Hermitcraft – How much Mycelium is worth the Diamond Throne?!

25.10.202026.10.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

What is Hermitcraft?

Hermitcraft it’s a youtube gaming series based on the popular sandbox game Minecraft with notorious players from the platform usually called hermitcrafters or just hermits. There are diverse locations in the server where the hermits converge, but most of the action develop in the Shopping District, since that is the place where players set up stores to sell and buy all in-game items.

The Shopping District Map
Courtesy: FalseSymmetry

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Elections were made to designate a mayor for the Shopping District, and since it was built on a mushroom biome, the new elected mayor renewed the appearance of the land by changing mycelium for grass but not everyone was happy about, thus the Mycelium Resistance was born.

While the Mycelium vs. Grass conflict started to heat up, the mayor started a «buy back!» program to motivate neutral hermits to eradicate mycelium from the district. The deal was: 2 stacks of 64 blocks of Mycelium for 5 diamonds.

The Grian math problem

The Mycelium Resistance «mother spore», Grian, saw this exchange program as the perfect plant to buy the diamond throne in exchange for all the mycelium harvested by resistance, so in his episode Hermitcraft 7: Episode 48 – BUYING THE THRONE he bumped into a curious math problem.

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We know roughly that there are seven a half stacks of diamonds (in the Diamond Throne)… So if we do some math very quickly, I need my calculator… This is like a math paper examination of school…

After saying that, Grian, was amazed that he needed actual math from high school to solve this problem and after thinking a bit, he stated an actual math problem like those in math books:

If you have nine diamonds per diamond block, and there are sixty four blocks in a stack, and there are seven and a half stacks, how many mycelium do you need to farm in order to take the diamond throne?

What we are going to do is to translate this question into math equations to solve the problem.

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The math translation

Considering the Mycelium Resistance already have 34 shulker boxes full of mycelium, let’s state what are the equalities we have:

$9$ Diamonds is equal to $1$ Diamond Block.
$64$ Diamond Blocks are equal to $1$ Diamond Blocks Stack.
$2$ Mycelium Stack is equal to $5$ Diamonds.
$1$ Shulker Box full of Mycelium is equal to $27$ Mycelium Stacks.
$34$ Shulker Box full of Mycelium is equal to $918$ Mycelium Stacks.
$7 \frac{1}{2}$ diamond block stacks is equal to how many mycelium blocks?

First thing we need to do, is check how many diamonds are in $7 \frac{1}{2}$ diamond block stacks. Since seven and a half is a mixed number represented by $7\frac{1}{2}$ , we have to rewrite it as a fraction, that is

$7\frac{1}{2} = 7 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$

Then, we have $\frac{15}{2} \cdot 64$ diamond blocks, that is $480$ diamond blocks, and that is $480 \cdot 9 = 4 320$ diamonds.

We know that $2$ Mycelium Stacks are equal to $5$ Diamonds, in this way, we can state that if $M$ denotes a Mycelium Stack and $d$ denotes a diamond, then $\frac{M}{2} = \frac{d}{5}$ . So, if we solve this equation for $M$ , we have

$M = \frac{5}{2} \cdot d$

Considering this last equality, we can now replace $d$ with $4 320$ , because that is the total of diamonds that the Diamond Throne, then, $M = \frac{2}{5} \cdot 4 320$ and that is $1 728$ .

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So, the Diamond Throne is worth $1 728$ mycelium stacks. However, the question is how many mycelium do you need to farm in order to take the diamond throne? We have to remember that the Mycelium Resistance already have 34 shulker boxes full of mycelium, that is $918$ Mycelium Stacks.

Then, the Mycelium Resistance needs to farm needs to farm $810$ mycelium stacks in order to take the diamond throne, and that is $810 \div 27 = 30$ shulker boxes full of mycelium.

La jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación

24.10.202005.06.2024 Anthonny Arias-García12 comentarios

¿Qué es saber sumar, restar, multiplicar y dividir? Si bien, durante los estudios básicos de matemáticas aprendemos a efectuar cualquiera de las operaciones básicas, es poco lo que se indaga cuando estas operaciones se encuentran combinadas.

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La jerarquía de las operaciones

Al efectuar distintas operaciones entre números reales, resulta necesario especificar el orden en el que se deben efectuar las operaciones, esto es para evitar ambigüedades la hora de expresar los resultados. Entonces, si consideramos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división; el orden en el que estas deben efectuarse es el siguiente:

Es decir, primero se efectúan todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último, todas las restas.

La suma será expresada con una cruz ( $+$ ). La resta será expresada con una raya horizontal ( $-$ ). El producto o multiplicación será expresado con un punto ( $\cdot$ ), aunque también se puede expresar con dos rayas cruzadas ( $\times$ ). La división será expresada con dos puntos y una raya horizontal ( $\div$ ) que denota un número sobre otro número, aunque también se puede expresar simplemente con dos puntos ( $:$ ) o con una barra vertical ( $/$ ).

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 \cdot 2 + 5$

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$6 + 5$

Posteriormente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

$11$

Ejemplo 2

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 + 2 \cdot 5$

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. Notemos que a diferencia del ejemplo anterior, la suma aparece primero, sin embargo, la jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$3 + 10$

Finalmente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

$13$

Ejemplo 3

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$4 + 3 \cdot 6 - 7$

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$4 + 18 - 7$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$22 - 7$

Finalmente, efectuamos la resta

$15$

Ejemplo 4

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$-14 + 15 \div 3 + 20$

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, de esta forma, obtenemos

$-14 + 5 + 20$

Posteriormente, efectuamos las sumas,

$-14 + 25$

Finalmente, efectuamos la resta

$11$

Ejemplo 5

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$20 - 5 \cdot 2 - 30 \div 10$

En esta ocasión encontramos un producto, una división y dos resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$20 - 10 - 30 \div 10$

Posteriormente, efectuamos la división,

$20 - 10 - 3$

En este caso, notamos que hay dos restas, entonces agrupamos las restas y las efectuamos

$20 - 13$

Finalmente, efectuamos la resta

$7$

Ejemplo 6

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$4 \cdot 3 + 7 \cdot 5 - 55 \div 11 + 9$

En esta ocasión encontramos dos productos, una división, dos sumas y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, de esta forma, obtenemos

$12 + 35 - 55 \div 11 + 9$

Posteriormente, efectuamos la división,

$12 + 35 - 5 + 9$

En este caso, notamos que hay más de dos números sumando, entonces agrupamos las sumas

$12 + 35 + 9 - 5$

Posteriormente, efectuamos las sumas

$56 - 5$

Finalmente, efectuamos la resta

$51$

Los signos de agrupación

Hay expresiones en las que las jerarquía de las operaciones no basta para calcular un resultado, pues puede no estar muy claro cual es la operación que debe efectuarse. Por ejemplo, si consideramos la expresión

$12 \div 2 \cdot 3$

La jerarquía de las operaciones indica que primero debe efectuarse el producto, sin embargo, ¿es correcto multiplicar un número entero por un divisor? ¿Es correcto efectuar primero la división y después el producto? ¿Es correcto multiplicar el doce por el tres? No queda claro como efectuar esta operación correctamente.

Considerando esto, debemos definir una nueva herramienta que indique con claridad cuales son las operaciones que se deben efectuar primero, que llamaremos signos de agrupación.

Usaremos paréntesis $( \ )$ para agrupar las operaciones que se deben efectuar antes de efectuar cualquier otra operación. De esta forma, si consideramos la operación

$12 \div (2 \cdot 3)$

Se está indicando que primero se debe efectuar el producto $2 \cdot 3$ , para obtener $12 \div 6$ que a su vez, es igual a $2$ . Por otra parte, si consideramos la operación

$(12 \div 2) \cdot 3$

Se está indicando que primero se debe efectuar la división $12 \div 2$ , para obtener $6 \cdot 3$ que a su vez, es igual a $18$ .

Notemos que ambos casos arrojan resultados distintos, ahí radica la importancia del uso de los paréntesis para agrupar las operaciones que se deben efectuar primero.

También puede ocurrir que debemos agrupar operaciones que entre números que ya están agrupados por otras operaciones, para esto usamos otros signos de agrupación: corchetes $[ \ ]$ y llaves ${ \ }$ , sobre los cuales también definimos una jerarquía.

Es decir, primero se efectúan todas las operaciones que se encuentran entre paréntesis, después todas las operaciones que se encuentran entre corchetes y por último, todas las operaciones que se encuentran entre llaves.

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

Ejemplos

Ejemplo 7

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 \cdot (5 + 1)$

Lo primero que debemos notar es que la suma $5 + 1$ está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$3 \cdot 6$

Finalmente, efectuamos el producto,

$18$

Ejemplo 8

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$2 \cdot (9 - 2) + 10$

Lo primero que debemos notar es que la resta $9 - 4$ está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$2 \cdot 7 + 10$

La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$14 + 10$

Finalmente, efectuamos la suma,

$24$

Ejemplo 9

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 + 4 \cdot [ 24 \div (2+6) + 5]$

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$3 + 4 \cdot [ 24 \div 8 + 5]$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

$3 + 4 \cdot [3 + 5]$

Posteriormente, efectuamos la suma que se encuentra dentro de los corchetes,

$3 + 4 \cdot 8$

Posteriormente, efectuamos el producto,

$3 + 32$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$35$

Ejemplo 10

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$100 - 2 \cdot \big[ (10 + 20) \div 15 - 5 \cdot (12 - 3) \big]$

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$100 - 2 \cdot [ 30 \div 15 - 5 \cdot 9 ]$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto e incluso, en este caso podemos efectuar la división en el mismo paso sin que se altere el resultado, obteniendo

$100 - 2 \cdot [ 2 - 45 ]$

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

$100 - 2 \cdot [ -43 ]$

Posteriormente, efectuamos el producto y aplicando la ley de los signos, tenemos

$100 + 86$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$186$

Ejemplo 11

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 - (3+7) + 25 \div (3+2) - 2] \}$

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 25 \div 5 - 5] \}$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 - 5] \}$

Posteriormente, agrupamos las sumas dentro de los corchetes

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 + 5 - 10 - 5] \}$

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

$5 - \{ 20 + 35 \div [22 - 15] \}$

Posteriormente, efectuamos la resta,

$5 - \{ 20 + 35 \div [7] \}$

Posteriormente, efectuamos la división,

$5 - \{ 20 + 5 \}$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$5 - \{ 20 + 5 \}$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$5 - \{ 25 \}$

Finalmente, efectuamos la resta,

$-20$

Ejemplo 12

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$72 + \cdot \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot (5-2) - 3 \cdot (1+4) - 2] \} \div [ 3 \cdot (10 - 7) ]$

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 - 2] \} \div [ 3 \cdot 3 ]$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, obteniendo

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 6 - 15 - 2] \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [10 - 17] \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [-3] \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos el producto que se encuentra dentro de las llaves,

$72 + \{ -30 - 15 \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de las llaves,

$72 + \{ -45 \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos la división,

$72 - 5$

Finalmente, efectuamos la resta,

$-67$

Punto de Intersección entre dos rectas | totumat.com

Point of intersection of two lines

21.10.202026.10.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

If two straight lines intersect, we have mentioned that they intersect at a single point, however no mention has been made about the nature of this point. Graphically, the point of intersection between these two lines is the point where the two are exactly the same. From this fact, we can calculate the value of the coordinates that define it, formally, if we consider two lines expressed as follows

$l_1 : y = m_1 x + b_1$
$l_2 : y = m_2 x + b_2$

The point $P_0 = (x_0,y_0)$ is the intersection point of $l_1$ and $l_2$ , if the values of $x_0$ and $y_0$ satisfy both equations at the same time. This is known as a system of linear equations that consists of two equations and two unknowns, nevertheless, we will not elaborate on this topic since noticing that the lines are expressed in the form slope intercept, we will simply equalize the expressions that define them to later calculate the value of the unknowns.

Let’s see with some examples how to calculate the intersection point between two lines using this technique.

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Examples

Example 1

Calculate the intersection point between the lines $l_1 : y = 3x-3$ and $l_2 : y = -x + 1$ .

For this we define our system of linear equations

$l_1 : y = 3x-3$
$l_2 : y = -x + 1$

We equal the two expressions that define these two lines, then we clear the variable $x$

$3x-3 = -x + 1$
$\Rightarrow 3x + x = 1 + 3$
$\Rightarrow 4x = 4$
$\Rightarrow x = \frac{4}{4}$
$\Rightarrow x = 1$

In this way, we can conclude that the coordinate value in the X-axis of the intersection point is $x=1$ and taking into account that this value is common in both lines, we can substitute it in the lines of our preference to calculate the value of $y$ . Let’s substitute the value of $x=1$ in $l_1$ :

$y = 3(1)-3 \Rightarrow y = 3-3 \Rightarrow y=0$

Note that if we substitute the value of $x=1$ in the $l_2$ line, we get the same value for $y$ :

$y = -(1) + 1 \Rightarrow y = -1+1 \Rightarrow y=0$

Therefore, we conclude that the intersection point between the lines $l_1$ and $l_2$ is $P_0 = (1,0)$ and we can also, locate it in the Cartesian plane. We graph both lines making a table of values considering only the cutting points with the axes.

Example 2

Calculate the intersection point between the lines $l_1 : y = -4x-2$ and $l_2 : y = \frac{1}{4}x + 3$ .

For this we define our system of linear equations

$l_1 : y = -4x-2$
$l_2 : y = \frac{1}{4}x + 3$

We equal the two expressions that define these two lines, then we clear the variable $x$

$-4x-2 = \frac{1}{4}x + 3$
$\Rightarrow -4x - \frac{1}{4}x = 3 + 2$
$\Rightarrow -\frac{17}{4}x = 5$
$\Rightarrow x = -\frac{20}{17}$

In this way, we can conclude that the coordinate value in the X-axis of the intersection point is $x=-\frac{20}{17}$ . Let us substitute this value in $l_1$ :

$y = -4\left( -\frac{20}{17} \right)-2 \Rightarrow y = \frac{80}{17} -2 \Rightarrow y = \frac{46}{17}$

Therefore, we conclude that the intersection point between the lines $l_1$ and $l_2$ is $P_0 = \left( -\frac{20}{17} , \frac{46}{17} \right)$ and we can also locate it in the Cartesian plane. We graph both lines making a table of values considering only the cut-off points with the axes.

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Example 3

Calculate the intersection point between the lines $l_1 : y = x+5$ and $l_2 : y = 2$ .

In this case it is necessary to raise a system of equations, because as $l_2$ is a horizontal line, we simply substitute the value of $y$ that defines it in the line $l_1$ and from there, we calculate the value of $x$ . Then, if $y=2$ we have to

$2 = x+5 \Rightarrow -x = 5-2 \Rightarrow -x = 3 \Rightarrow x = -3$

Therefore, we conclude that the point of intersection between the lines $l_1$ and $l_2$ is $P_0 = \left( -3 , 2 \right)$ and we can also locate it in the Cartesian plane. We graph both lines making a table of values considering only the cutting points with the axes.

Example 4

Calculate the intersection point between the lines $l_1 : y = -\frac{1}{5}x+2$ and $l_2 : x = -1$ .

In this case it is necessary to raise a system of equations, because as $l_2$ is a vertical line, we simply substitute the value of $x$ that defines it in the line $l_1$ and from there, we calculate the value of $y$ . Then, if $x=-1$ we have to

$y = -\frac{1}{5}(-1)+2 \Rightarrow y = \frac{1}{5}+2 \Rightarrow y = \frac{11}{5}$

Therefore, we conclude that the point of intersection between the lines $l_1$ and $l_2$ is $P_0 = \left( -1 , \frac{11}{5} \right)$ and we can also locate it in the Cartesian plane. We graph both lines making a table of values considering only the cut-off points with the axes.

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Example 5

Calculate the intersection point between the lines $l_1 : y = -3$ and $l_2 : x = 4$ .

In this case it is necessary to raise a system of equations, because being $l_1$ a horizontal line and $l_2$ a vertical line, we can immediately conclude that the point of intersection between them is $(4,-3)$ and we can also locate it in the Cartesian plane.

We have seen the cases of intersections where the lines are expressed in the slope-ordered form, we now see the case in which we have lines expressed in a general way. formally, if we consider two lines expressed in the following way

$l_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$
$l_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$

Again, the point $P_0 = (x_0,y_0)$ is the point of intersection of $l_1$ and $l_2$ , if the values of $x_0$ and $y_0$ satisfy both equations at the same time. However, the way to deal with this type of case is slightly different from a pending-ordered case.

In these cases it does not make sense to equalize the two expressions that define the lines, so the technique to find the solution consists in making operations between both equations to cancel one of the two variables. Let’s see with some examples how to calculate the solution of this type of systems of equations.

Examples

Example 6

Calculate the intersection point between the lines $l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0$ and $l_2 : - 2 x + y + 4 = 0$ .

For this we define our system of linear equations

$l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0$
$l_2 : - 2 x + y + 4 = 0$

In this particular case, we can notice that in one equation is the expression $2x$ and in the other, the expression $-2x$ , therefore, we can add both equations to obtain that

Considering the resulting equation, we can clear the variable $y$ , and thus obtain the value $y_0$ of our point of intersection.

$0x + 3y + 3 = 0$
$\Rightarrow 3y + 3 = 0$
$\Rightarrow 3y = -3$
$\Rightarrow y = -\frac{3}{3}$
$\Rightarrow y = - 1$

In this way, we can conclude that the value of the Y-axis coordinate of the intersection point is $y=-1$ and taking into account that this value is common in both lines, we can substitute it in the lines of our preference to calculate the value of $x$ . Let’s substitute the value of $y=-1$ in $l_1$ :

$2 x + 2 (-1) - 1 = 0$
$\Rightarrow 2x - 2 - 1 = 0$
$\Rightarrow 2x - 3 = 0$
$\Rightarrow 2x = 3$
$\Rightarrow x = \frac{3}{2}$

Therefore, we conclude that the intersection point between the $l_1$ and $l_2$ lines is $P_0 = \left( \frac{3}{2}, -1 \right)$ and we can also locate it in the Cartesian plane. We graph both lines making a table of values considering only the cut-off points with the axes.

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Example 6

Calculate the intersection point between the lines $l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0$ and $l_2 : - 2 x + y + 4 = 0$ .

For this we define our system of linear equations

$l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0$
$l_2 : - 2 x + y + 4 = 0$

In this particular case, we can notice that in one equation is the expression $2x$ and in the other, the expression $-2x$ , therefore, we can add both equations to obtain that

Considering the resulting equation, we can clear the variable $y$ , and thus obtain the value $y_0$ of our point of intersection.

$0x + 3y + 3 = 0$
$\Rightarrow 3y + 3 = 0$
$\Rightarrow 3y = -3$
$\Rightarrow y = -\frac{3}{3}$
$\Rightarrow y = - 1$

$2 x + 2 (-1) - 1 = 0$
$\Rightarrow 2x - 2 - 1 = 0$
$\Rightarrow 2x - 3 = 0$
$\Rightarrow 2x = 3$
$\Rightarrow x = \frac{3}{2}$

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Example 7

Calculate the intersection point between the lines $l_1 : 3 x - 5 y + 2 = 0$ and $l_2 : x + y - 2 = 0$ .

For this we define our system of linear equations

$l_1 : 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : x + y - 2 = 0$

In the previous case we could cancel with relative simplicity the variable $x$ but in this particular case, we can notice that if we multiply the second equation by $5$ we obtain

$l_1 : 3 x - 5 y + 2 = 0$
$l_2 : 5x + 5y - 10 = 0$

Now, we can notice that in one equation is the expression $-5y$ and in the other, the expression $5y$ , therefore, we can add both equations to obtain that

Considering the resulting equation, we can clear the variable $x$ , and thus obtain the value $x_0$ of our point of intersection.

$8x + 0y - 8 = 0$
$\Rightarrow 8x - 8 = 0$
$\Rightarrow 8y = 8$
$\Rightarrow y = \frac{8}{8}$
$\Rightarrow y = 1$

$3 (1) - 5 y + 2 = 0$
$\Rightarrow 3 - 5y + 2 = 0$
$\Rightarrow -5x + 5 = 0$
$\Rightarrow -5x = -5$
$\Rightarrow x = \frac{-5}{-5}$
$\Rightarrow x = 1$

Therefore, we conclude that the intersection point between the $l_1$ and $l_2$ lines is $P_0 = \left( 1, 1 \right)$ and we can also, locate it in the Cartesian plane. We graph both lines making a table of values considering only the cutting points with the axes.

Example 8

Calculate the intersection point between the lines $l_1 : 6 x - 5 y + 4 = 0$ and $l_2 : 4 x + 3 y - 5 = 0$ .

For this we define our system of linear equations

$l_1 : 6 x - 5 y + 4 = 0$
$l_2 : 4 x + 3 y - 5 = 0$

In this case we must notice that the variables are accompanied by different coefficients, so it is not enough to multiply only one equation to cancel terms. We must then, multiply both equations by numbers that help us to cancel summands. Let us multiply the first equation by $4$ and the second equation by $-6$ .

$l_1 : 24 x - 20 y + 16 = 0$
$l_2 : -24 x - 18 y + 30 = 0$

Now, we can notice that in one equation is the expression $24x$ and in the other, the expression $-24y$ , therefore, we can add both equations to obtain that

Considering the resulting equation, we can clear the variable $x$ , and thus obtain the value $x_0$ of our point of intersection.

$0x - 38y + 36 = 0$
$\Rightarrow -38y + 36 = 0$
$\Rightarrow -38y = -36$
$\Rightarrow y = \frac{38}{36}$
$\Rightarrow y = \frac{19}{18}$

In this way, we can conclude that the value of the Y-axis coordinate of the intersection point is $y = \frac{19}{18}$ and taking into account that this value is common in both lines, we can substitute it in the lines of our preference to calculate the value of $x$ . Let’s substitute the value of $y = \frac{19}{18}$ in $l_2$ :

$4 x + 3 \left( \frac{19}{18} \right) - 5 = 0$
$\Rightarrow 4 x + \frac{19}{6} - 5 = 0$
$\Rightarrow 4 x - \frac{11}{6} = 0$
$\Rightarrow 4 x = \frac{11}{6}$
$\Rightarrow x = \frac{11}{24}$

Therefore, we conclude that the point of intersection between the lines $l_1$ and $l_2$ is $P_0 = \left(\frac{11}{24},\frac{19}{18}\right)$ and we can also locate it in the Cartesian plane. We graph both lines making a table of values considering only the cut-off points with the axes.

The Conjugate of a Sum

21.10.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Next we will define an expression that is closely related to the difference of squares, because when we find the addition (or subtraction as the case may be) of two real numbers, we can define an expression that will allow us to write that subtraction as a difference of squares.

Formally, if $a$ and $b$ are two real numbers, the conjugate of the sum $(a+b)$ is defined as $(a-b)$ . Similarly, the conjugate of the subtraction $(a-b)$ is defined as $(a+b)$ . That is, the sign between the two is changed. The importance of the conjugate lies in the fact that the product of an addition by its conjugate is equal to a difference of squares, that is,

This equality can be deduced by performing the distributive property of the real numbers, let’s see then,

This type of expressions is often found in the development of algebraic operations and is used mainly to simplify operations, let’s see in the following examples how to identify the conjugation of some expressions:

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Examples

Example 1

Identify the conjugate of $12 - 5$ . It does not have much sense to identify the conjugate of this expression because we can simply make the subtraction and obtain 7 as a result.

Example 2

Identify the conjugate of $\sqrt{12} - 5$ . Note that one of the involved sums is the square root of twelve, so it cannot be subtracted with five, so we conclude that its conjugate is $\sqrt{12} + 5$ .

Example 3

Identify the conjugate of $3 + \sqrt{8}$ . Note that one of the summands involved is the square root of eight, so it cannot be added with three, so we conclude that its conjugate is $3 - \sqrt{8}$ .

Example 4

Identify the conjugate of $3x - 7$ . Note that one of the sums involved is three multiplied by one unknown, so it cannot be subtracted with seven, then, we conclude that its conjugate is $3x + 7$ .

Example 5

Identify the conjugate of $15 + 4x$ . Let’s notice that one of the involved sums is four multiplied by one unknown, therefore it cannot be added with 15, then, we conclude that its conjugate is $15 - 4x$ .

Example 6

Identify the conjugate of $6 + \sqrt{x+2}$ . This subtraction cannot be done, so we conclude that your conjugate is $6 - \sqrt{x+2}$ . Noting that the sign inside the root does not change.

Ecuaciones Logarítmicas

20.10.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Expresiones Logarítmicas

En ocasiones, encontramos ecuaciones exponenciales cuya solución no es una tarea trivial, así que debemos recurrir a métodos más sofisticados. Si $a$ y $b$ son números reales positivos, definimos una nueva expresión a partir de la siguiente equivalencia:

$a^x = b \Leftrightarrow \log_a(b) = x$

La expresión $\log_a(b)$ se conoce como una expresión logarítmica y se lee como logaritmo base a de b. Esta provee una solución para la ecuación planteada.

De forma particular, si consideramos la ecuación exponencial $2^x = 4$ , entonces, podemos usar una expresión logarítmica para definirla de la siguiente manera

$2^x = 4 \Leftrightarrow \log_2(4) = x$

La importancia de las expresiones logarítmicas radica en que estas se usan principalmente para describir variaciones proporcionales, porcentuales o en el largo plazo sobre conjuntos de datos, es por esto que son ampliamente estudiadas. Veamos entonces cuales son sus propiedades.

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Propiedades del Logaritmo

Propiedades sobre el argumento

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades del logaritmo de un número, del producto y la división, que se deducen de las propiedades de la potencias. Sean $a$ y $b$ números reales positivos; $m$ y $n$ números reales, entonces

$\log_a(1) = 0$
$\log_a(a) = 1$
$\log_a(a^2) = 2$
$\log_a(a^n) = n$
$\log_a(b \cdot c) = \log_a(b) + \log_a(c)$
$\log_a(b^n) = n \log_a(b)$
$\log_a(\frac{a}{b}) = \log_a(b) - \log_a(c)$
$\log_a(\frac{1}{b^n}) = -n\log_a(b)$
$\log_a(\sqrt[n]{b}) = \frac{1}{n}\log_a(b)$
$\log_a(\sqrt[n]{b^n}) = \frac{m}{n}\log_a(b)$

Propiedades sobre la base

Las propiedades antes vistas, hacen referencia al argumento del logaritmo, es decir, a la expresión que se encuentra dentro de los paréntesis. Sin embargo, la propiedad que veremos a continuación hace referencia a la base de estos y se conocen como propiedades de cambio de base.

Si consideramos el logaritmo base $a$ de b, $\log_a(b)$ y consideramos un nuevo número real positivo $c$ . Entonces, este logaritmo se puede reescribir de la siguiente manera

$\log_a(b) = \dfrac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$

De esta forma, hemos reescrito el logaritmo que originalmente tenía base $a$ como el cociente de dos logaritmos de base $c$ .

Ecuaciones Logarítmicas

Si bien se pueden presentar casos en los que una incógnita se presenta en el argumento o en la base logaritmo en una ecuación, también hay que considerar los logaritmos serán de vital importancia al calcular la solución de ecuaciones exponenciales donde la base de los elementos involucrados no es la misma.

Veamos algunos ejemplos en los que empleamos las propiedades de los logaritmos para calcular la solución de ecuaciones que involucran expresiones logarítmicas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

$\log_2 (32) = x$

Si bien podemos calcular $\log_2 (32)$ directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento, es por esto que descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces,

$\log_2 (2^5) = x$

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

$5 \log_2 (2) = x$

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, $\log_{2} \left( 2 \right)$ . Por lo tanto, concluimos que

$x = 5$

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

$\log_{25} \left( \sqrt[4]{5} \right) = x$

Si bien podemos calcular $\log_{25} \left( \sqrt[4]{5} \right)$ directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir $\sqrt[4]{5}$ como $5^{\frac{1}{4}}$ y así,

$\log_{25} \left( 5^{\frac{1}{4}} \right) = x$

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

$\frac{1}{4} \log_{25} \left( 5 \right) = x$

Notamos además, que $5$ se puede reescribir como $\sqrt{25} = 25^{\frac{1}{2}}$ , por lo tanto

$\frac{1}{4} \log_{25} \left( 25^{\frac{1}{2}} \right) = x$

sacamos nuevamente el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo,

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \log_{25} \left( 25 \right) = x$

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, $\log_{25} \left( 25 \right)$ . Por lo tanto, concluimos que

$x = \frac{1}{8}$

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

$\log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) = x$

Si bien podemos calcular $\log_{9} \left( \frac{1}{3} \right)$ directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir $3$ como $\sqrt{9}$ y así,

$\log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) = x$

$\Rightarrow \ \log_{9} \left( \frac{1}{\sqrt{9}} \right) = x$

$\Rightarrow \ \log_{9} \left( \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} \right) = x$

$\Rightarrow \ \log_{9} \left( 9^{-\frac{1}{2}} \right) = x$

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

$-\frac{1}{2} \log_{9} \left( 9 \right) = x$

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, $\log_{9} \left( 9 \right)$ . Por lo tanto, concluimos que

$x = - \frac{1}{2}$

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

$\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) = x$

Si bien podemos calcular $\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right)$ directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir $\frac{1}{4}$ como $(\sqrt{2})^{-4}$ y así,

$\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) = x$

$\Rightarrow \ \log_{\sqrt{2}} \left( \left( \sqrt{2} \right)^{-4} \right) = x$

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

$-4 \log_{\sqrt{2}} \left( \sqrt{2} \right) = x$

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, $\log_{\sqrt{2}} \left( \sqrt{2} \right)$ . Por lo tanto, concluimos que

$x = - 4$

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar las propiedades de los logaritmos para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$3^x = 2^5$

Lo primero que debemos notar es que las bases de los elementos involucrados no son iguales, así que el procedimiento no es tan simple como igualar los exponentes.

Una de las técnicas para abordar este tipo de ecuaciones es aplicar el logaritmo con la base que más convenga en ambos lados de la ecuación. En este caso, aplicamos el logaritmo base tres pues esta es la base que involucra a la incógnita. Entonces,

$\log_3 \left( 3^x \right) = \log_3 \left( 2^5 \right)$

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

$x \log_3 \left( 3 \right) = 5 \log_3 \left( 2 \right)$

Notamos inmediatamente que el logaritmo cuya base es la misma que el argumento igual a uno, es decir, $\log_3 \left( 3 \right) = 1$ . Por lo tanto, concluimos que

$x = 5 \log_3 \left( 2 \right)$

Para calcular el valor de $\log_3 \left( 2 \right)$ es necesario recurrir a una calculadora científica. Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano (base $\textit{\Large e}$ ). Sin, embargo, usando la propiedad cambio de base, podemos calcular este logaritmo, pues

$\log_3 \left( 2 \right) = \frac{\log_{10} (2)}{\log_{10} (3)} \approx 0.63092975 \ldots$

Por lo tanto,

$x \approx 3.1546 \ldots$

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$5^x \cdot 7^2 = 3^4$

Lo primero que debemos notar es que las bases de los elementos involucrados no son iguales, así que el procedimiento no es tan simple como igualar los exponentes.

Una de las técnicas para abordar este tipo de ecuaciones es aplicar el logaritmo con la base que más convenga en ambos lados de la ecuación. En este caso, aplicamos el logaritmo base cinco pues esta es la base que involucra a la incógnita. Entonces,

$\log_5 \left(5^x \cdot 7^2 \right) = \log_5 \left( 3^4 \right)$

Entonces, aplicamos la propiedad del logaritmo que nos permite separar el producto del argumento como una suma de logaritmos, es decir,

$\log_5 \left( 5^x \right) + \log_5 \left( 7^2 \right) = \log_5 \left( 3^4 \right)$

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

$x \log_5 \left( 5 \right) +2 \log_5 \left( 7 \right) = 4 \log_5 \left( 3 \right)$

Notamos inmediatamente que el logaritmo cuya base es la misma que el argumento igual a uno, es decir, $\log_5 \left( 5 \right) = 1$ . Por lo tanto,

$x + 2 \log_5 \left( 7 \right) = 4 \log_5 \left( 3 \right)$

Posteriormente, despejamos la incógnita $x$ para concluir que

$x = 4 \log_5 \left( 3 \right) - 2 \log_5 \left( 7 \right)$

Para calcular el valor de $4 \log_5 \left( 3 \right) - 2 \log_5 \left( 7 \right)$ es necesario recurrir a una calculadora científica. Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano (base $\textit{\Large e}$ ). Sin, embargo, usando la propiedad cambio de base, podemos calcular estos logaritmo, pues

$\log_5 \left( 3 \right) = \frac{\log_{10} (3)}{\log_{10} (5)} \approx 0.6823 \ldots$

$\log_5 \left( 7 \right) = \frac{\log_{10} (7)}{\log_{10} (5)} \approx 1.2090 \ldots$

Por lo tanto,

$x \approx 0.3123 \ldots$

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