Etiqueta: Aplicaciones en la Economía

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ley de costos e ingresos (Caso Cuadrático)

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Considerando la función de costos totales C y la ecuación lineal de ingresos totales I indicados; responda la pregunta planteada, calcule el punto de equilibrio entre ellas dos e interprete el resultado..

  1. C(q) = 0.33 q^{2} + 2.211 q + 1799 \text{ e } I(q) = 7.0 q^{2} + 47.11 q, ¿cuáles son los costos de producir 65 unidades del artículo?
  2. C(q) = 0.27 q^{2} + 1.809 q + 1102 \text{ e } I(q) = 0.9 q^{2} + 6.057 q, ¿cuántas unidades se deben producir y vender para que los utilidades sean iguales a 1852.73?
  3. C(q) = 0.07 q^{2} + 0.469 q + 729 \text{ e } I(q) = 0.67 q^{2} + 4.5091 q, ¿cuántas unidades se deben producir para que los costos sean iguales a 2023.65?
  4. C(q) = 0.31 q^{2} + 2.077 q + 1859 \text{ e } I(q) = 1.12 q^{2} + 7.5376 q, ¿cuáles son los ingresos de vender 60 unidades del artículo?
  1. C(q) = 1.0 q^{2} + 6.7 q + 1534 \text{ e } I(q) = 11.0 q^{2} + 74.03 q, ¿cuáles son los ingresos de vender 58 unidades del artículo?
  2. C(q) = 0.09 q^{2} + 0.603 q + 1042 \text{ e } I(q) = 1.0 q^{2} + 6.73 q, ¿cuáles son los ingresos de vender 78 unidades del artículo?
  3. C(q) = 0.77 q^{2} + 5.159 q + 254 \text{ e } I(q) = 1.88 q^{2} + 12.6524 q, ¿cuántas unidades se deben producir para que los costos sean iguales a 2107.17?
  4. C(q) = 0.3 q^{2} + 2.01 q + 325 \text{ e } I(q) = 1.6 q^{2} + 10.768 q, ¿cuáles son los ingresos de vender 74 unidades del artículo?
  1. C(q) = 0.43 q^{2} + 2.881 q + 999 \text{ e } I(q) = 1.22 q^{2} + 8.2106 q, ¿cuántas unidades se deben vender para que los ingresos sean iguales a 3361.01?
  2. C(q) = 0.38 q^{2} + 2.546 q + 1051 \text{ e } I(q) = 1.25 q^{2} + 8.4125 q, ¿cuáles son los utilidades de producir y vender 71 unidades del artículo?
  3. C(q) = 0.27 q^{2} + 1.809 q + 1649 \text{ e } I(q) = 1.33 q^{2} + 8.9509 q, ¿cuántas unidades se deben producir y vender para que los utilidades sean iguales a 7591.9?
  4. C(q) = 0.3 q^{2} + 2.01 q + 1733 \text{ e } I(q) = 1.6 q^{2} + 10.768 q, ¿cuáles son los costos de producir 66 unidades del artículo?
  1. C(q) = 0.9 q^{2} + 6.03 q + 322 \text{ e } I(q) = 2.8 q^{2} + 18.844 q, ¿cuántas unidades se deben producir para que los costos sean iguales a 966.28?
  2. C(q) = 1.17 q^{2} + 7.839 q + 698 \text{ e } I(q) = 12.0 q^{2} + 80.76 q, ¿cuántas unidades se deben producir y vender para que los utilidades sean iguales a 2809.29?
  3. C(q) = 0.13 q^{2} + 0.871 q + 1764 \text{ e } I(q) = 0.7 q^{2} + 4.711 q, ¿cuántas unidades se deben producir y vender para que los utilidades sean iguales a 17343.75?
  4. C(q) = 0.67 q^{2} + 4.489 q + 1776 \text{ e } I(q) = 2.75 q^{2} + 18.5075 q, ¿cuáles son los ingresos de vender 72 unidades del artículo?
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ley de costos e ingresos (Caso Lineal)

Anthonny Arias-García1 comentario
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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Considerando la ecuación lineal de costos totales C y la ecuación lineal de ingresos totales I, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia. Grafique ambas rectas, señalando el punto de equilibrio.

  1. C : p = \frac{4}{5}q+62 \text{ e } I : p = 66q
  2. C : p = 7q+52 \text{ e } I : p = \frac{292}{3}q
  3. C : p = \frac{17}{6}q+32 \text{ e } I : p = \frac{98}{3}q
  4. C : p = \frac{23}{4}q+26 \text{ e } I : p = 36q
  1. C : p = \frac{1}{10}q+31 \text{ e } I : p = \frac{48}{5}q
  2. C : p = \frac{11}{2}q+19 \text{ e } I : p = \frac{189}{8}q
  3. C : p = 5q+59 \text{ e } I : p = 84q
  4. C : p = \frac{9}{2}q+13 \text{ e } I : p = \frac{80}{3}q
  1. C : p = \frac{69}{4}q+26 \text{ e } I : p = \frac{475}{4}q
  2. C : p = \frac{54}{5}q+6 \text{ e } I : p = 48q
  3. C : p = \frac{23}{3}q+29 \text{ e } I : p = 52q
  4. C : p = \frac{57}{4}q+13 \text{ e } I : p = 35q
  1. C : p = \frac{21}{8}q+21 \text{ e } I : p = \frac{105}{4}q
  2. C : p = \frac{7}{3}q+43 \text{ e } I : p = \frac{128}{9}q
  3. C : p = \frac{23}{9}q+51 \text{ e } I : p = \frac{74}{3}q
  4. C : p = 5q+78 \text{ e } I : p = 62q
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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ley de demanda y oferta

Anthonny Arias-García1 comentario
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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Considerando la ecuación de demanda l_d y la ecuación de oferta l_o, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes. Grafique ambas rectas, señalando el punto de equilibrio y las áreas que representan los excedentes.

  1. l_{o} : p = \frac{137}{11}q+58 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{193}{11}q+232. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 8 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = \frac{28}{11}q+64 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{169}{11}q+192. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 10 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = 17q+36 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{1}{2}q+72. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 2 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = 71q+80 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{229}{4}q+320. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 8 Ps. por unidad.
  1. l_{o} : p = \frac{57}{2}q+17 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{7}{2}q+68. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 4 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = \frac{167}{8}q+64 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{179}{8}q+256. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 1 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = \frac{46}{11}q+82 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{296}{11}q+328. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 5 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = \frac{26}{9}q+12 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{17}{9}q+36. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 7 Ps. por unidad.
  1. l_{o} : p = \frac{88}{7}q+60 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{226}{7}q+300. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 4 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = 37q+48 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{53}{11}q+144. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 8 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = \frac{107}{9}q+69 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{119}{9}q+207. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 5 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = \frac{227}{4}q+49 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{29}{4}q+98. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 7 Ps. por unidad.
  1. l_{o} : p = \frac{247}{3}q+33 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{29}{3}q+99. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 4 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = \frac{141}{7}q+33 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{45}{7}q+132. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 4 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = \frac{134}{9}q+91 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{76}{3}q+273. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 2 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = \frac{25}{3}q+15 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{35}{3}q+45. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 1 Ps. por unidad.
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Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad

Anthonny Arias-García6 comentarios

Uno de los propósitos de estudiar funciones de ingreso, costo y utilidad es de obtener los mejores resultados posibles, a esto se le conoce como optimización, sin embargo, debemos primero aclarar a qué nos referimos con los mejores resultados posibles.

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Al definir funciones de Ingreso I(q), Costo C(q) y Utilidad U(q); definamos cuales son los valores de q para los cuales estas funciones alcanzan su valor óptimo:

  • I(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor I(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los ingresos más altos.
  • C(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor C(q_0) es un mínimo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los costos más bajos.
  • U(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor U(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular las utilidades más altas.

De esta forma, es posible optimizar usando las herramientas que nos proveen las derivadas para calcular máximos y mínimos. Veamos en los siguientes ejemplos como optimizar funciones de ingreso, costo y utilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las funciones que miden el costo e ingreso por la producción venta de q lavadoras, definidas de la siguiente forma:

C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3

I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2

U(q) = I(q) - C(q)

Suponiendo que la producción tiene un tope de 20 lavadoras. Determine los ingresos óptimos, los costos óptimos y las utilidades óptimas.

Tomando en cuenta que la producción tiene un tope de 20 lavadoras, dichas funciones están definidas en el intervalo [0,20]. Entonces, debemos calcular los extremos relativos y los valores de la función en los extremos del intervalo [0,20], para comparar y determinar los extremos absolutos.

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Empezando por la función de costos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

C'(q) = \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de costos C'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

C''(q) = \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de costos C''(q) en q=0 y obtenemos que

C''(0) = \frac{13800}{5833} \cdot (0) = 0

A partir de este resultado concluimos que la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

C(0) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \approx 0.4626

C(20) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \approx 3154.92

En vista de que C(0) es el menor de ambos valores, concluimos que la función de costos alcanza un mínimo absoluto en q=0, es decir, los costos más bajos son de C(0) = 0.4626 que es precisamente cuando no hay producción.

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Continuamos con la función de ingresos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

I'(q) = \frac{72}{13} \cdot q

La derivada de la función de ingresos I'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

I''(q) = \frac{72}{13}

Evaluamos la segunda derivada de la función de ingresos I''(q) en q=0 y obtenemos que

I''(0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

I(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 \approx 4.82

I(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 \approx 1112.52

En vista de que I(20) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de ingresos alcanza un máximo absoluto en q=20, es decir, los ingresos más altos son de I(20) = 1112.52 que es precisamente cuando se llega al tope de la producción.

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Finalizamos con la función de utilidades, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

U'(q) = \frac{72}{13} \cdot q - \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de utilidades U'(q) es igual a cero cuando q=0 o cuando q=4.68, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

U''(q) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de utilidades U''(q) en q=0 y en q=4.68, obtenemos que

U''(0) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0.

U''(4.68) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (4.68) \approx -5.5337

Al ser -5.5337 un valor negativo, concluimos que la función alcanza un máximo relativo en q=4.68. Evaluamos la función de utilidades en este valor pues es de nuestro interés:

U(4.68) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (4.68)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (4.68)^3 \right) \approx 24.60

Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

U(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \right) \approx 4.3574

U(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \right) \approx -2042.4

En vista de que U(4.68) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de utilidades alcanza un máximo absoluto en q=4.68, es decir, las utilidades más altas son de U(4.68) = 24.60 que es cuando se producen y se venden aproximadamente 5 lavadoras.

Interpretación económica de la derivada

Anthonny Arias-García2 comentarios

Cualquier investigación en el ámbito cuantitativo de la economía se basará en la comparación de datos y contraste de la información. Al definir modelos matemáticos en la economía a partir de funciones, una herramienta ampliamente usada para comparar datos es el estudio de incrementos.

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Incrementos

Consideremos un ejemplo particular para ilustrar esta idea, digamos que en una fábrica de lavadoras, durante la primera semana del año se produjeron 12 lavadoras y en la segunda semana del año se produjeron 18 lavadoras, es decir, hubo un incremento de 6 unidades en la producción de lavadoras. Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar 18 menos 12, esto es,

18 - 12 = 6

De forma general, si consideramos dos variables x_1 < x_2, determinamos el incremento entre estas dos variables calculando la siguiente resta:

x_2 - x_ 1

Así, medimos el incremento restando el mayor valor menos el menor valor y es importante notar que siempre los incrementos al ser una medida, son positivas. Sin embargo, al considerar incrementos de funciones, este no será necesariamente el caso.

Supongamos que al considerar una función C que mide el costo de producir lavadoras, esta función nos indica que el costo de producir 12 lavadoras es de 800 Ps. y el costo de producir 18 lavadoras es de 2300 Ps., entonces hubo un incremento positivo en los costos de 1500 Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 2300; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 800; esto es

C(18) - C(12) = 2300 - 800 = 1500

Supongamos que al considerar una función I que mide el ingreso posterior a la venta lavadoras, esta función nos indica que los ingresos por la venta de 12 lavadoras es de 700 Ps. y los ingresos de producir 18 lavadoras es de 900 Ps., entonces hubo un incremento positivo en los ingresos de 200 Ps.

Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 900; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 700; esto es

I(18) - I(12) = 700 - 900 = 200

Por otra parte, supongamos que al considerar una función U que mide la utilidad posterior a la producción y venta de lavadoras, esta función nos indica que la utilidad de producir y vender 12 lavadoras es de 1500 Ps. y el costo de producir y vender 18 lavadoras es de 1400 Ps., entonces hubo un incremento negativo en la utilidad de 100 Ps. Este valor negativo en el incremento de las utilidades se conoce como una pérdida.

Formalmente, para calcular este decremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 1400; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 1300; esto es

U(18) - U(12) = 1500 - 1400 = -100

Así, podemos ver que los incrementos de funciones pueden tomar valores tanto negativos como positivos y más aún, dada una función f(q), podemos determinar una forma general para calcular dichos incrementos, pues al considerar una cantidad q y si esta cantidad se incrementa a q+h, con h >0, entonces, podemos calcular el incremento de la función f(q) efectuando la siguiente operación:

f(q+h) - f(q)

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Análisis Marginal

Suponga que en una fábrica de lavadoras se ha determinado que el costo de producir q lavadoras está determinado por la función C(q), si la cantidad de lavadoras producidas se ha incrementado a q+h, podemos calcular el incremento de los costos usando la siguiente fórmula:

C(q+h) - C(q)

A partir de este incremento, es posible determinar la razón de cambio calculando el cociente entre el incremento de los costos y el incremento de las lavadoras producidas, es decir,

\frac{C(q+h) - C(q)}{(q+h) - q} = \frac{C(q+h) - C(q)}{h}

Pero esta forma de calcular la razón de cambio, resulta imprecisa si la función que define los costos no es una función lineal. Hemos visto que aplicando los resultados del cálculo infinitesimal, podemos refinar este resultado considerando el valor más pequeño posible para h, esto es,

\lim_{h \to 0} \frac{C(q+h) - C(q)}{h}

Y observando esta expresión, notamos inmediatamente que esta es justamente la derivada de la función C(q) respecto a la variable q, es decir,

\frac{dC}{dq}

Pero es importante que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿Cuál es es dicho valor de h más pequeño posible? En otras palabras, ¿Cuál es la menor cantidad de lavadoras adicionales se pueden fabricar? ¿Cinco lavadoras, dos lavadoras, media lavadora, un pedacito de lavadora? La respuesta es: una lavadora, pues la menor cantidad de lavadoras adicionales que se pueden producir es exactamente una.

De esta forma, si h=1, entonces el límite que define la razón de cambio se reduce a la siguiente expresión:

\frac{dC}{dq} = \lim_{h \to 0} \frac{C(q+h) - C(q)}{h} \approx \frac{C(q+1) - C(q)}{1} = C(q+1) - C(q)

La derivada de la función de costos se conoce como la función de Costo Marginal y al ser esta aproximadamente igual C(q+1) - C(q), podemos concluir que mide el incremento en los costos cuando se produce una unidad adicional sobre q.

Este mismo razonamiento se puede llevar a cabo en el estudio de las funciones de Ingreso y Utilidad, y de esta forma, se pueden definir las funciones de Ingreso Marginal y Utilidad Marginal. Veamos en los siguientes ejemplos como utilizar estas funciones para hacer análisis marginal.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando una función que mide el costo por la producción de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3

Evalúe la función de costo marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

C'(q) = \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot q^2

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

C'(18) = \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot (18)^2 = \frac{3312}{13} \approx 383.29

De esta forma, concluimos que si se están produciendo 18 lavadoras, entonces la producción de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, incrementará los costos en aproximadamente 383.29 Ps.

Ejemplo 2

Considerando una función que mide el ingreso por la venta de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2

Evalúe la función de ingreso marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

I'(q) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot q

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

I'(18) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot (18) = \frac{1296}{13} \approx 100

De esta forma, concluimos que si se están vendiendo 18 lavadoras, entonces la venta de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, incrementará los ingresos en aproximadamente 100 Ps.

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Ejemplo 3

Considerando una función que mide la utilidad por la producción y venta de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

U(q) = \frac{218860}{50141} + \frac{36}{13} \cdot q^2 - \frac{2300}{5833} \cdot q^3

Evalúe la función de utilidad marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

U'(q) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot q - \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot q^2

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

U'(18) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot (18) - \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot (18)^2 \approx -283.57

De esta forma, concluimos que si se están produciendo y vendiendo 18 lavadoras, entonces la producción y venta de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, generará una pérdida de aproximadamente 283.57 Ps.