The Notable Product

09.10.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

The remarkable product is a particular case of the distributive property that gives us the perfect square trinomial as a result and establishes that, if $a$ and $b$ are two real numbers, the square of the sum of them is equal to the first squared plus twice the product of the first times the second plus the second squared, that is,

This equality can be deduced by performing the distributive property when we multiply the sum of two numbers by that same sum, let’s see then,

Similarly, if $a$ and $b$ are two real numbers, the square of the subtraction between the two is equal to the first squared minus twice the product of the first times the second plus the second squared, that is,

This equality can be deduced by performing the distributive property when we multiply the substraction of two numbers by that same substraction, let’s see then,

This type of expression is often found in the development of algebraic operations because we cannot always carry out the sum that is inside the parentheses, let’s see in the following examples how to apply this operation:

Ejemplos

Ejemplo 1

Apply the notable product to expand the expression $(3 + 2)^2$ . We add the two elements within the parentheses and square as follows:

$(3 + 2)^2$
$= 5^2$
$= 25$

Ejemplo 2

Apply the notable product to expand the expression $(3 + \sqrt{2})^2$ . Note that one of the addends involved is the square root of two, therefore it cannot be added with three.

$(3 + sqrt{2})^2$
$= 3^2 + 2(3)(sqrt{2}) + (sqrt{2})^2$
$= 9 + 6sqrt{2} + 2$
$= 11+6sqrt{2}$

Ejemplo 3

Apply the notable product to expand the expression $(\sqrt[3]{6} - 4)^2$ . Note that one of the addends involved is the cube root of six, therefore it cannot be subtracted with four.

$(sqrt[3]{6} - 4)^2$
$= (sqrt[3]{6})^2 -2(sqrt[3]{6})(4) + 4^2$
$= (sqrt[3]{6})^2 -8sqrt[3]{6} +16$

Ejemplo 4

Apply the notable product to expand the expression $(x + 7)^2$ . Note that one of the addends involved is an unknown, therefore it cannot be added with seven.

$(x+7)^2$
$= x^2 + 2(x)(7) + 7^2$
$= x^2 +14x + 49$

Ejemplo 5

Apply the notable product to expand the expression $(2x-8)^2$ . Note that one of the addends involved is an unknown multiplied by two, therefore it cannot be subtracted with eight.

$(2x-8)^2$
$= (2x)^2 - 2(2x)(8) + 8^2$
$= 4x^2 - 32x + 64$

Ejemplo 6

Apply the notable product to expand the expression $(x^2 + x^5)^2$ . Note that one of the addends involved is x squared and the other is x raised to five, therefore they cannot be added.

$(x^2 + x^5)^2$
$= (x^2)^2 + 2(x^2)(x^5) + (x^5)^2$
$= x^4 + 2x^7 + x^{10}$

Distributivité

02.10.202004.10.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Lorsque nous additionnons des nombres réels, nous avons la liberté d’associer légèrement les nombres impliqués. De la même manière, si nous multiplions les nombres réels, il faut cependant être prudent lorsque nous rencontrons des opérations mixtes, c’est-à-dire des sommes et des produits à la fois. Ensuite, nous verrons une opération qui nous permet d’exploiter des sommes et des produits en même temps :

La distributivité indique que, si un nombre multiplie la somme de deux nombres, alors le facteur impliqué est distribué entre chacun des opérandes. Formellement, si $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels, alors

Nous pouvons également appliquer cette opération si une soustraction est impliquée au lieu d’une somme entre parenthèses, comme suit :

Nous remarquons que si nous observons cette égalité de droite à gauche, nous prenons le facteur commun qui existe dans les deux termes de la somme et nous le retirons pour le multiplier :

$a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)$

La distributivité est donc l’une des propriétés les plus utilisées dans le calcul des opérations mixtes et à partir d’elles, nous pouvons en déduire certains cas pour faciliter la simplification des expressions mathématiques. Voyons quelques exemples pour bien comprendre cette propriété :

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Exemples

Exemple 1

Utilisez la distributivité pour développer l’expression $2 \cdot (1 + 6)$ . Dans ce cas, il n’est pas nécessaire d’utiliser la distributivité puisque nous pouvons additionner les nombres qui sont entre parenthèses puis effectuer l’opération de multiplication comme suit :

$2 \cdot (1 + 6) = 2 \cdot 7 = 14$

Exemple 2

Utilisez la distributivité pour développer l’expression $2 \cdot \left(1 + \sqrt{6} \right)$ . Notez que l’un des opérandes de la somme impliqués est la racine carrée de 6, donc on ne peut pas tout simplement l’additionner avec 1, nous distribuons le facteur impliqué à la place

$2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2 \sqrt{6}$

Exemple 3

Utilisez la distributivité pour développer l’expression $5 \cdot \left (x - \sqrt{10} \right)$ . Notez que l’un des opérandes de la somme impliqués est la racine carrée de 10 et l’autre est une inconnu, donc nous ne pouvons pas les soustraire, nous distribuons donc le facteur impliqué

$5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right) = 5 \cdot x - 5 \cdot \sqrt{10} = 5x - 5\sqrt{10}$

Exemple 4

Utilisez la distributivité pour développer l’expression $x \cdot \left (x + x^2 \right)$ . Notez que l’un des opérandes impliqués est une inconnue et l’autre est l’inconnue carrée, donc nous ne pouvons pas tout simplement les additionner, puis nous distribuons le facteur impliqué

$x \cdot \left( x + x^2 \right) = x \cdot x + x \cdot x^2 = x^2 + x^3$

Exemple 5

Utilisez la distributivité pour retirer le facteur commun de l’expression $18 + 3 \sqrt{7}$ . Notez que $18 = 3 \cdot 6$ , alors,

$18 + 3\sqrt{7} = 3 \cdot 6 + 3 \sqrt{7} = 3 \cdot \left( 6 + \sqrt{7} \right)$

Exemple 6

Utilisez la distributivité pour supprimer le facteur commun de l’expression $x^4 - 8x$ . Notez que l’un des opérandes impliqués est la puissance quatrième de l’inconnue et l’autre est 8 fois l’inconnue, donc nous ne pouvons pas les soustraire, alors

$x^4 - 8x = x \cdot x^3 - x \cdot 8 = x \cdot \left( x^3 - 8 \right)$

Exemple 7

Utilisez la distributivité pour prendre le facteur commun de l’expression $12x^7 + 15x^4$ . Nous ne pouvons pas additionner ces deux éléments, donc

$12x^7 + 15x^4 = 3 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot x^3 + 3 \cdot 5 \cdot x^4 = 3 x^4 \cdot \left( 4x^3 + 5 \right)$

The Distributive Property

30.09.202004.10.2020 Anthonny Arias-García3 comentarios

When adding real numbers we have the freedom to associate the numbers involved smoothly, the same happens if we are multiplying real numbers, however, we must be cautious when we come across mixed operations, that is, sums and products at the same time. We will see a property that allows us to operate sums and products at the same time:

The distributive property states that if a number multiplies the sum of two numbers, then the factor involved is distributed among each of the addends. Formally, if $a$ , $b$ and $c$ are real numbers, then

We can also apply this property if a subtraction is involved instead of an addition within the parentheses, as follows:

We notice that if we observe this equality from right to left, we are taking the common factor that exists in both addends and we are taking it out to multiply:

$a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)$

This is one of the most used properties in the calculation of mixed operations and from them, some cases are deduced that facilitate the simplification of mathematical expressions. Let’s see some examples to understand this property well:

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Examples

Example 1

Use the distributive property to expand the expression $2 \cdot (1 + 6)$ . In this case, it is not necessary to use the distributive property since we can add the numbers that are inside the parentheses and then multiply in the following way:

$2 \cdot (1 + 6) = 2 \cdot 7 = 14$

Example 2

Use the distributive property to expand the expression $2 \cdot \left (1 + \sqrt {6} \right)$ . Note that one of the addends involved is the square root of 6, therefore it cannot be added with 1, so we distribute the factor involved

$2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2 \sqrt{6}$

Example 3

Use the distributive property to expand the expression $5 \cdot \left (x - \sqrt {10} \right)$ . Note that one of the addends involved is the square root of 10 and the other is an unknown, therefore they cannot be subtracted, so we distribute the factor involved

$5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right) = 5 \cdot x - 5 \cdot \sqrt{10} = 5x - 5\sqrt{10}$

Example 4

Use the distributive property to expand the expression $x \cdot \left (x + x^2 \right)$ . Note that one of the addends involved is an unknown and the other is an unknown squared, therefore they cannot be added, then we distribute the factor involved

$x \cdot \left( x + x^2 \right) = x \cdot x + x \cdot x^2 = x^2 + x^3$

Example 5

Use the distributive property to take out the common factor of the expression $18 + 3 \sqrt {7}$ . Note that $18 = 3 \cdot 6$ , then,

$18 + 3\sqrt{7} = 3 \cdot 6 + 3 \sqrt{7} = 3 \cdot \left( 6 + \sqrt{7} \right)$

Example 6

Use the distributive property to take out the common factor of the expression $x^4 - 8x$ . Note that one of the addends involved is an unknown raised to four and the other is 8 times said unknown, therefore they cannot be subtracted, then

$x^4 - 8x = x \cdot x^3 - x \cdot 8 = x \cdot \left( x^3 - 8 \right)$

Example 7

Use the distributive property to take the common factor of the expression $12x^7 + 15x^4$ . These two elements cannot be added, so

$12x^7 + 15x^4 = 3 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot x^3 + 3 \cdot 5 \cdot x^4 = 3 x^4 \cdot \left( 4x^3 + 5 \right)$

¡Feliz año nuevo!

31.12.2019 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

¿Qué es totumat?

20.10.201909.12.2019 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

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