Al considerar funciones elementales, podemos determinar su integral recurriendo a una tabla de integrales, sin embargo, al toparse con operaciones de suma y resta entre dos funciones elementales, es necesario considerar algunas de las propiedades que nos permiten calcular la integral de funciones.

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Operaciones entre Integrales

Empezaremos estudiando la integral de funciones generadas a partir de algunas operaciones básicas entre funciones elementales, particularmente sobre la suma, la resta y la multiplicación por un escalar. Formalmente, Sean $f(x)$ una función y $k$ un escalar, entonces tenemos que

Integral de la Suma

$\displaystyle \int \left[ f(x) + g(x) \right] \ dx = \int f (x) \ dx + \int g (x) \ dx$

Es decir, la integral de la suma de funciones es igual a la suma de la integral de funciones.

Integral de la Resta

$\displaystyle \int \left[ f(x) - g(x) \right] \ dx = \int f (x) \ dx - \int g (x) \ dx$

Es decir, la integral de la resta de funciones es igual a la resta de la integral de funciones.

Integral del Producto por un Escalar

$\displaystyle \int k \cdot f(x) \ dx = k \cdot \int f (x) \ dx$

Coloquialmente hablando, lo que está ocurriendo es que si un escalar está multiplicando a una función, dicho escalar sale de la integral para multiplicar a toda la integral.

Notemos que no se ha definido una propiedad para el producto y la división porque pues NO EXISTE UNA REGLA GENERAL PARA CALCULAR LA INTEGRAL DEL PRODUCTO O DIVISIÓN ENTRE DOS FUNCIONES, así que si bien podemos separar las sumas, no podemos separar los productos ni divisiones.

Veamos en los siguientes ejemplos que usando estas propiedades y la tabla de integrales, podemos empezar a calcular la integral de funciones un poco más complejas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de $f(x) = x^2 + x$ , es decir,

$\int (x^2 + x) \, dx$

Debemos notar que esta función está definida como la suma de dos funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

$\int x^2 dx + \int x \, dx$

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

$\frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 + \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2$

Notemos que para cada una de las funciones, al calcular la integral se han generado dos familias diferentes de antiderivadas, es por esto que hemos usado dos constantes $C_1$ y $C_2$ , sin embargo, podemos agrupar estas dos constantes en una sola constante $C$ y concluir que

$\int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

Ejemplo 2

Calcule la integral de $f(x) = 3x^5 - 2x + 9$ , es decir,

$\int (3x^5 - 2x + 9) dx$

Debemos notar que esta función está definida como la suma de tres funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

$\int 3x^5 \, dx -\int 2x \, dx +\int 9 \, dx$

Tomando en cuenta que algunas de ellas están siendo multiplicadas por escalares, sacamos estos escalares de las integrales para obtener la siguiente expresión

$3\int x^5 \, dx - 2\int x \, dx + \int 9 \, dx$

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos y sacado sus escalares, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas,

$3\frac{x^{5+1}}{5+1} + C_1 - 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} - C_2 + 9x + C_3$

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

$\int (3x^5 - 2x + 9) \, dx = \frac{x^6}{2} - x^2 + 9x + C$

Ejemplo 3

Calcule la integral de $f(x) = 7 \textit{\Large e}^x + \sqrt{x}$ , es decir,

$\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx$

La integral de la función exponencial no debería presentar dificultad alguna pero si nos fijamos en la raíz cuadrada de $x$ , ¿está en la tabla? Claro que sí, pero debemos reescribirla, pues $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces,

$7 \int \textit{\Large e}^x \, dx + \int x^{\frac{1}{2}} \, dx$

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

$7 \textit{\Large e}^x + C_1 + \dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_2$

Simplificamos operando las fracciones involucradas en el exponente y en el denominador obteniendo

$7 \textit{\Large e}^x + \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$

Efectuando la división de fracciones involucrada concluimos que

$\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx = 7 \textit{\Large e}^x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Ejemplo 4

Calcule la integral de $f(x) = \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x}$ , es decir,

$\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx$

Cada uno de los sumandos se puede reescribir para aplicar la regla del exponente, sin embargo, debemos ser cuidadosos con la función $\frac{1}{x}$ pues al reescribirla como $x^{-1}$ no se puede aplicar la regla del exponente pero no hay de que preocuparse pues la integración de esta es directa de la tabla.

Separemos cada uno de los sumandos y saquemos las constantes,

$6 \int \frac{1}{x^5} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2} \, dx + 3\int \frac{1}{x} \, dx$

Reescribimos las funciones que se necesiten reescribir,

$6 \int x^{-5} \, dx +-\frac{1}{2} \int x^{-2} \, dx + 3 \int \frac{1}{x} \, dx$

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

$6 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C_1 - \frac{1}{2} \left( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) - C_2 + 3 \ln|x| + C_3$

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

$\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx= - \frac{3}{2x^4} + \frac{1}{2x} + 3 \ln|x| + C$

Integración

27.04.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Si bien las integrales indefinidas se pueden ver como una consecuencia de las derivadas, calcular la integral de una función es tan trivial. En el caso de las derivadas, dependiendo de la forma en que esta está expresada, aplicamos la regla de derivación correspondiente para calcular su derivada. Sin embargo, este no es el caso para las integrales pues NO EXISTE UNA REGLA GENERAL PARA CALCULAR LA INTEGRAL DE CUALQUIER FUNCIÓN, es por esto que debemos desarrollar una serie de métodos que nos permitan calcula la integral de algunas funciones.

La Integral Indefinida

26.04.202018.08.2025 Anthonny Arias-García6 comentarios

Hemos visto que el cálculo de derivadas es un recurso valioso para estudiar el comportamiento de una función, sin embargo, podemos encontrarnos en la situación de conocer la derivada de una función y por ende su comportamiento, pero no la función en sí. Es posible determinar una función a partir de su derivada y para esto se deben desarrollar métodos que lo permitan. Veamos de manera formal como hacer esto.

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Antiderivada de una función

Sea $f(x)$ una función, definimos una antiderivada (primitiva en algunos libros de texto) de ella como una función $A(x)$ tal que al derivarla, obtenemos la función $f(x)$ , es decir, un función que cumple con la siguiente condición:

$A'(x) = f(x)$

Veamos un caso particular, ¿cuál es una antiderivada de la función $f(x)=x$ ? Piense detenidamente en una función tal que al derivarla el resultado sea $f(x)=x$ , tómese su tiempo pues para los que haremos luego, es necesario que usted desarrolle su ingenio,

¿Será la función constante $1$ ? Suena tentativo, calculemos su derivada a ver, $(1)' = 0$ pues la derivada de toda constante es igual a 0. Si nos fijamos, propusimos la derivada de $x$ para obtener la posible antiderivada, entonces consideremos otra opción tomando esto en cuenta,

¿Será la función identidad $x$ ? Calculemos su derivada a ver, $(x)' = 1$ , así que no es la antiderivada que estamos buscando. Entonces consideremos otra opción,

¿Será la función cuadrática $x^2$ ? Calculemos su derivada a ver, $(x^2)' = 2x$ , es casi lo que estamos buscando, el detalle es que la variable $x$ está siendo multiplicada por dos, así que no es la antiderivada que estamos buscando. Entonces consideremos otra opción dividiendo por dos,

Sin consideramos la función cuadrática dividida entre dos, $\frac{x^2}{2}$ , entonces su derivada es $\left( \frac{x^2}{2} \right)' =2\frac{x}{2}=x$ . Entonces, concluimos que en efecto $A(x)=\frac{x^2}{2}$ es una antiderivada de la función $f(x)=x$ .

Notemos que hasta ahora hemos hablado de una antiderivada y no de la antiderivada, entonces surge la siguiente pregunta: ¿hay más antiderivadas? Sí, las hay, ¿puede usted pensar en otra función que también sea una antiderivada de la función $f(x)=x$ ? Piense con detenimiento antes de que seguir leyendo.

La respuesta parecerá sencilla una vez que se dé, pero recuerde que para llegar a ella hubo un proceso de razonamiento. Sin consideramos la función $A(x)=\frac{x^2}{2} + 1$ esta es otra función, que también será una antiderivada de $f(x)=x$ pues la derivada de uno es igual a cero.

Ahora, ¿puede pensar en otra antiderivada? Por supuesto, $A(x)=\frac{x^2}{2} + 2$ . ¿Otra? Claro que sí, $A(x)=\frac{x^2}{2} + 3$ … Entonces, ¿cuántas antiderivadas tiene al función $f(x)=x$ ? Tantas como constantes que se puedan sumar, es decir, de forma general si $C$ es una constante, podemos decir que cualquier antiderivada de la función $f(x)=x$ estará expresada de la forma

$A(x)=\frac{x^2}{2} + C$

La Integral Indefinida

Sabiendo esto, podemos generalizar y decir que si $A(x)$ es una antiderivada de una función $f(x)$ entonces, también lo será $A(x)+C$ . Es posible aglomerar todas las antiderivadas pues definimos la integral indefinida de una función $f(x)$ como la familia de todas las antiderivadas de $f(x)$ y la denotamos de la siguiente forma

$\displaystyle \int f(x) \ dx$

Donde $\int$ es una $s$ alargada que llamaremos integral y se usa para denotar el operador de integración; $dx$ es el diferencial de x y se usa para indicar la variable respecto a la cual se está integrando.

Diremos que integrar una función es el proceso de calcular la integral de una función y podemos empezar este proceso nombrando algunas integrales que se obtienen de forma directa a partir de la tabla de derivadas:

Tabla de Integrales de Funciones Elementales

División de Fracciones

25.04.202007.12.2022 Anthonny Arias-García5 comentarios

Al dividir fracciones, debemos tomar en cuenta que si $p$ y $q$ son números enteros, con $q$ distinto de cero, entonces, la división $p \div q$ es en realidad la multiplicación de $p$ por el inverso multiplicativo de $q$ , es decir, $\frac{1}{q}$ . Tomando esto en cuenta, consideremos lo siguiente:

Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números enteros tales que $b$ y $d$ son distintos de cero. Definimos la división de las fracciones $\frac{a}{b}$ entre $\frac{c}{d}$ , multiplicando $\frac{a}{b}$ por el inverso multiplicativo de $\frac{c}{d}$ , es decir, $\frac{d}{c}$ . Por lo tanto, multiplicamos $a$ por $d$ y dividimos esto entre el producto de $b$ por $c$ , de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una cruz al multiplicar numerador por denominador y denominador por numerador tal como veremos a continuación

Otra forma de recordar la división de fracciones consiste en reescribir la división entre fracciones como una fracción de fracciones y aplicar lo que en algunos países se conoce como la Doble C y en otros como la Ley del Sandwich (¿cómo le llaman en tu país?) de la siguiente forma

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la división entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la división de $\frac{1}{2}$ entre $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ejemplo 2

Efectúe la división de $\frac{7}{3}$ entre $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}$

Ejemplo 3

Efectúe la división de $1$ entre $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta división debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} \div \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}$

Ejemplo 4

Efectúe la división de $\frac{3}{11}$ entre $6$ . Para efectuar esta división debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} \div \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 6} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}$

Ejemplo 5

Efectúe la división de $\frac{5}{2}$ entre $\frac{3}{7}$ y a su vez, todo esto, dividido entre $\frac{11}{8}$ . Para efectuar esta división debemos proceder de la misma forma en que este problema ha sido enunciado, y para esto, usamos la propiedad asociativa.

$\left( \frac{5}{2} \div \frac{3}{7} \right) \div \frac{11}{6} = \left( \frac{35}{6} \right) \div \frac{11}{8}$

Una vez que hemos calculado la división que está entre los paréntesis, procedemos a hacer la segunda división.

$\frac{35}{6} \div \frac{11}{8} = \frac{280}{66} = \frac{140}{33}$

Ejemplo 5 (Otro enfoque)

Otra forma de efectuar la división $\frac{5}{2} \div \frac{3}{7} \div \frac{11}{8}$ es recordando que si la división es multiplicar por el inverso multiplicativo, entonces, consideramos los inversos multiplicativos de $\frac{7}{3}$ y $\frac{8}{11}$ . Posteriormente, efectuamos el producto de las siguientes tres fracciones:

$\frac{5}{2} \div \frac{7}{3} \div \frac{8}{11} = \frac{280}{66} = \frac{140}{33}$

Multiplicación de Fracciones

25.04.202025.04.2020 Anthonny Arias-García5 comentarios

Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números enteros tales que $b$ y $d$ son distintos de cero. Definimos la multiplicación de las fracciones $\frac{a}{b}$ por $\frac{c}{d}$ , multiplicando $a$ por $c$ y dividiendo esto entre el producto de $b$ por $d$ , de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de un canal al multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la multiplicación entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la multiplicación de $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$

Ejemplo 2

Efectúe la multiplicación de $\frac{7}{3}$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la multiplicación de $1$ por $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la multiplicación de $\frac{3}{11}$ por $6$ . Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{18}{11}$

$f(x)$	$\int f(x) \ dx$
$0$	$C$
$1$	$x + C$
$k$	$k \cdot x + C$
$x$	$\dfrac{x^2}{2} + C$
$x^2$	$\dfrac{x^3}{3} + C$
$x^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$x^{-1} = \dfrac{1}{x}$	$\ln \|x\| + C$
$\textbf{\textit{\Large e}}^{x}$	$\textbf{\textit{\Large e}}^{x} + C$
$\cos(x)$	$\sin(x) + C$
$\sin(x)$	$-\cos(x) + C$

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Categoría: Matemáticas

Propiedades de la Integral Indefinida

Operaciones entre Integrales

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Ejemplo 1

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