Hasta ahora hemos calculado la solución de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden, es decir, de aquellas ecuaciones diferenciales en las que el mayor orden de las derivadas involucradas es igual a uno. Durante esta sección, estudiaremos ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno, precisamente, ecuaciones diferenciales ordinarias de orden $n$ , es decir, aquellas definidas de la siguiente forma

$F \left( x,y,y',y'', \ldots ,y^{(n)} \right)=0$

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Los métodos que se presentarán en esta sección se usarán para calcular la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior, es decir, aquellas expresadas como una combinación lineal (recordando que la linealidad es respecto a la variable $y$ y sus derivadas) de la siguiente forma

$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Donde $a_n(x), \, a_{n-1}(x), \, \ldots , \, a_1(x) , \, a_0(x)$ y $g(x)$ son funciones que no necesariamente son lineales. Veamos algunos ejemplos para aprender a identificar este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

La ecuación diferencial $\textit{\Large e}^xy - y''=0$ es lineal respecto $y$ y $y''$ pues estos elementos permanecen inalterados, además, la derivada de mayor orden involucrada es de segundo orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.

Ejemplo 2

La ecuación diferencial $2x^6y''' + 9x^8y'= 0$ es lineal respecto a la variable $y'$ y $y'''$ pues estos elementos permanecen inalterados, además, la derivada de mayor orden involucrada es de tercer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden.

Ejemplo 3

La ecuación diferencial $5\ln(x)y'' + 13 y' - \frac{20}{x}y = 30\sqrt{x}$ es lineal respecto a $y$ , $y'$ y $y''$ pues estos elementos permanecen inalterados, además, la derivada de mayor orden involucrada es de segundo orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.

Ejemplo 4

La ecuación diferencial $2x^2y^{(4)} + 4xy^7 = 7x^4$ no es lineal respecto a $y$ pues este elemento tiene potencia igual a siete, además, la derivada de mayor orden involucrada es de cuarto orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de cuarto orden.

Ejemplo 5

La ecuación diferencial $6 y'' \textit{\Large e}^{x} - 8 y' \cdot y = \textit{\Large e}^{2x}$ no es lineal respecto a $y$ y $y'$ pues estos elementos están siendo multiplicados entre sí, además, la derivada de mayor orden involucrada es de segundo orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden.

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Ecuaciones Diferenciales con Problemas de valor inicial

Al considerar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden definimos una condición inicial sobre la variable $y$ como $y(x_{0})=y_0$ , sin embargo, debemos ser cuidadosos al definir condiciones iniciales sobre ecuaciones de orden superior, pues en el caso de una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ , la condición inicial está definida sobre la variable $y$ y sus primeras $n-1$ derivadas de la siguiente forma

$y(x_0) = y_0, \, y'(x_0) = y_1, \, \ldots , \, y^{(n-1)}(x_0) = y_n$

Antes de empezar a calcular la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden $n$ es importante preguntarse: ¿cómo sabemos que en efecto podemos encontrar la solución de una ecuación que cumpla con esa condición? A continuación veremos un teorema que nos permitirá determinar si una ecuación diferencial con un problema de valor inicial tiene solución.

Teorema (De existencia y unicidad)

Sean $a_n(x), \, a_{n-1}(x), \, \ldots , \, a_1(x) , \, a_0(x)$ y $g(x)$ funciones continuas en un intervalo $I$ con $a_n(x) \neq 0$ para todo $x \in I$ . Si $x=x_0$ es un punto de este intervalo, entonces existe una única solución $y(x)$ para la ecuación

$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

con la siguiente condición inicial para la variable $y$ y sus primeras $n-1$ derivadas

$y(x_0) = y_0, \, y'(x_0) = y_1, \, \ldots , \, y^{(n-1)}(x_0) = y_n$

Consideremos algunos ejemplos para entender la forma que deben tener las ecuaciones diferenciales para que cumplan con las condiciones de este teorema.

Ejemplos

Ejemplo 6

Consideremos la siguiente ecuación diferencial ordinaria con su respectivo problema de valor inicial

$y'' - 4y = 12x$

$y(0)=4, \ \ y'(0)=1$

Entonces, $a_2(x)=1$ , $a_1(x)=0$ , $a_0(x)=-4$ , y $g(x)=12x$ son sus coeficientes y cada uno de estos es una función continua en cualquier intervalo $I$ que contenga a $x_{0}=0$ .

Por lo tanto, existe una única solución $y(x)$ para esta ecuación en cualquier intervalo $I$ .

Ejemplo 7

Consideremos la siguiente ecuación diferencial ordinaria con su respectivo problema de valor inicial

$5\textit{\Large e}^{x}y''' - 3\textit{\Large e}^{x+3}y' = 9\textit{\Large e}^{x}$

$y(1)=1, \ \ y'(1)=1, \ \ y''(1)=1$

Entonces, $a_3(x)=5\textit{\Large e}^{x}$ , $a_2(x)=0$ , $a_1(x)=- 3\textit{\Large e}^{x+3}$ , $a_0(x) = 0$ y $g(x)= 9\textit{\Large e}^{x}$ son sus coeficientes y cada uno de estos es una función continua en cualquier intervalo $I$ que contenga a $x_{0}=1$ .

Por lo tanto, existe una única solución $y(x)$ para esta ecuación en cualquier intervalo $I$ .

Ejemplo 8

Consideremos la siguiente ecuación diferencial ordinaria con su respectivo problema de valor inicial

$\frac{6}{x}y'' + \frac{10}{x^2}y' - \frac{1}{x^3}y = 4\sqrt{x}$

$y(5)=-1, \ \ y'(5)=1$

Entonces, $a_2(x)=\frac{6}{x}$ , $a_1(x)=\frac{10}{x^2}$ , $a_0(x) = - \frac{1}{x^3}$ y $g(x)= 4\sqrt{x}$ son sus coeficientes y cada uno de estos es una función continua en cualquier intervalo $I$ de la forma $(0,b)$ contenga a $x_{0}=5$ .

Por lo tanto, existe una única solución $y(x)$ para esta ecuación en cualquier intervalo $I$ de la forma $(0,b)$ contenga a $x_{0}=5$ .

Ecuaciones diferenciales con Problemas de condiciones en la frontera

Al considerar una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ , podemos definir un problema de valor inicial fijando condiciones sobre las funciones $y(x), y'(x), \ldots ,y^{(n-1)}(x)$ que definen la solución de la ecuación sobre un único punto.

Sin embargo, puede ocurrir que al considerar las funciones $y(x), y'(x), \ldots ,y^{(n-1)}(x)$ , estas no estén todas condicionadas en un único valor inicial, sino en puntos diferentes valores $x_{0},x_{1}, \ldots ,x_{n-1}$ . A este tipo de problemas los llamamos problemas de condiciones en la frontera.

De forma general, las condiciones en la frontera para una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ están expresados de la siguiente forma:

$\alpha_{11} \cdot y(x_{1}) + \alpha_{12} \cdot y'(x_{1}) + \ldots + \alpha_{1 \ n-1} \cdot y^{(n-1)}(x_{1}) = \gamma_{1}$
$\alpha_{21} \cdot y(x_{2}) + \alpha_{22} \cdot y'(x_{2}) + \ldots + \alpha_{2 \ n-1} \cdot y^{(n-1)}(x_{2}) = \gamma_{2}$
$\vdots$
$\alpha_{n1} \cdot y(x_{n-1}) + \alpha_{n2} \cdot y'(x_{n-1}) + \ldots + \alpha_{n \ n-1} \cdot y^{(n-1)}(x_{n-1}) = \gamma_{n}$

Y aunque estas condiciones parecieran complicadas, a medida que vamos particularizando los casos, estas se simplifican. Consideremos entonces, algunos ejemplos para entender como están expresadas las condiciones en la frontera para casos particulares.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considere la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con su respectiva condición en la frontera

$3x^2 y'' + 7xy'+ 9 = 10x^3$

$y(1)=4, \ \ y(3)=-1$

Las condiciones $y(1)=4$ y $y(-3)=-1$ son llamadas condiciones de frontera y, si observamos el caso general para ecuaciones ordinarias de segundo orden, podemos identificar estas condiciones de la siguiente forma

$1 \cdot y(1) + 0 \cdot y'(1) = 4$
$1 \cdot y(3) + 0 \cdot y'(3) = -1$

Ejemplo 10

Considere la siguiente ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden con su respectiva condición en la frontera

$\ln(x) y'' + 6\ln(x)y = -10$

$y(2)=6, \ \ y'(1)=10$

Las condiciones $y(2)=6$ y $y'(1)=10$ son llamadas condiciones de frontera y, si observamos el caso general para ecuaciones ordinarias de segundo orden, podemos identificar estas condiciones de la siguiente forma

$1 \cdot y(-2) + 0 \cdot y'(-2) = 6$
$0 \cdot y(1) + 1 \cdot y'(3) = 10$

Ejemplo 11

Considere la siguiente ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden con su respectiva condición en la frontera

$-5 y''' + 7x^3y^4 = 0$

$y'(0)=1, \ \ y'(2)=2, \ \ y''(1)=-1$

Las condiciones $y'(0)=1$ , $y'(2)=2$ , $y''(1)=-1$ son llamadas condiciones de frontera y, si observamos el caso general para ecuaciones ordinarias de segundo orden, podemos identificar estas condiciones de la siguiente forma

$0 \cdot y(0) + 1 \cdot y'(0) + 0 \cdot y''(0) = 1$
$0 \cdot y(2) + 1 \cdot y'(2) + 0 \cdot y''(2) = 2$
$0 \cdot y(1) + 0 \cdot y'(1) + 1 \cdot y''(1) = -1$

Es importante tomar en cuenta que los problemas de condiciones en la frontera pueden tener varias soluciones, una solución o ninguna solución. Esto se puede apreciar mejor con una interpretación gráfica de la solución de de una ecuación con problemas de condiciones en la frontera

Gráficamente, al considerar la solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ , esta es una función que satisface igualdad planteada por la ecuación en un intervalo $I$ que contiene a $x_{1}, x_{2}, \ldots ,x_{n}$ , cuya gráfica pasa por los puntos $(x_{1},y(x_{1})), (x_{2},y(x_{2})), \ldots, (x_{n},y(x_{n}))$ .

Para entender esta idea, en el siguiente gráfico se presenta la solución de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. La solución es una función que satisface igualdad planteada por la ecuación en un intervalo $I$ que contiene a $x_{1}$ y $x_{2}$ ; cuya gráfica (de la función solución) pasa por los puntos $(x_{1},y(x_{1}))$ y $(x_{2},y(x_{2}))$ .

Ecuaciones Diferenciales – Modelo de crecimiento y decrecimiento poblacional

03.10.202007.04.2023 Anthonny Arias-García8 comentarios

El Modelo de Crecimiento Poblacional
1. Ejemplo

Usualmente las ecuaciones diferenciales se emplean para modelar el comportamiento de un fenómeno a través del tiempo. De forma general, si consideramos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, estas estarán expresadas de la forma

$x' + u(t) \cdot x = w(t)$

Donde $u$ y $w$ son funciones que dependen de la variable $t$ .

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El Modelo de Crecimiento Poblacional

Empecemos por considerar uno de los modelos más básicos de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden en un tiempo $t$ : el caso homogéneo con coeficiente constante, es decir, tal que $w(t)=0$ y $u(t)=k$ . En este caso, las ecuaciones estarán expresadas de la forma

$x' - k \cdot x = 0 \Longleftrightarrow x' = k \cdot x$

Con valor inicial $x(0)=x_{0}$ . En este caso la constante $k$ será conocida como constante de proporcionalidad y este tipo de ecuaciones sirve para describir diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento.

Las aplicaciones de este modelo pueden variar entre crecimiento de una población de bacterias, media-vida (variable que se usa para describir la estabilidad de sustancias radiactivas), pruebas de carbono 14 (para medir qué tan antiguo es un fósil) o incluso para determinar en cuánto tiempo se enfría una torta, sin embargo, durante este curso consideraremos de forma particular la forma en que crece la población de una determinada localidad.

Formalmente, si definimos la variable $P(t)$ para denotar el tamaño de la población en un tiempo $t$ , la forma en que varía el tamaño de la población respecto al tiempo se puede describir calculando la derivada de la variable $P$ respecto al tiempo $t$ , es decir, $P'(t) = \frac{dP}{dt}(t)$ .

Para poder emplear este tipo de modelos, debemos suponer que la forma en que varía la población en un instante de tiempo $t$ es proporcional al tamaño de la población en dicho tiempo $t$ , de esta forma, obtenemos la siguiente igualdad

$P'(t) = k \cdot P(t)$

Notando que esta igualdad representa una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea y puede usarse para predecir el tamaño de la población en el futuro, es decir, para algún $t>t_{0}$ . Y sabiendo el tamaño de la población en un punto $t_0$ entonces podemos definir una ecuación diferencial con problema de valor inicial de la siguiente forma:

$P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_{0}) = P_0$

Representando la ecuación diferencial de esta forma, la constante de proporcionalidad se puede determinar a partir de la solución con el valor inicial dado.

Ejemplo

Mediante un censo poblacional en el año 1970, el tamaño de la población de una pequeña ciudad fue de aproximadamente 70 000 habitantes. En el censo poblacional del año 2000 se estimó que el tamaño de la población fue de 200 000 habitantes. Considerando que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, ¿cuál será el tamaño de la población en el año 2030?

Antes de establecer el modelo que define el crecimiento de esta población, es necesario definir las variables involucradas.

El primer censo se efectuó en el año 1970, entonces consideramos a este como el valor inicial $t_{0} = 1970$ . Sin embargo, para agilizar los cálculos, podemos considerar $t_{0} = 0$ y así, $P_{0} = 70000$ .

Partiendo del hecho que el tamaño de esta población ha crecido de forma proporcional, planteamos la siguiente ecuación diferencial

$P'(t) = k \cdot P(t) \ , \ P(t_0) = P_{0} = 70000$

Al ser esta una ecuación de variables separables, procedemos a calcular su solución con el respectivo valor inicial.

$P' = k P$

$\; \Rightarrow \; \frac{dP}{dt} = k P$

$\; \Rightarrow \; \frac{dP}{P} = k dt$

$\; \Rightarrow \; \int \frac{dP}{P} = \int k dt$

$\; \Rightarrow \; \ln(P) = kt + C$

$\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt + C}$

$\; \Rightarrow \; P = \textit{\Large e}^{kt} \textit{\large e}^{C}$

$\; \Rightarrow \; P = C \textit{\Large e}^{kt}$

Tomando en cuenta que hemos considerado $t_{0} = 0$ , entonces

$P_{0} = C \textit{\Large e}^{k \cdot (0)} \; \Rightarrow \; 70000 = C \cdot 1 \; \Rightarrow \; C = 70000$

Entonces, la solución de la ecuación diferencial planteada con el problema de valor inicial está dada por

$P = 70000 \textit{\Large e}^{kt}$

Sin embargo, aún no hemos determinado el valor de la constante de proporcionalidad $k$ . Para esto, debemos recurrir a la otra información aportada en el enunciado del problema.

El segundo censo se efectuó en el año 2000, entonces al haberse efectuado 30 años después consideramos a este como el valor en el trigésimo periodo $t_{30} = 2000$ y así, $P(30) = 200000$ . De esta forma, podemos plantear la siguiente igualdad

$P(30) = 70000 \textit{\Large e}^{kt}$

Y a partir de esta igualdad, podemos despejar $k$ .

$\; \Rightarrow \; 200000 = 70000 \textit{\Large e}^{k \cdot 30}$

$\; \Rightarrow \; \frac{200000}{70000} = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}$

$\; \Rightarrow \; 2.8571 = \textit{\Large e}^{k \cdot 30}$

$\; \Rightarrow \; \ln \left( 2.8571 \right) = k \cdot 30$

$\; \Rightarrow \; \frac{\ln \left( 2.8571 \right)}{30} = k$

$\; \Rightarrow \; k \approx 0,03499$

De esta forma, la fórmula general para calcular el tamaño de la población está definida de la siguiente forma:

$P(t) = 70000 \textit{\Large e}^{0,03499 \cdot t}$

Para calcular el tamaño de la población en el año 2030, debemos tomar en cuenta que si el año inicial fue 1970, entonces el año 2030 corresponde al sexagésimo periodo, es decir, $t_{60} = 2030$ . Entonces, evaluamos la función en 60.

$P(60) = 70000 \textit{\Large e}^{(0,03499) \cdot (60)} \; \Rightarrow \; P(60) = 571289$

Distributivité

02.10.202004.10.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Lorsque nous additionnons des nombres réels, nous avons la liberté d’associer légèrement les nombres impliqués. De la même manière, si nous multiplions les nombres réels, il faut cependant être prudent lorsque nous rencontrons des opérations mixtes, c’est-à-dire des sommes et des produits à la fois. Ensuite, nous verrons une opération qui nous permet d’exploiter des sommes et des produits en même temps :

La distributivité indique que, si un nombre multiplie la somme de deux nombres, alors le facteur impliqué est distribué entre chacun des opérandes. Formellement, si $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels, alors

Nous pouvons également appliquer cette opération si une soustraction est impliquée au lieu d’une somme entre parenthèses, comme suit :

Nous remarquons que si nous observons cette égalité de droite à gauche, nous prenons le facteur commun qui existe dans les deux termes de la somme et nous le retirons pour le multiplier :

$a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)$

La distributivité est donc l’une des propriétés les plus utilisées dans le calcul des opérations mixtes et à partir d’elles, nous pouvons en déduire certains cas pour faciliter la simplification des expressions mathématiques. Voyons quelques exemples pour bien comprendre cette propriété :

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Exemples

Exemple 1

Utilisez la distributivité pour développer l’expression $2 \cdot (1 + 6)$ . Dans ce cas, il n’est pas nécessaire d’utiliser la distributivité puisque nous pouvons additionner les nombres qui sont entre parenthèses puis effectuer l’opération de multiplication comme suit :

$2 \cdot (1 + 6) = 2 \cdot 7 = 14$

Exemple 2

Utilisez la distributivité pour développer l’expression $2 \cdot \left(1 + \sqrt{6} \right)$ . Notez que l’un des opérandes de la somme impliqués est la racine carrée de 6, donc on ne peut pas tout simplement l’additionner avec 1, nous distribuons le facteur impliqué à la place

$2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2 \sqrt{6}$

Exemple 3

Utilisez la distributivité pour développer l’expression $5 \cdot \left (x - \sqrt{10} \right)$ . Notez que l’un des opérandes de la somme impliqués est la racine carrée de 10 et l’autre est une inconnu, donc nous ne pouvons pas les soustraire, nous distribuons donc le facteur impliqué

$5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right) = 5 \cdot x - 5 \cdot \sqrt{10} = 5x - 5\sqrt{10}$

Exemple 4

Utilisez la distributivité pour développer l’expression $x \cdot \left (x + x^2 \right)$ . Notez que l’un des opérandes impliqués est une inconnue et l’autre est l’inconnue carrée, donc nous ne pouvons pas tout simplement les additionner, puis nous distribuons le facteur impliqué

$x \cdot \left( x + x^2 \right) = x \cdot x + x \cdot x^2 = x^2 + x^3$

Exemple 5

Utilisez la distributivité pour retirer le facteur commun de l’expression $18 + 3 \sqrt{7}$ . Notez que $18 = 3 \cdot 6$ , alors,

$18 + 3\sqrt{7} = 3 \cdot 6 + 3 \sqrt{7} = 3 \cdot \left( 6 + \sqrt{7} \right)$

Exemple 6

Utilisez la distributivité pour supprimer le facteur commun de l’expression $x^4 - 8x$ . Notez que l’un des opérandes impliqués est la puissance quatrième de l’inconnue et l’autre est 8 fois l’inconnue, donc nous ne pouvons pas les soustraire, alors

$x^4 - 8x = x \cdot x^3 - x \cdot 8 = x \cdot \left( x^3 - 8 \right)$

Exemple 7

Utilisez la distributivité pour prendre le facteur commun de l’expression $12x^7 + 15x^4$ . Nous ne pouvons pas additionner ces deux éléments, donc

$12x^7 + 15x^4 = 3 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot x^3 + 3 \cdot 5 \cdot x^4 = 3 x^4 \cdot \left( 4x^3 + 5 \right)$

Ejercicios Propuestos – Expresiones Algebraicas

02.10.202006.11.2025 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Operaciones Básicas

Simplifique las siguientes expresiones efectuando las operaciones básicas. Recuerde tomar en cuenta la jerarquía entre las operaciones.

$90 + 58 \cdot 13$
$54 + 3 \cdot 48$
$( 11 + 52) \cdot 13$
$( 72 + 19) \cdot 88$
$78 + ( 50 + 54) \cdot 72$
$5 + ( 73 - 84) \cdot 37$
$4^2 + ( 2 + 7) \cdot 4$
$2^3 + ( 6 - 3) \cdot 7$
$53 + [ 9^3 + ( 4 + 8) \cdot 2 ]$
$62 - [ 4^2 + ( 9 + 6) \cdot 6 ]$
$7 \cdot [ 4^3 + ( 7 + 1) \cdot 2 ] + 17$
$8 \cdot [ 2^2 - ( 1 + 3) \cdot 5 ] - 25$
$(7^2 + 56 ) \cdot {6 + [ 6^2 + ( 5 + 6) \cdot 7 ] + 24}$
$(2^2 - 69 ) \cdot {2 + [ 3^2 + ( 7 + 6) \cdot 7 ] - 71}$
$\dfrac{ 68 + 96 \cdot 61 }{ 49 + 13 \cdot 78 }$
$\dfrac{ 98 + 10 \cdot 28 }{ 11 - 82 \cdot 73 }$
$73 + 84 \cdot \dfrac{ 42 }{ 78 + 29 \cdot 69 }$
$8 + 85 \cdot \dfrac{ 1 }{ 11 - 39 \cdot 59 }$
$\dfrac{ 32 + [ 8^2 + ( 10 + 1) \cdot 6 ] }{ 19 + [ 4^3 + ( 4 + 4) \cdot 5 ] }$
$\dfrac{ 62 - [ 8^3 + ( 5 + 9) \cdot 2 ] }{ 54 - [ 10^3 - ( 2 + 4) \cdot 7 ] }$
$81 + 8^2 + \dfrac{ ( 1 - 8) \cdot 8 ] }{ 6 - [ 8^2 - ( 6 + 4) \cdot 8 ] }$
$89 + 7^3 + \dfrac{ ( 4 - 3) \cdot 8 ] }{ 88 - [ 8^3 - ( 7 + 3) \cdot 1 ] }$
$\dfrac{ (4^3 - 68 ) \cdot {7 + [ 5^3 - ( 1 - 9) \cdot 6 ] + 52} }{ (2^3 - 91 ) \cdot {4 + [ 3^3 - ( 5 - 5) \cdot 10 ] + 19} }$
$\dfrac{ (10^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^2 - ( 10 - 4) \cdot 5 ] + 89} }{ (4^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^3 - ( 4 - 10) \cdot 8 ] + 49} }$
$(5^3 + 98 ) + \dfrac{ 3\cdot{5 + [ 9^2 + ( 2 + 10) \cdot 9 ] + 20} }{ (9^3 + 48 ) \cdot {2 + [ 6^3 + ( 1 + 4) \cdot 10 ] + 95} }$
$(3^2 + 42 ) + \dfrac{ 7\cdot{3 + [ 2^3 + ( 1 + 7) \cdot 3 ] + 90} }{ (8^3 + 32 ) \cdot {8 + [ 3^2 + ( 1 + 10) \cdot 9 ] + 82} }$

Potencias y Radicales

Simplifique las siguientes expresiones reescribiéndolas como producto de factores primos usando las propiedades de las potencias.

$78$
$72$
$28 \cdot 30$
$24 \cdot 14$
$15^2 \cdot 25^5$
$16^3 \cdot 14^4$
$(17 \cdot 25)^5$
$(16 \cdot 20)^4$
$(17^{-1} \cdot 25^{14})^5$
$(16^{-3} \cdot 20^{15})^4$
$\sqrt[4]{76}$
$\sqrt[6]{115}$
$\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^5}$
$\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}$
$\sqrt[3]{27 \cdot 30}$
$\sqrt[5]{24 \cdot 16}$
$\dfrac{18}{3}$
$\dfrac{24}{8}$
$\dfrac{18^{10}}{3^5}$
$\dfrac{24^9}{8^6}$
$\dfrac{12^{-4}}{3^5}$
$\dfrac{24^{-3}}{8^6}$
$\dfrac{28 \cdot 30}{24 \cdot 14}$
$\dfrac{60 \cdot 20}{63 \cdot 96}$
$\dfrac{(17 \cdot 25)^5}{(16 \cdot 20)^4}$
$\dfrac{(52 \cdot 21)^3}{(22 \cdot 55)^2}$
$\dfrac{(17^{-1} \cdot 25^{14})^5}{(16^{-3} \cdot 20^{15})^4}$
$\dfrac{(52^{-5} \cdot 41^{23})^3}{(22^{-7} \cdot 85^{12})^2}$
$\dfrac{\sqrt[4]{76}}{\sqrt[6]{115}}$
$\dfrac{\sqrt[8]{49}}{\sqrt[10]{90}}$
$\dfrac{\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^9}}{\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}}$
$\dfrac{\sqrt[5]{18^4} \cdot \sqrt[6]{20^7}}{\sqrt[8]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^3}}$
$\dfrac{\sqrt[3]{27 \cdot 30}}{\sqrt[5]{24 \cdot 16}}$
$\dfrac{\sqrt[7]{62 \cdot 20}}{\sqrt[9]{63 \cdot 98}}$

Logaritmos

Simplifique las siguientes expresiones reescribiéndolas usando las propiedades de las potencias y logaritmos.

$\log_2\big( 78 \big)$
$\log_3\big( 72 \big)$
$\log_7\big( 24 \cdot 14 \big)$
$\log_8\big( 60 \cdot 20 \big)$
$\log_{10}\big( 15^2 \cdot 25^5 \big)$
$\log_{12}\big( 16^3 \cdot 14^4 \big)$
$\log_2\big( (17 \cdot 25)^5 \big)$
$\log_4\big( (16 \cdot 20)^4 \big)$
$\log_3\big( (17^{-1} \cdot 25^{14})^5 \big)$
$\log_5\big( (16^{-3} \cdot 20^{15})^4 \big)$
$\log_2\big( \sqrt[4]{76} \big)$
$\log_3\big( \sqrt[6]{115} \big)$
$\log_4\big( \sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^5} \big)$
$\log_5\big( \sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4} \big)$
$\log_2\big( \sqrt[3]{27 \cdot 30} \big)$
$\log_3\big( \sqrt[5]{24 \cdot 16} \big)$
$\log_2 \left( \dfrac{18}{3} \right)$
$\log_3 \left( \dfrac{24}{8} \right)$
$\log_6 \left( \dfrac{18^{10}}{3^5} \right)$
$\log_7 \left( \dfrac{24^9}{8^6} \right)$
$\log_2 \left( \dfrac{12^{-4}}{3^5} \right)$
$\log_4 \left( \dfrac{24^{-3}}{8^6} \right)$
$\log_3 \left( \dfrac{28 \cdot 30}{24 \cdot 14} \right)$
$\log_5 \left( \dfrac{60 \cdot 20}{63 \cdot 96} \right)$
$\log_2 \left( \dfrac{(17 \cdot 25)^5}{(16 \cdot 20)^4} \right)$
$\log_5 \left( \dfrac{(52 \cdot 21)^3}{(22 \cdot 55)^2} \right)$
$\log_9 \left( \dfrac{(17^{-1} \cdot 25^{14})^5}{(16^{-3} \cdot 20^{15})^4} \right)$
$\log_8 \left( \dfrac{(52^{-5} \cdot 41^{23})^3}{(22^{-7} \cdot 85^{12})^2} \right)$
$\log_5 \left( \dfrac{\sqrt[4]{76}}{\sqrt[6]{115}} \right)$
$\log_4 \left( \dfrac{\sqrt[8]{49}}{\sqrt[10]{90}} \right)$
$\log_3 \left( \dfrac{\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^9}}{\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}} \right)$
$\log_6 \left( \dfrac{\sqrt[5]{18^4} \cdot \sqrt[6]{20^7}}{\sqrt[8]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^3}} \right)$
$\log_4 \left( \dfrac{\sqrt[3]{27 \cdot 30}}{\sqrt[5]{24 \cdot 16}} \right)$
$\log_8 \left( \dfrac{\sqrt[7]{62 \cdot 20}}{\sqrt[9]{63 \cdot 98}} \right)$

Expresiones Algebraicas

Factorice y simplifique las siguientes expresiones algebraicas.

$3x + 3$
$10x + 10$
$5x + 5 + 5\sqrt[]{5}$
$10x + 10 + 10\sqrt[3]{6}$
$x^2 - 1$
$x^2 - 4$
$10x^2 - 50$
$3x^2 - 18$
$x^4 - 1$
$x^4 - 16$
$x^3 - x$
$x^4 - x^2$
$x^2 + 5x + 6$
$x^2 + 6x + 5$
$x^2 + 5x - 14$
$x^2 + 4x - 32$
$2x^2 + 16x + 24$
$3x^2 + 30x + 72$
$5x^2 - 15x - 200$
$6x^2 - 30x - 216$
$\dfrac{3x + 3}{3}$
$\dfrac{10x + 10}{10}$
$\dfrac{3x + 3}{x+1}$
$\dfrac{10x + 20}{x+2}$
$\dfrac{x^2 - 1}{x+1}$
$\dfrac{x^2 - 4}{x-2}$
$\dfrac{10x^2 - 50}{10}$
$\dfrac{3x^2 - 18}{3}$
$\dfrac{x^4 - 1}{x+1}$
$\dfrac{x^4 - 16}{x-2}$
$\dfrac{x^2 + 5x + 6}{x+3}$
$\dfrac{x^2 + 6x + 5}{x+1}$
$\dfrac{2x^2 + 16x + 24}{x+2}$
$\dfrac{3x^2 + 30x + 72}{x+6}$
$\dfrac{x^2 + 5x - 14}{x^2 + x - 42}$
$\dfrac{x^2 + 4x - 32}{x^2 + 6x + 16}$

Ejercicios Propuestos de Ecuaciones e Inecuaciones

02.10.202001.08.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

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Ecuaciones Lineales

Calcule el valor de x que satisface las siguientes ecuaciones, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

$x + 6 = 9$
$x - 9 = 6$
$7x + 1 = 10$
$5x - 4 = 5$

$2 + 1x = 3$
$7 - 6x = 10$
$3 + 1x = 8$
$2 - 8x = 9$

$1 + 1x = 8 + 8x$
$2 - 8x = 2 + 2x$

Ecuaciones con Valor Absoluto

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones con valor absoluto, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

$| x + 9 | = 7$
$| x - 9 | = 4$
$| 8x + 1 | = 5$
$| 5x - 10 | = 2$

$| 3 + 5x | = 7$
$| 5 - 4x | = 7$
$| 7 - 4x | = 5x$
$| -7 + 4x | = -7x$

$| 3 + 8x | = 8 + 4x$
$| 5 - 9x | = 10 + 10x$

Inecuaciones Lineales

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real y de forma compresiva como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

$x + 6 < 5$
$x + 1 < 7$
$x - 2 > 4$
$x - 3 > 8$

$11 - x \geq 54$
$25 - x \geq 12$
$32 - x \leq 71$
$41 - x \leq 96$

$2x + 6 < 15$
$8x + 1 < 27$
$32 - 5x \leq -71$
$41 - 6x \leq -96$

$25 < x + 102 < 300$
$45 < x + 65 < 78$
$78 \geq x + 45 > -255$
$12 \geq x + 20 > -39$

$45 < -x + 10 \leq 50$
$10 < -x + 2 \leq 21$
$-78 \geq 2x + 45 \geq -255$
$-12 \geq 5x + 20 \geq -39$

$45 \leq 4 - 3x \leq 50$
$10 \leq 5 - 5x \leq 21$

Inecuaciones con Valor Abosluto

$|x + 3| < 8$
$|x + 2| < 4$
$|x - 7| > 1+x$
$|x - 6| > 5-x$

$|41 - x| \geq x+96$
$|32 - x| \geq x-71$
$|25 - x| \leq 12x+4$
$|11 - x| \leq 54x+3$

$|6x + 3| < 88+45x$
$|10x + 2| > 74+13x$
$|25 - 7x| \leq 12x-12$
$|11 - 8x| \geq 23x-54$

Inecuaciones de grado mayor que dos

Calcule los valores de $x$ que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real, de forma comprensiva y como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones. Factorice los polinomios utilizando el método que sea más adecuado.

$x \left(x + 9\right) > 0$
$\left(x - 5\right) \left(x - 1\right) \leq 0$
$x \left(x - 4\right) \left(x + 4\right) < 0$
$\left(x - 5\right) \left(x - 3\right) \left(x + 5\right) > 0$

$\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 5\right) > 0$
$\left(x - 2\right) \left(x + 7\right) \left(x + 9\right)^{2} \geq 0$
$x^{2} - 9 x < 0$
$x^{2} - 5 x + 4 > 0$

$x^{3} - x^{2} - 20 x < 0$
$x^{3} - 12 x^{2} - x + 252 \geq 0$
$x^{4} + x^{3} - 24 x^{2} + 36 x \geq 0$
$x^{4} - 11 x^{3} - x^{2} + 275 x - 600 \leq 0$

Aplicaciones a la Economía

Utilidad

Una charcutería produce carne de res para el cual el costo variable por unidad es de 14 Ps. y el costo fijo de 67782 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 92 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 66936 Ps.
Una panadería produce pan canilla para el cual el costo variable por unidad es de 29 Ps. y el costo fijo de 68046 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 43 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 50077 Ps.
Una Fábrica de Cerámica produce porcelanato para el cual el costo variable por unidad es de 19 Ps. y el costo fijo de 63023 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 63 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 83250 Ps.
Una confitería produce chupetas de cereza para el cual el costo variable por unidad es de 21 Ps. y el costo fijo de 98393 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 33 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 90355 Ps.

Precio

Una tienda de deportes produce zapatos para correr y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 11 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de deportes fijará el precio de cada unidad de zapatos para correr previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 2% durante una venta y aún obtener una ganancia de 68% sobre el costo?
Una compañía de telefónica produce teléfonos Android y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 19 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la compañía de telefónica fijará el precio de cada unidad de teléfonos Android previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 5% durante una venta y aún obtener una ganancia de 99% sobre el costo?
Una tienda de electrodomésticos produce licuadoras y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 36 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de electrodomésticos fijará el precio de cada unidad de licuadoras previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 27% durante una venta y aún obtener una ganancia de 78% sobre el costo?
Una confitería produce caramelos de anís y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 31 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la confitería fijará el precio de cada unidad de caramelos de anís previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 33% durante una venta y aún obtener una ganancia de 51% sobre el costo?

Inversión

Se invirtió un total de 14205 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 2%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 486 Ps.?
Se invirtió un total de 34120 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 9%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 321 Ps.?
Se invirtió un total de 28526 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 3% y 6%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 801 Ps.?
Se invirtió un total de 30472 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 6% y 1%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 155 Ps.?

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ecuaciones Diferenciales con Problemas de valor inicial

Teorema (De existencia y unicidad)

Ejemplos

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ecuaciones diferenciales con Problemas de condiciones en la frontera

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Comparte

El Modelo de Crecimiento Poblacional

Ejemplo

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Exemples

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Exemple 5

Exemple 6

Exemple 7

Comparte

Operaciones Básicas

Potencias y Radicales

Logaritmos

Expresiones Algebraicas

Comparte

Ecuaciones Lineales

Ecuaciones con Valor Absoluto

Inecuaciones Lineales

Inecuaciones con Valor Abosluto

Inecuaciones de grado mayor que dos

Aplicaciones a la Economía

Utilidad

Precio

Inversión

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