El trinomio cuadrado perfecto

29.02.202007.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

De los productos notables, que son casos particulares de la propiedad distributiva, el más importante es el que nos da como resultado el trinomio cuadrado perfecto y establece que, si $a$ y $b$ son dos números reales, el cuadrado de la suma de ellos dos es igual al primero al cuadrado más dos veces el producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir,

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Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva cuando multiplicamos la suma de dos números por esa misma suma, veamos entonces,

De igual forma, si $a$ y $b$ son dos números reales, el cuadrado de la resta entre ellos dos es igual al primero al cuadrado menos dos veces el producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir,

Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva cuando multiplicamos la resta de dos números por esa misma resta, veamos entonces,

Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas pues no siempre podremos efectuar la suma que se encuentra dentro de los paréntesis, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta operación:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(3 + 2)^2$ . Sumamos los dos elementos dentro del paréntesis y elevamos al cuadrado de la siguiente manera:

$(3 + 2)^2$
$\ =\ 5^2$
$\ =\ 25$

Ejemplo 2

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(3 + \sqrt{2})^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cuadrada de dos, por lo tanto no se puede sumar con tres.

$(3 + \sqrt{2})^2$
$\ =\ 3^2 + 2(3)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2$
$\ =\ 9 + 6\sqrt{2} + 2$
$\ =\ 11+6\sqrt{2}$

Ejemplo 3

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(\sqrt[3]{6} - 4)^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es la raíz cúbica de seis, por lo tanto no se puede restar con cuatro.

$(\sqrt[3]{6} - 4)^2$
$\ =\ (\sqrt[3]{6})^2 -2(\sqrt[3]{6})(4) + 4^2$
$\ =\ (\sqrt[3]{6})^2 -8\sqrt[3]{6} +16$

Ejemplo 4

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(x+7)^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita, por lo tanto no se puede sumar con siete.

$(x+7)^2$
$\ =\ x^2 + 2(x)(7) + 7^2$
$\ =\ x^2 +14x + 49$

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Ejemplo 5

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(2x-8)^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es una incógnita multiplicada por dos, por lo tanto no se puede restar con ocho.

$(2x-8)^2$
$\ =\ (2x)^2 - 2(2x)(8) + 8^2$
$\ =\ 4x^2 - 32x + 64$

Ejemplo 6

Aplique el producto notable para expandir la expresión $(x^2 + x^5)^2$ . Notemos que uno de los sumandos involucrados es equis al cuadrado y el otro es equis elevado a la cinco, por lo tanto no se pueden sumar.

$(x^2 + x^5)^2$
$\ =\ (x^2)^2 + 2(x^2)(x^5) + (x^5)^2$
$\ =\ x^4 + 2x^7 + x^{10}$

¿Cuál es el resultado de 8÷2(2+2)?

25.01.202007.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

En el 2019 se viralizó un debate sobre cual es el resultado de la operación 8÷2(2+2), pensé que había quedado en el olvido y que ya se había aclarado la situación. Sin embargo, me preguntaron cual era el resultado de esta operación citándome en un tweet y, aún hoy, las personas que respondían no se decidían entre 1 y 16.

Es necesario entender que al considerar operaciones mixtas, hay una jerarquía establecida entre las operaciones. Primero se deben efectuar todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último todas las restas. También hay que considerar que si se presentan signos de agrupación hay que efectuar primero lo contenido entre paréntesis (), luego corchetes [] y luego llaves {}; hay que efectuar las operaciones que se encuentran dentro de ellos considerando la jerarquía original.

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¿Las calculadoras mienten?

Al calcular esta operación en una calculadora, los resultados diferirán dependiendo de como han sido programadas pues algunas han sido programadas para priorizar la jerarquía entre las operaciones y otras han sido programadas para priorizar el orden de aparición de las operaciones.

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Escribir bien…

En mi opinión, el problema con ese caso específico es que la persona que lo planteó originalmente no tiene la más mínima de cómo se usan los signos de agrupación pues cuando se plantean operaciones entre números, éstas siempre provienen de un caso real, así que ese tipo de problemas siempre estarán bien planteados si se escriben correctamente. La ambigüedad en las matemáticas no debe tener cabida.

Esa operación tal como está definida es como plantear una pregunta sin signos de interrogación, comas, puntos o acentos .

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¿Cómo plantear el problema?

Caso 1

Supongamos que usted trabaja para una agencia de festejos y en una fiesta le ha correspondido repartir ocho trozos de torta entre un par de niños, esta situación se describe con la operación 8÷2. Suponga además que usted debe hacer esto dos veces más, entonces esta situación la describe con la siguiente operación (8÷2)×2. Si nuevamente le indican qué debe hacer esto dos veces más, entonces al final usted describirá esto con la siguiente operación

(8÷2)×(2+2)
= 4×4
= 16

Esto quiere decir que al final deberá repartir 16 trozos de torta.

Caso 2

Suponga nuevamente que usted trabaja en una agencia de festejos y en una fiesta le ha correspondido repartir ocho trozos de torta entre un par de niños, esta situación se describe con la operación 8÷2. Sin embargo, le indican que ahora no es un par de niños si no que son dos pares de niños, esta situación se describe con la operación 8÷(2×2). Por último, le indican que han llegado dos pares de niños más, entonces al final usted describirá esto con la siguiente operación

8÷[2×(2+2)]
= 8÷[2×4]
= 8÷8
= 1

Esto quiere decir que al final deberá repartir un pedazo de torta a cada niño.

En conclusión…

Considerando estos dos casos, notamos que cada uno tiene su propio planteamiento e interpretación. Siempre especificando cuales operaciones se han agrupado y siempre especificando qué operaciones se deben efectuar primero. Sin embargo, el problema original se resume en el siguiente tweet:

Los números enteros y sus operaciones

31.10.201911.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

¿Qué son los números enteros?

Considere el número 4 y el número 7, estos dos son números naturales y por lo tanto ambos representan una cantidad de objetos. Suponga que se tiene una caja con 7 juguetes y se sacan 4 juguetes de ella. La caja quedaría con 3 juguetes. Ahora bien, ¿qué pasaría si se tiene una caja con 4 juguetes y queremos sacar 4 juguetes? ¿O si se quieren sacar 7 juguetes? ¿Puede el resultado de esta situación representarse con un número natural?

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Respondamos la primera pregunta, si se tienen 4 juguetes en una caja y se sacan 4, no queda ningún juguete en la caja. Sin embargo, no conocemos ningún número natural que podamos corresponder con esta situación, así que definiremos un nuevo número llamado cero que denotaremos por $0$ y nos representará ninguna cantidad.

El número cero permite definir una nueva gama de números, de la siguiente forma: Si $a$ es un número natural entonces definimos un nuevo número $-a$ como su opuesto aditivo, que tendrá la siguiente propiedad:

$a + (-a) = (-a) + a = 0$

Nota: Podemos decir, además, que $a$ es el opuesto aditivo de $-a$ .

Sentando base en estos nuevos números podemos definir una nueva operación, si consideramos dos números naturales $a$ y $b$ , entonces al sumar $a$ con el opuesto aditivo de $b$ , la operación $a+(-b)$ se conoce como la resta y la escribimos de la siguiente forma:

$a-b$

Definiremos el conjunto de los Números Enteros como un nuevo conjunto que contiene a todos los números naturales junto con el número $0$ y el opuesto aditivo de cada número natural. Lo denotaremos por $\mathbb{Z}$ y lo expresamos extensivamente así:

$\mathbb{Z} = \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$

Este conjunto continúa de manera indefinida siguiendo la secuencia de los números naturales $1,2,3,4, \ldots$ y además, siguiendo la secuencia de los opuestos aditivos de los números naturales $-1,-2,-3,-4, \ldots$ , es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva.

También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta. Los números naturales se escriben hacia la derecha y sus opuestos aditivos se escriben hacia la izquierda, el cero se escribe el medio de ambos, así

Representación gráfica de los números enteros | totumat.com

Es importante acotar que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir,

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$

Operaciones entre Números Enteros

Al efectuar operaciones entre números naturales tales como la suma o el producto, es poco el cuidado que tenemos sobre el signo pues el resultado siempre es positivo. Sin embargo, la resta de números naturales puede presentar algunos problemas, es por esto que hemos definido los números enteros, así que veamos como se efectúan.

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Suma y Resta de Números Enteros

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

suma de números enteros tres más dos es igual a cinco | totumat.com — tres más dos es igual a cinco

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

resta de números enteros dos menos tres es igual a menos uno | totumat.com — dos menos tres es igual a menos uno

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman y se mantiene el signo.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

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