Ecuaciones en Diferencias Finitas

Las Ecuaciones Diferenciales permiten estudiar distintos fenómenos a través del tiempo de forma continua usando diferenciales, sin embargo, no siempre los fenómenos que se estudian están medidos de forma continua y en cambio, están medidos de forma discreta.

Las Ecuaciones en Diferencias Finitas permiten estudiar distintos fenómenos a través del tiempo de forma discreta usando diferencias, es decir, considerando las relaciones entre dos eventos de un determinado fenómeno cuya información se ha recolectado a través del tiempo.

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Antes de abordar las Ecuaciones en Diferencias Finitas es importante identificar algunos elementos matemáticos que darán precisión a las definiciones que darán cuerpo a la teoría y uno de los elementos más básicos es entender a qué nos referimos cuando se menciona la palabra continua o la palabra discreta.

Mediciones continuas y mediciones discretas

En el ámbito de las Ecuaciones en Diferencias, las variables están medidas a través del tiempo. Usualmente, el tiempo se identifica con la variable t y este puede ser considerado de dos formas.

Mediciones Continuas

Una variable es medida de forma continua si los intervalos de tiempo considerados son muy pequeños (relativo al fenómeno en cuestión), usualmente; segundos, microsegundos o milisegundos. Entonces, una variable y está medida de forma continua si su dominio está definido como un intervalo en el conjunto de los números reales, formalmente, diremos que definida de la siguiente forma:

y : (a,b) \longrightarrow \mathbb{R}

Consideremos en los siguientes ejemplos, fenómenos que han sido medidos de forma continua.

Ejemplos

Ejemplo 1

El precio de las acciones en la bolsa de valores está medido de forma continua a través del tiempo, más aún, está medido en tiempo real.

Ejemplo 2

El valor de una criptomoneda está medido de forma continua a través del tiempo, más aún, está medido en tiempo real.

Ejemplo 3

Si una persona está conectada a un electrocardiógrafo para hacer un registro de sus signos vitales, los resultados reflejados en el electrocardiograma están medidos de forma continua a través del tiempo.

Mediciones Discretas

Una variable es medida de forma discreta si los intervalos de tiempo considerados son grandes (relativo al fenómeno en cuestión), usualmente; días, semanas, meses o años. Entonces, una variable y está medida de forma discreta si su dominio está definido por números enteros no negativos, formalmente, diremos que definida de la siguiente forma:

y : \{ 0, 1, 2, \ldots, n \} \longrightarrow \mathbb{R}

Ejemplos

Ejemplo 4

Un censo poblacional es efectuado cada diez años y para mantener estándares internacionales, se recomienda en los años terminados en cero, sin embargo, algunos países los miden cada cuatro años.

Ejemplo 5

La medición de intereses sobre un préstamo o una inversión, usualmente se hace de forma anual, aunque también puede ocurrir de forma trimestral o mensual.

Ejemplo 6

El precio del petróleo se mide de forma diaria, tomando en cuenta que la cesta de la OPEP, que es un promedio de los precios de los petróleos producidos por los países miembros de la OPEP y se utiliza como punto de referencia para los precios del petróleo.

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Diferencias finitas

Si consideramos una variable y que depende de una variable t, definimos una diferencia finita de y como una expresión de la forma y(t+b) - y(t+a) para cualesquiera dos números reales a y b. Nos resultará de particular interés la siguiente diferencia:

y(t+h) - y(t)

En el cálculo infinitesimal, esta diferencia sienta la base para definir la derivada de una función. Sin embargo, nuestro propósito será el de trabajar con variables medidas de forma discreta, es por esto que modificaremos nuestra notación un poco:

  • Adoptamos la notación usada para las sucesiones de números reales, de forma, que el valor y(t) se representa como y_{t}.
  • Sustituimos la letra h por la letra k.

Tomando en cuenta esto, expresaremos la diferencia finita de una variable y medida de forma discreta con la expresión

y_{t+k} - y_{t}

A esta última expresión la llamaremos diferencia finita de orden k, esto se debe a que esta es la diferencia entre los índices de y_{t} y y_{t+k}, es decir, t+k - t = k.

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Ecuaciones en Diferencias Finitas

Considerando una variable discreta t y una variable real y que depende de t, definimos una \textbf{Ecuación en Diferencias Finitas} como una expresión que establece una relación entre la variable t y los valores y_t, y_{t+1}, \ldots, y_{t+k} a través de una igualdad. Formalmente, una relación expresada de la siguiente forma:

F \left( t,y_t, y_{t+1}, \ldots, y_{t+k} \right)=0

De forma particular, si consideramos la relación y_{t+1} - y_{t} - 5 = 0 diremos que esta es una ecuación en diferencias finitas y nuestro propósito será el de determinar cuál es la forma general de la sucesión y_t que satisface esta igualdad.

El estudio de las ecuaciones en diferencias finitas tiene su base en el desarrollo de distintas técnicas para hallar la solución de éstas y para lograrlo, debemos clasificarlas. Las ecuaciones en diferencias finitas se clasifican principalmente de dos formas: Por orden y por linealidad.

  • Por linealidad: Una ecuación en diferencias finitas es lineal si ésta es lineal respecto a la variable dependiente.
  • Por orden: El orden de una ecuación en diferencias finitas viene dado por el mayor orden involucrado en ella.
  • Por autonomía:
    • Una ecuación en diferencias finitas es no autónoma o variante en el tiempo si la variable t sí está involucrada como un elemento de la ecuación, es decir, expresada de la forma F \left(t,y_t, y_{t+1}, \ldots, y_{t+k} \right)=0
    • Una ecuación en diferencias finitas es autónoma o invariante en el tiempo si la variable t no está involucrada como un elemento de la ecuación, es decir, expresada de la forma F \left(y_t, y_{t+1}, \ldots, y_{t+k} \right)=0

A medida que aprendamos las técnicas para calcular soluciones de ecuaciones en diferencias finitas, veremos otras formas de clasificarlas, por ahora consideremos algunos ejemplos de ecuaciones en diferencias finitas para determinar la clasificación que hemos visto.

Ejemplos

Ejemplo 7

Si consideramos la ecuación en diferencias finitas y_{t+1} - y_{t} - 5 = 0

  • Es lineal ya que el exponente de y_{t+1} y y_{t} es exactamente igual a uno y tampoco hay un producto entre estos dos elementos.
  • Es de primer orden porque la mayor diferencia entre cualquier par de índices involucrados es (t+1)-(t)=1.
  • Es autónoma porque la variable t no aparece involucrada en la ecuación.

Por lo tanto es una Ecuación en Diferencia Finita lineal de primer orden.

Ejemplo 8

Si consideramos la ecuación en diferencias finitas 3y_{t+7} - 9y_{t+3} - 12t = 0

  • Es lineal ya que el exponente de y_{t+7} y y_{t+3} es exactamente igual a uno y tampoco hay un producto entre estos dos elementos.
  • Es de cuarto orden porque la mayor diferencia entre cualquier par de índices involucrados es (t+7)-(t+3)=4.
  • Es no autónoma porque la variable t sí aparece involucrada en la ecuación.

Por lo tanto es una Ecuación en Diferencia Finita lineal de cuarto orden.

Ejemplo 9

Si consideramos la ecuación en diferencias finitas -2ty_{t+5} + 10y_{t+3} + 5y_{t} - 12t^2 + 9 = 0

  • Es lineal ya que el exponente de y_{t+5}, y_{t+3} y y_{t} es exactamente igual a uno y tampoco hay un producto entre estos tres elementos.
  • Es de quinto orden porque la mayor diferencia entre cualquier par de índices involucrados es (t+5)-(t)=5.
  • Es no autónoma porque la variable t sí aparece involucrada en la ecuación.

Por lo tanto es una Ecuación en Diferencia Finita lineal de quinto orden.

Ejemplo 10

Si consideramos la ecuación en diferencias finitas 4y_{t+1} \cdot y_{t} - 7 = 0

  • No es lineal, pues existe un producto entre y_{t+1} y y_{t}.
  • Es de primer orden porque la mayor diferencia entre cualquier par de índices involucrados es (t+1)-(t)=1.
  • Es autónoma porque la variable t no aparece involucrada en la ecuación.

Por lo tanto es una Ecuación en Diferencia Finita lineal de primer orden.


Bibliografía Complementaria

3 comentarios en “Ecuaciones en Diferencias Finitas

  1. […] En el estudio de los fenómenos medidos de forma discreta a través del tiempo, resulta de particular interés relacionar de forma lineal estudiar lo ocurrido en el presente con lo ocurrido en el periodo inmediato anterior, es decir, lo ocurrido en un periodo con lo ocurrido en el periodo anterior . Para esto, definimos un tipo particular de Ecuaciones en Diferencias Finitas. […]

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