Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas y No-Exactas

05.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Una ecuación de la forma

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ es exacta si cumple que $M_y = N_x$

En caso de ser una ecuación no-exacta, entonces el factor integrante correspondiente $\mu$ estará definido de la siguiente manera:

Si $\frac{M_y-N_x}{N}$ es una función que depende únicamente de x, entonces

$\mu(x) = \textit{\huge e}^{\int \frac{M_y-N_x}{N} dx}$

Si $\frac{N_x-M_y}{M}$ es una función que depende únicamente de y, entonces

$\mu(y) = \textit{\huge e}^{\int \frac{N_x-M_y}{M} dy}$

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$(x+1)dx + (y+1)dy=0$
$(4x-1)dx + (3y+7)dy=0$
$(-2x-5)dx + (6y+7)dy=0$
$(2x+3)dx + (13y-4)dy=0$

$(y+1)dx + (6x+1)dy=0$
$(3y+3)dx - (4x-1)dy=0$
$(6y+7)dx + (-2x-5)dy=0$
$(3y-4)dx - (x+3)dy=0$

$(y-x)dx + (x-y)dy=0$
$(2x+y)dx + (x+6y)dy=0$
$(-3x+5y)dx + (5x-2y)dy=0$
$(4x-8y)dx - 2(4x+y)dy=0$

$(y-x)dx - (x-1)dy=0$
$(2x-2)dx + (x+8y)dy=0$
$(-3+9y)dx - (5x-2y)dy=0$
$(x+3y)dx + 3(2x+1)dy=0$

$xy^2dx + x^2ydy=0$
$(1 + x^2y^3)dx + (x^3y^2)dy=0$
$(3 + 6x^2y^2)dx - (7 - 4x^3y^2)dy=0$
$(-7x + 10x^3y^6)dx + (9y + 15x^4y^5)dy=0$

$xydx + x^2ydy=0$
$(5 + x^2y^3)dx - (x^3y^2)dy=0$
$(6x^2y^7)dx - (7y^3 - 4x^3y^8)dy=0$
$(-7x + 10x^3y^4)dx - (8x^4y^3)dy=0$

$\ln(y)dx + \frac{x}{y}dy=0$
$\big( x\ln(y) \big)dx + \left( 1+\frac{x^2}{2y} \right)dy=0$
$\left( 3x + 3\frac{y}{x} \right)dx + \big( -2y + \ln(x^3) \big)dy=0$
$\left( -5x + 7\frac{y}{x} \right)dx + \big( 4y + 7\ln(x) \big)dy=0$
$\big( \ln(xy) + 5x + \frac{y}{x} \big)dx + \left( \ln(y) + \ln(x) + \frac{x}{y} \right)dy=0$

$(\textit{\Large e}^x + 1)dx + (\textit{\Large e}^y + 1)dy=0$
$(\textit{\Large e}^y + \textit{\Large e}^x)dx + (x\textit{\Large e}^y + 2)dy=0$
$(-\textit{\Large e}^{7y} - 4x)dx - (7x\textit{\Large e}^{7y} + 2y)dy=0$
$(9x-5y\textit{\large e}^{-5x})dx + (\textit{\Large e}^{-5x} + 2y)dy=0$

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales De Primer Orden

05.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al considerar la forma estándar de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$y' + P(x) \cdot y = f(x)$

entonces el factor integrante correspondiente será

$\textit{\Large e}^{\int P(x) dx}$

Calcule la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el factor integrante. Determine además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$y'- y = 1$
$5y' + 4y = -2$
$10y' - 10y = 3x$
$15y' + 7y = -4x^2$ ; $y(0)=1$

$y'+ y = x + 1$
$3y' - y = 4x - 9$
$-5y'- y = 2y + 3$
$4y'- 8y = y + 7x + 3$ ; $y(3)=-1$

$y' + xy = 5x$
$8y' - x^2y = -6x^2$
$-10y' + xy = 7x^3$
$12y' - x^3y = -8x^7$ ; $y(1)=0$

$y' - \frac{y}{x} = x$
$2y' - \frac{3y}{x} = 8x$
$12y' + \frac{36y}{x+2} = -5x^2$
$-3y' + \frac{2y}{-x-4} = 10(-x-4)^5$ ; $y(4)=-1$

$y' + \frac{5y}{x} = \sqrt{x}$
$-6y' - \frac{7y}{x} = -2\sqrt[3]{x}$
$-20y' + \frac{40y}{-x+6} = -4\sqrt[5]{x^4}$
$-9y' - \frac{y}{7x-1} = 3\sqrt[4]{7x-1}$ ; $y(-1)=2$

$y' - y = \textit{\large e}^{x}$
$-9y' + 4y = -2\textit{\large e}^{2x}$
$18y' - 5y = 3x\textit{\large e}^{x}$
$-27y' + 11y = 6x\textit{\large e}^{-3x}$ ; $y(0)=1$

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables

05.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de separación de variables. Halle además, la función que satisface el valor inicial, donde corresponda.

$y'- y = 0$
$y' + 4y = 0$
$3y' - x = 0$
$2y' + 7x = 0$ ; $y(0)=1$

$y' - xy = 0$
$7y' + x^2y = 0$
$y' - 5xy^2 = 0$
$10y' + 3x^2y^2 = 0$ ; $y(1)=0$

$y' - x^3y = 0$
$4y' + x^4y = 0$
$y' - 9xy^5 = 0$
$5y' + 8x^6y^7 = 0$ ; $y(-1)=2$

$y'+ xy = x$
$y'- xy = 2y$
$10y' + xy^2 = 4x$
$y'- 9x^3y = 5y$ ; $y(0)=1$

$y' - \frac{y}{x} = 0$
$3y' + \frac{x}{y} = 0$
$y' - \frac{y^2}{2x} = 0$
$2y' + 6\frac{y}{x^2} = 0$ ; $y(4)=-1$

$y' - y\text{\large e}^{x} = 0$
$3y' + x\text{\large e}^{y} = 0$
$y' + 7y^2\text{\large e}^{x} = 0$
$9y' - 5\text{\large e}^{y}\text{\large e}^{x} = 0$ ; $y(0)=1$

$y' - y\text{\large e}^{x} = \text{\large e}^{x}$
$3y' + x\text{\large e}^{y} = \text{\large e}^{y}$
$y' - 6y^2\text{\large e}^{x} = y^2$
$11y' + \text{\large e}^{y}\text{\large e}^{x} = 0$ ; $y(2)=1$

$y' - x\sqrt{x+1} = 0$
$2y' + x\sqrt{x^2+1} = 0$
$y' - 7yx\sqrt{x+1} = 0$
$9y' + 4yx\sqrt{x^2+1} = 0$ ; $y(3)=1$

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Memes Matemáticos – Marzo 2021

02.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

La popularidad de un meme refleja la forma en que la sociedad comprende un hecho y las matemáticas no se escapan de esto, pues la comunidad matemática en las redes sociales ha aumentado su presencia en los últimos meses. El mes de Marzo nos trajo el Día de Pi pero ya ha culminado (el mes, no la extensión decimal de Pi) y traemos para ti una compilación de los mejores memes matemáticos de Marzo 2021.

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Concurso de comer pie

Por supuesto, en el mes de Marzo no podían faltar los chistes de $\pi$ , particularmente con los juegos de palabras pues en inglés «pi» se pronuncia igual que la palabra «pie» (pastel horneado), esto es lo que expone el autor de Safely Endangered, cuya viñeta es compartida ampliamente todos los años en la comunidad matemática. En la viñeta se lee:

Primer Panel

Oh Dios.

Segundo Panel

¿Cuándo determinará?

Tercer Panel

Concurso de comer $\pi$ (pie, en inglés).

r/mathmemes - SAFELY ENDANGERED WEBTOON OH GOD WHEN WILL IT END T CONTEST EATING

Demostraciones ilustradas

Al desarrollar demostraciones matemáticas, estas pudieran resultar pesadas para el lector, por lo que los autores pueden recurrir a ilustraciones o ejemplos particulares para hacer más intuitivo el proceso de razonamiento. Sin embargo, la demostración que veremos a continuación sobrepasa los límites ilustrativos y la particularización de ejemplos 😐 Esto es lo que expone u/KaoIo en donde podemos leer:

Teorema: Tengo una boca grande

Prueba: (ver la imagen)

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270°

Cuando consideramos Ángulos, siempre vendrán a la mente los más comunes, por ejemplo: los ángulos rectos, de 90°; los ángulos llanos, de 180° o para representar una vuelta completa, 360°; pero siempre hay uno marginado, el ángulo de 270°. Esto es lo que expone u/Syntax_Error375, en la imagen se puede leer:

«Ustedes siempre actúan como si fueran mejores que yo»

Efectuar operaciones básicas, qué pesadilla.

A medida que se avanza en las matemáticas, son cada vez menos las veces que se efectúan las operaciones básicas, pues el nivel de abstracción es cada vez más alto, por esta razón es común que se pierda la destreza de efectuar operaciones básicas con agilidad. Esto es lo que expone u/NeoMarethyu, en la imagen se puede leer:

Primer Panel
¡Wow! ¿Cómo te pusiste así?

Segundo Panel
Hago una flexión.

Tercer Panel
Cada vez que hago una suma básica incorrecta.

Cuarto Panel
Jesucristo.

En el mismo orden de ideas, nos topamos con esta imagen que nos trae u/rupis_pupis, donde se puede leer

El muchacho el primer panel:
Yo en preescolar

El muchacho el segundo panel:
Yo en la universidad

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Mamá, ya no quiero jugar a las matemáticas

Hay un dicho que no me gusta porque tiende a desalentar a los estudiantes de matemáticas infundiendo temor sobre el cálculo de integrales, pero lo citaré para presentar el contexto de este meme, dice así: «deriva el que sabe, integra el que puede». Si bien es mero prejuicio contra las hermosas integrales, este meme que presenta el usuario u/shaked6540 lo resume todo pues nos muestra como cambiar ligeramente la función que estamos integrando, puede complicar nuestros cálculos.

Dejad que los niños vengan a mí

El análisis real profundiza de forma abstracta sobre todo lo aprendido en el «cálculo». Sacar cuentas cuando se aprende cálculo puede resultar entretenido, pero es cuando descubrimos el trasfondo que sustenta todas las cuentas que podemos hacer, es cuando resulta divertido, aunque para algunos resulta doloroso, esto es lo que expone u/joachim2718, en la imagen se puede leer:

Análisis Real (el tren)

Nuevos estudiantes de matemáticas

«Cálculo es cool» (las flores)

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El primo raro

Un número primo es aquel número natural que es divisible sólo entre uno y él mismo, es por esto que todos los números pares pueden ser descartados como números primos inmediatamente… Todos menos uno de ellos, el número dos. Esto es lo que expone u/Hillelpash en la siguiente imagen:

Entrenamiento normal

Cuando se estudian conjuntos de datos en la estadística, se puede notar que estos tienen a acumular alrededor de ciertos valores y lo que da pie a definir las distribuciones de probabilidad, particularmente, la Distribución Normal es la que más aparece y por la forma acampanada de su gráfico también se conoce como la Campana de Gauss. La Distribución Normal describe distintos fenómenos y en la imagen que presenta u/ohnoh18, podemos notar esta distribución en las pesas de un gimnasio:

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El guantelete del conocimiento

Cada vez el conocimiento es más libre y abundante, particularmente en el desarrollo de las matemáticas se puede consultar una cantidad enorme de fuentes y calculadoras que darán solución a muchos problemas de cálculo en un abrir y cerrar de ojos. Esto es lo que expone u/12_Semitones, en la imagen se puede leer:

Profesor: «El examen será a cuaderno abierto»

Yo:

-1/12

La Hipótesis de Riemann ha generado mucha discusión en la comunidad matemática, pero también ha generado mucha confusión entre aquellos que están aprendiendo. Básicamente, se ha definido la Función Zeta de Riemann para números complejos con parte real mayor que uno, de la siguiente forma:

$\xi (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

El problema que se plantea es el de calcular las raíces de esta función, es decir, los valores para los cuales $\xi (s) = 0$ . Al considerar esta función, notemos que el caso que $s=-1$ , esta función se puede reescribir como la sumatoria

$\sum_{n=1}^{\infty} n$

Sin embargo, al considerar la función como regla de correspondencia (no como la suma de todos los números naturales) a través de método de convergencia, esta corresponde a $s=-1$ con $-\frac{1}{12}$ . Esta confusión para los nuevos estudiantes de matemáticas es la que expone el usuario u/Pietro2054, pues en la imagen podemos leer lo siguiente

Primer Panel
Fan Promedio de -1/12

Segundo Panel
Disfrutador promedio de $\infty$

¿Crees que se nos escapó un meme? ¡Comparte tu mejor meme en los comentarios!

Vectores en el Plano

02.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Si bien hemos podido identificar subconjuntos en el plano cartesiano con figuras geométricas tales como rectas, parábolas u otro tipo figuras determinadas por funciones, también podemos identificar en el plano otro tipo de elementos, por ejemplo, al estudiar fenómenos físicos como la aplicación de una fuerza, se debe especificar la magnitud y la dirección con que esta ha sido aplicada; para esto se definen los vectores.

Intuitivamente, diremos que un vector es elemento que tiene una magnitud y una dirección y; geométricamente, se representa con una flecha que tiene una longitud y una inclinación respecto al Eje X. Usualmente, los vectores se presentan con un par ordenado que denota el punto en el plano cartesiano hasta donde llega el vector, partiendo desde el origen.

De esta forma, si $P = (x,y)$ es un punto en el plano, denotamos un vector que parte desde el origen y que llega hasta el punto $P$ encerrando el par ordenado con los delimitadores $\left\langle \ , \ \right\rangle$ de la siguiente forma:

$\overrightarrow{OP} = \left\langle x , y \right\rangle$

Y lo representamos gráficamente en el plano cartesiano de la siguiente forma:

Es importante señalar cual es el origen de un vector, pero cuando esto queda sobre entendido, también se pueden denotar usando letras como $\overrightarrow{v}$ ó $\overrightarrow{A}$ . Sin embargo, siempre se debe dejar clara la forma en que el vector está definido.

Magnitud de un Vector

La magnitud de un vector también es conocida como la norma del vector y se interpreta geométricamente como la longitud de la flecha que define el vector. La norma de un vector $\overrightarrow{v}$ se denota usando delimitando el vector usando una barra vertical $\left|\overrightarrow{v}\right|$ o usando la notación de distancia euclidiana con doble barra vertical $\left\lVert \overrightarrow{v}\right\rVert$ .

La norma de un vector $\overrightarrow{v} = \left\langle x , y \right\rangle$ se calcula recurriendo al Teorema de Pitágoras y es que podemos notar que cualquier vector representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $x$ y $y$ de la siguiente forma:

Entonces, el Teorema de Pitágoras nos indica que

$\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert^2 = x^2 + y^2$

Teniendo en cuenta esta igualdad, podemos aplicar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación y de esta forma, definimos una fórmula para calcular la norma de un vector de la siguiente forma:

$\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}$

Veamos en los siguientes ejemplos, como aplicar esta fórmula para calcular la norma de distintos vectores.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{OP} = \left\langle 3 , 4 \right\rangle$ , calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

$\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert \ = \ \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$

$\ = \ \sqrt{9 + 16}$

$\ = \ \sqrt{25}$

$\ = \ 5$

Ejemplo 2

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{u} = \left\langle -2 , 2 \right\rangle$ , calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

$\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-2)^2 + (2)^2}$

$\ = \ \sqrt{4 + 4}$

$\ = \ \sqrt{8}$

Ejemplo 3

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{v} = \left\langle -5 , -1 \right\rangle$ , calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

$\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2}$

$\ = \ \sqrt{25 + 1}$

$\ = \ \sqrt{26}$

Ejemplo 4

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{A} = \left\langle 4 , -2 \right\rangle$ , calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

$\left\lVert \overrightarrow{A} \right\rVert \ = \ \sqrt{(4)^2 + (-2)^2}$

$\ = \ \sqrt{16 + 4}$

$\ = \ \sqrt{20}$

Dirección de un Vector

La dirección de un vector también es conocida como el sentido del vector y se interpreta geométricamente como el ángulo (menor de 180 grados) que forma la flecha que define el vector con la parte positiva del Eje X.

La dirección un vector $\overrightarrow{v} = \left\langle x , y \right\rangle$ se calcula recurriendo a la trigonometría, pues podemos notar que cualquier vector representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $x$ y $y$ , considerando el siguiente gráfico

Podemos definir las siguientes expresiones trigonométricas.

$\sin(\alpha) = \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert}$

$\cos(\alpha) = \dfrac{x}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert}$

$\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$

Teniendo en cuenta estas igualdades, podemos aplicar las función inversa correspondiente a cada función trigonométrica y así, definimos una fórmula para calcular el ángulo del vector $\overrightarrow{v}$ respecto al Eje X, usando cualquiera de las siguientes igualdades:

$\alpha = \arcsin\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)$

$\alpha = \arccos\left( \dfrac{x}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)$

$\alpha = \arctan \left( \dfrac{y}{x} \right)$

De forma general, se usa la fórmula que involucra el arco coseno, pues es la que determina el ángulo formado entre el vector y el Eje positivo de X directamente.

Veamos en los siguientes ejemplos, como aplicar esta fórmula para calcular la dirección de distintos vectores.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{OP} = \left\langle 3 , 4 \right\rangle$ , calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector

$\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert \ = \ \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$

$\ = \ \sqrt{9 + 16}$

$\ = \ \sqrt{25}$

$\ = \ 5$

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

$\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert} \right)$

$\ = \ \arccos \left( \frac{3}{5} \right)$

$\ \approx \ 53.13^{\circ}$

Ejemplo 6

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{u} = \left\langle -2 , 2 \right\rangle$ , calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

$\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-2)^2 + (2)^2}$

$\ = \ \sqrt{4 + 4}$

$\ = \ \sqrt{8}$

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

$\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert} \right)$

$\ = \ \arccos \left( \frac{-2}{\sqrt{8}} \right)$

$\ = \ 135^{\circ}$

Ejemplo 7

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{v} = \left\langle -5 , -1 \right\rangle$ , calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

$\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2}$

$\ = \ \sqrt{25 + 1}$

$\ = \ \sqrt{26}$

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

$\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)$

$\ = \ \arccos \left( \frac{-5}{\sqrt{26}} \right)$

$\ \approx \ 168.69^{\circ}$

Ejemplo 8

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{A} = \left\langle 4 , -2 \right\rangle$ , calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

$\left\lVert \overrightarrow{A} \right\rVert \ = \ \sqrt{(4)^2 + (-2)^2}$

$\ = \ \sqrt{16 + 4}$

$\ = \ \sqrt{20}$

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

$\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{A} \right\rVert} \right)$

$\ = \ \arccos \left( \frac{4}{\sqrt{20}} \right)$

$\ \approx \ 26.56^{\circ}$

totumat

¡Tu guía de matemáticas!

Autor: Anthonny Arias-García

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas y No-Exactas

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Vectores en el Plano

Magnitud de un Vector

Ejemplos

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Ejemplo 2

Ejemplo 3

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Dirección de un Vector

Ejemplos

Ejemplo 5

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Ejemplo 7

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