siguiente igualdad:

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función $t^{20}$ se calcula de forma directa, por lo tanto,

$\int t^{20} \, dt = \frac{t^{21}}{21} + C$

Finalmente, debemos recordar que $t$ es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original para obtener que

$\int (x+3)^{20} \, dx = \frac{(x+3)^{21}}{21} + C$

Veamos algunos ejemplos en los que el método de sustitución de variable requiere un poco más de ingenio pues no siempre será tan directo.