Autor: Anthonny Arias-García

Sub-Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Reglas de Derivación

Anthonny Arias-García2 comentarios
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I.- Considerando la tabla de derivadas de las funciones elementales, calcule la derivada de las siguientes funciones y simplifique el resultado.

  1. f(x)=3
  2. f(x)=7
  3. f(x)=-2
  4. f(x)=-3

  1. f(x)=x
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^5
  4. f(x)=x^7

  1. f(x)=\sqrt[4]{x}
  2. f(x)=\sqrt[6]{x}
  3. f(x)=\sqrt[8]{x}
  4. f(x)=\sqrt[10]{x}

  1. f(x)=\sqrt[3]{x^8}
  2. f(x)=\sqrt[5]{x^6}
  3. f(x)=\sqrt[7]{x^4}
  4. f(x)=\sqrt[9]{x^2}
  1. f(x)=x^{-2}
  2. f(x)=x^{-4}
  3. f(x)=x^{-6}
  4. f(x)=x^{-8}

  1. f(x)=\dfrac{1}{x^{10}}
  2. f(x)=\dfrac{1}{x^{15}}
  3. f(x)=\dfrac{1}{x^{20}}
  4. f(x)=\dfrac{1}{x^{25}}

  1. f(x)=\log_3(x)
  2. f(x)=\log_7(x)
  3. f(x)=\log_{11}(x)
  4. f(x)=\ln(x)

  1. f(x)=2^x
  2. f(x)=9^x
  3. f(x)=16^x
  4. f(x)=\textit{\Large e}^x
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II.- Considerando la derivada de la suma de dos funciones y el producto por un escalar, calcule la derivada de las siguientes funciones y simplifique el resultado.

  1. f(x)=15x+1
  2. f(x)=22x-2
  3. f(x)=-9x+3
  4. f(x)=-11x-4

  1. f(x)=5x+10x^8
  2. f(x)=6x^3+9x^8
  3. f(x)=7x^5+8x^4
  4. f(x)=8x^7+7x^2

  1. f(x)= x^2 - 2x^{-6} + 2
  2. f(x)= x^2 - x^{-4} + 1
  3. f(x)= x^2 - 4x^{-7} + 5
  4. f(x)= x^2 + x^{-9} - 10

  1. f(x)= 7x^4 - 3x^3 + 43x + 60
  2. f(x)= 4x^4 - 6x^3 - 18x + 10
  3. f(x)= 2x^4 - 5x^3 + 29x + 30
  4. f(x)= 6x^4 + 4x^3 - 36x - 36
  1. f(x)= 7\sqrt[3]{x^4} - 10x^4 + \dfrac{2}{x^4}
  2. f(x)= 3\sqrt[5]{x^2} - 6x^6 - \dfrac{8}{x^3}
  3. f(x)= -12\sqrt[8]{x^5} - 9x^5 + \dfrac{3}{x^6}
  4. f(x)= -5\sqrt[10]{x^7} - 18x^8 - \dfrac{12}{x^{10}}

  1. f(x)= 7\textit{\Large e}^x + \dfrac{3}{6\sqrt[3]{x^7}}
  2. f(x)= -21\textit{\Large e}^x + \dfrac{9}{2\sqrt[5]{x^5}}
  3. f(x)= 14\textit{\Large e}^x - \dfrac{4}{13\sqrt[8]{x^2}}
  4. f(x)= -28\textit{\Large e}^x - \dfrac{11}{4\sqrt[10]{x^4}}

  1. f(x)= \dfrac{x^4}{2} + 7\ln(x)
  2. f(x)= \dfrac{x^3}{8} - 4\ln(x)
  3. f(x)= -\dfrac{x^6}{3} + 12\ln(x)
  4. f(x)= -\dfrac{x^{10}}{12} - 5\ln(x)

  1. f(x)= 5\textit{\Large e}^x + 10\ln(x)
  2. f(x)= -4\textit{\Large e}^x + 3\ln(x)
  3. f(x)= 3\textit{\Large e}^x - 15\ln(x)
  4. f(x)= -2\textit{\Large e}^x - 6\ln(x)
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III.- Considerando la derivada del producto de dos funciones, calcule la derivada de las siguientes funciones y simplifique el resultado.

  1. f(x)= (x+1) \cdot \ln(x)
  2. f(x)= (3x+2) \cdot \ln(x)
  3. f(x)= (-x+3) \cdot \ln(x)
  4. f(x)= (-6x-4) \cdot \ln(x)

  1. f(x)= (x^2+3x) \cdot \ln(x)
  2. f(x)= (-x^4+4x^2) \cdot \ln(x)
  3. f(x)= (x^6-5x^4) \cdot \ln(x)
  4. f(x)= (-x^8-6x^7) \cdot \ln(x)

  1. f(x)= \left(11x + \dfrac{1}{x^8}\right) \cdot \ln(x)
  2. f(x)= \left(12x^3 - \dfrac{4}{x^9}\right) \cdot \ln(x)
  3. f(x)= \left(-13x^5 + \dfrac{7}{x^{11}}\right) \cdot \ln(x)
  4. f(x)= \left(-14x^7 - \dfrac{10}{x^{13}}\right) \cdot \ln(x)

  1. f(x)= (12\textit{\Large e}^x + \sqrt[3]{x^7}) \cdot \ln(x)
  2. f(x)= (-24\textit{\Large e}^x + \sqrt[8]{x^{11}}) \cdot \ln(x)
  3. f(x)= (36\textit{\Large e}^x - \sqrt[13]{x^{15}}) \cdot \ln(x)
  4. f(x)= (-48\textit{\Large e}^x - \sqrt[18]{x^{19}}) \cdot \ln(x)

  1. f(x)= (x+1) \cdot \textit{\Large e}^x
  2. f(x)= (-5x+2) \cdot \textit{\Large e}^x
  3. f(x)= (7x-3) \cdot \textit{\Large e}^x
  4. f(x)= (-10x-4) \cdot \textit{\Large e}^x
  1. f(x)= (x^2+3x+7x) \cdot \textit{\Large e}^x
  2. f(x)= (-x^4+4x^2+8x) \cdot \textit{\Large e}^x
  3. f(x)= (x^6-5x^4+9x) \cdot \textit{\Large e}^x
  4. f(x)= (-x^8+6x^7-10x) \cdot \textit{\Large e}^x

  1. f(x)= \left(11x + \dfrac{1}{x^8} \right) \cdot \textit{\Large e}^x
  2. f(x)=\left(-12x^3 + \dfrac{4}{x^9}\right) \cdot \textit{\Large e}^x
  3. f(x)= \left(13x^5 - \dfrac{7}{x^{11}}\right) \cdot \textit{\Large e}^x
  4. f(x)=\left(-14x^7 - \dfrac{10}{x^{13}}\right) \cdot \textit{\Large e}^x

  1. f(x)= (12\textit{\Large e}^x + \sqrt[3]{x^7}) \cdot \textit{\Large e}^x
  2. f(x)= (24\textit{\Large e}^x - \sqrt[8]{x^{11}}) \cdot \textit{\Large e}^x
  3. f(x)= (-36\textit{\Large e}^x + \sqrt[13]{x^{15}}) \cdot \textit{\Large e}^x
  4. f(x)= (-48\textit{\Large e}^x - \sqrt[18]{x^{19}}) \cdot \textit{\Large e}^x

  1. f(x)= \ln(x) \cdot \left( \sqrt[3]{x^7} \right) \cdot \textit{\Large e}^x
  2. f(x)= \ln(x) \cdot \left( \sqrt[8]{x^{11}}\right) \cdot \textit{\Large e}^x
  3. f(x)= \ln(x) \cdot \left( -\sqrt[13]{x^{15}}\right) \cdot \textit{\Large e}^x
  4. f(x)= -\ln(x) \cdot \left( \sqrt[18]{x^{19}}\right) \cdot \textit{\Large e}^x
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IV.- Considerando la derivada de la división de dos funciones, calcule la derivada de las siguientes funciones y simplifique el resultado.

  1. f(x)= \dfrac{ (5x+1) }{ \ln(x) }
  2. f(x)= \dfrac{ (7x-2) }{ \ln(x) }
  3. f(x)= \dfrac{ (-4x+3) }{ \ln(x) }
  4. f(x)= \dfrac{ (-x-4) }{ \ln(x) }

  1. f(x)= \dfrac{ \ln(x) }{ (x^2+3x) }
  2. f(x)= \dfrac{ \ln(x) }{ (x^4+4x^2) }
  3. f(x)= \dfrac{ \ln(x) }{ (x^6-5x^4) }
  4. f(x)= \dfrac{ \ln(x) }{ (-x^8-6x^7) }

  1. f(x)= \dfrac{ \left(11x + \dfrac{1}{x^8}\right) }{ \ln(x) }
  2. f(x)= \dfrac{ \left(12x^3 - \dfrac{4}{x^9}\right) }{ \ln(x) }
  3. f(x)= \dfrac{ \left(-13x^5 + \dfrac{7}{x^{11}}\right) }{ \ln(x) }
  4. f(x)= \dfrac{ \left(-14x^7 - \dfrac{10}{x^{13}}\right) }{ \ln(x) }

  1. f(x)= \dfrac{ \ln(x) }{ (12\textit{\Large e}^x + \sqrt[3]{x^7}) }
  2. f(x)= \dfrac{ \ln(x) }{ (-24\textit{\Large e}^x + \sqrt[8]{x^{11}}) }
  3. f(x)= \dfrac{ \ln(x) }{ (36\textit{\Large e}^x - \sqrt[13]{x^{15}}) }
  4. f(x)= \dfrac{ \ln(x) }{ (-48\textit{\Large e}^x - \sqrt[18]{x^{19}}) }
  1. f(x)= \dfrac{ (10x+5) }{ \textit{\Large e}^x }
  2. f(x)= \dfrac{ (3x-2) }{ \textit{\Large e}^x }
  3. f(x)= \dfrac{ (-4x+3) }{ \textit{\Large e}^x }
  4. f(x)= \dfrac{ (-7x-6) }{ \textit{\Large e}^x }

  1. f(x)= \dfrac{ \textit{\Large e}^x }{ (x^2+3x+7x) }
  2. f(x)= \dfrac{ \textit{\Large e}^x }{ (x^4-4x^2+8x) }
  3. f(x)= \dfrac{ \textit{\Large e}^x }{ (x^6+5x^4-9x) }
  4. f(x)= \dfrac{ \textit{\Large e}^x }{ (-x^8-6x^7+10x) }

  1. f(x)= \dfrac{ \left(11x + \dfrac{1}{x^8}\right) }{ \textit{\Large e}^x }
  2. f(x)= \dfrac{ \left(-12x^3 + \dfrac{4}{x^9}\right) }{ \textit{\Large e}^x }
  3. f(x)= \dfrac{ \left(13x^5 - \dfrac{7}{x^{11}}\right) }{ \textit{\Large e}^x }
  4. f(x)= \dfrac{ \left(-14x^7 - \dfrac{10}{x^{13}}\right) }{ \textit{\Large e}^x }

  1. f(x)= \dfrac{ \textit{\Large e}^x }{ (12\textit{\Large e}^x + \sqrt[3]{x^7}) }
  2. f(x)= \dfrac{ \textit{\Large e}^x }{ (-24\textit{\Large e}^x + \sqrt[8]{x^{11}}) }
  3. f(x)= \dfrac{ \textit{\Large e}^x }{ (36\textit{\Large e}^x - \sqrt[13]{x^{15}}) }
  4. f(x)= \dfrac{ \textit{\Large e}^x }{ (-48\textit{\Large e}^x - \sqrt[18]{x^{19}}) }

Elasticidad de Demanda

Anthonny Arias-García2 comentarios

Al estudiar la demanda de un artículo respecto a su precio, es posible cuantificar la relación entre estos dos elementos definiendo la ecuación de demanda, tomando en cuenta que a menor precio mayor será la demanda y viceversa, sin embargo, es importante estudiar qué tan sensible es la demanda respecto a un cambio en el precio.

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Partiendo de los cambios porcentuales en el precio y la demanda, podemos estudiar la sensibilidad de la demanda respecto un cambio en el precio tal como lo veremos en los siguientes ejemplos:

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la demanda de Coca-Cola ha decrecido en un 5\% después de que el precio de esta aumentó en un 3\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es mayor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es elástica, pues un cambio en el precio ha tenido una alta incidencia en la demanda.

Ejemplo 2

Suponga que la demanda de Zanahoria ha decrecido en un 10\% después de que el precio de esta aumentó en un 10\%. En términos absolutos, notamos el cambio en la demanda igual que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda tiene elasticidad unitaria, pues el cambio en el precio y en la demanda tienen la misma magnitud.

Ejemplo 3

Suponga que la demanda de Gas Doméstico, usado para cocinar, ha decrecido en un 2\% después de que el precio de esta aumentó en un 7\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es menor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es inelástica, pues un cambio en el precio ha tenido una baja incidencia en la demanda.

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Tomando en cuenta estos ejemplos, definimos un indicador que llamaremos Elasticidad de Demanda, que se calcula dividiendo el cambio porcentual en la demanda entre el cambio porcentual en el precio y podemos categorizar el valor de dicho indicador de la siguiente forma:

  • Si el cambio porcentual en la demanda es mayor que el cambio porcentual en el precio, entonces

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| > 1 \Longrightarrow La demanda es elástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Elástica | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es igual que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| = 1 \Longrightarrow La demanda tiene elasticidad unitaria

Elasticidad de Demanda, Elasticidad Unitaria | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es menor que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| < 1 \Longrightarrow La demanda es inelástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Inelástica | totumat.com

La elasticidad de demanda también se puede calcular en el estudio de las ecuaciones de demanda, particularmente, cuando definimos funciones de demanda. Supongamos que definimos el precio p de un determinado artículo en función de las cantidades demandadas q para determinar una función de demanda, es decir,

p=f(q)

De esta forma, los consumidores demandarán q unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q), por otra parte, los consumidores demandarán q+h unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q+h). Considerando estos valores, podemos calcular en cuanto se han incrementado la cantidad demandada y el precio.

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La diferencia (q+h) - q = h determina el incremento que hubo en la cantidad demandada y más aún, el cambio porcentual en la cantidad demandada es calculado de la siguiente forma:

\frac{h}{q} \cdot 100

La diferencia f(q+h) - f(q) determina el incremento que hubo en el precio y más aún, el cambio porcentual en el precio es calculado de la siguiente forma:

\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100

Considerando estos cambios porcentuales, calculamos el cociente entre estos dos cambios para determinar la elasticidad de demanda de las siguiente forma:

\dfrac{\frac{h}{q} \cdot 100}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100} = \dfrac{\frac{h}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)}}

Considerando esta última división de fracciones, podemos notar que esta es equivalente a la siguiente división de fracciones

\dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

Esta última expresión resulta de vital importancia para estudiar la elasticidad de demanda al considerar el menor incremento posible, es decir, cuando h \to 0 entonces podemos definir la siguiente expresión

\lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

De existir este límite, debemos notar que la fracción que se encuentra en el denominador es justamente la derivada de la función f(q) respecto a la variable q. Entonces, considerando que la función f(q) determina el precio p, definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(q) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{dp}{dq}}

Sin embargo, debemos tomar en cuenta que si se está estudiando como la variación del precio afecta a la demanda, conviene expresar la demanda en función del precio y en consecuencia. Entonces, partiendo del hecho de que la derivada de p respecto a q se puede expresar en función de la derivada de la función inversa de p, es decir,

\dfrac{dp}{dq} = \dfrac{1}{\dfrac{dq}{dp}}

Podemos concluir que si la función de demanda está expresada como q en función de p, entonces definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(p) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{1}{\frac{dp}{dq}}} = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{dq}{dp}

Una vez que hemos calculado la elasticidad puntual de demanda usando esta definición, podemos categorizar este valor para indicar cual es el impacto que tiene el precio sobre la demanda de la siguiente manera:

  • Si \left| \eta \right| > 1, entonces la demanda es elástica.
  • Si \left| \eta \right| = 1, entonces la demanda tiene elasticidad unitaria.
  • Si \left| \eta \right| < 1, entonces la demanda es inelástica.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la elasticidad puntual a partir de una función de demanda.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Suponga que la demanda semanal de kilos de zanahoria en una pequeña tienda de verduras de la ciudad está definida por la siguiente función:

q = -\frac{9}{5} \cdot p + 43

¿Cuál es la elasticidad puntual de demanda si se fija el precio del kilo de zanahoria en 17.5?

Para usar la fórmula de la elasticidad puntual de demanda debemos calcular la derivada de la función de demanda, de esta forma, tenemos que

\dfrac{dq}{dp} = -\frac{9}{5}

Una vez calculada la derivada de la función de demanda, sustituimos la derivada y la función en nuestra fórmula:

\eta(p) = \frac{p}{q} \cdot \frac{dq}{dp} = \frac{p}{-\frac{9}{5} \cdot p + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right)

Teniendo planteada la fórmula de la elasticidad puntual de demanda para la función q(p), evaluamos en p=17.5,

\eta(17.5) = \frac{17.5}{-\frac{9}{5} \cdot 17.5 + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right) = -2.7391

De esta forma, al ser |-2.7391| > 1, concluimos que la demanda puntual es elástica cuando se fija el precio en p=17.5, es decir, este precio tiene alta incidencia en la demanda del kilo de zanahoria.

Derivada de la función inversa

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar el comportamiento gráfico de una función y de su inversa, podemos notar que estas están reflejadas a través de la recta identidad, tomando esto en cuenta, pudiéramos determinar la derivada de la inversa de una función a partir de la derivada de la función original, pero, ¿de qué forma?

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Si estudiamos gráficamente la derivada de la función cuadrática, f(x)=x^2, en el punto x=1, sabemos que esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a 2.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Por otra parte, si estudiamos gráficamente la derivada de la función raíz cuadrada, f^{-1}(x)=\sqrt{x}, en el punto x=1, esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a \frac{1}{2}.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Debemos notar que la función cuadrática y la función raíz cuadrada son funciones inversas, y el resultado de cada una de sus derivadas, 2 y \frac{1}{2}, son inversamente proporcionales. Más aún, las rectas tangentes a ambas funciones en el punto (1,1) parecieran ser una reflexión de la otra a través de la recta identidad, esto se puede apreciar mejor en el siguiente gráfico:

Derivada de la función inversa | totumat.com

Esto sugiere que sus derivadas son inversamente proporcionales, para ser más precisos, la derivada de la función inversa de f evaluada en y_0 es inversamente proporcional a la derivada de la función f en la preimagen de y_0. Esta idea se presenta formalmente con el siguiente teorema:

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Teorema (La derivada de la función inversa)

Sea f : (a,b) \longrightarrow \mathbb{R} una función inyectiva, derivable en un punto x_0=f^{-1}(y_0) del intervalo (a,b), tal que f'(f^{-1}(y_0)) \neq 0. Entonces, f^{-1} es derivable en y_0 y además,

(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'\big( f^{-1}(y_0) \big)}

Podemos presentar esta última expresión de una forma más amigable, y es que si consideramos una variable x=f^{-1}(y), podemos reescribir la derivada de la variable x respecto a la variable y como un cociente de diferenciales de la siguiente forma:

(f^{-1})'(y) = \frac{d}{dy} \left( f^{-1}(y) \right) = \frac{dx}{dy}

Por otra parte, también podemos reescribir la derivada f'\left( f^{-1}(y) \right) como un cociente de diferenciales, tomando en cuenta que f y f^{-1} son funciones inversas, de la siguiente forma:

f'\left( f^{-1}(y) \right) = \frac{d}{dx} \left( f\left( f^{-1}(y) \right) \right) = \frac{dy}{dx}

Entonces, aplicando el teorema para calcular la derivada de la función inversa, tenemos que

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{\dfrac{dy}{dx}}

Notemos que esta última expresión es equivalente a \frac{dy}{dx} = \frac{ \ \ 1 \ \ }{\frac{dx}{dy}} y aunque este teorema es potente para el desarrollo de las matemáticas, existen algunos casos en la práctica donde resulta útil. Veamos en los siguientes ejemplos, algunas funciones para entender como calcular la función inversa usando este el teorema.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x)=x^2, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt{x}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=2x. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 2 \cdot f^{-1}(x)

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{2f^{-1}(x)}

= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Ejemplo 2

Considerando la función f(x)=(x+1)^3, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}-1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=3(x+1)^2. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x}-1 + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}

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Ejemplo 3

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=-2x+5, calcule la derivada de su función inversa x=-\frac{1}{2}y + \frac{5}{2}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=-2, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{-2}

= -\dfrac{1}{2}

Ejemplo 4

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=\textit{\Large e}^{x+1} + 7, calcule la derivada de su función inversa x= \ln(y-7) - 1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=\textit{\Large e}^{x+1}, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{x+1}}

Finalmente, sustituyendo la variable x = \ln(y-7) - 1 en este último resultado, obtenemos lo siguiente:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7) - 1+1}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7)}}

= \dfrac{1}{y-7}

Nota: Se mantiene que \textit{\Large e}^{\ln(y-7)} = y-7 pues la función exponencial y la función logaritmo neperiano son funciones inversas.

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Operaciones entre números racionales (fracciones)

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Calcule las siguientes sumas entre fracciones.

  1. \frac{1}{5} + \frac{1}{2}
  2. \frac{1}{2} + \frac{4}{7}
  3. -5 + \frac{3}{2}
  4. -\frac{5}{6} + 2

  1. -\frac{2}{3} + \frac{3}{2}
  2. \frac{1}{10} + \frac{2}{3}
  3. -\frac{5}{9} + \frac{7}{4}
  4. \frac{2}{7} + \frac{7}{5}

  1. -\frac{8}{5} + \left( -3 \right)
  2. -\frac{1}{6} + \frac{3}{4}
  3. 2 + \frac{4}{5}
  4. \frac{2}{3} + \frac{3}{5}

Calcule las siguientes restas entre fracciones.

  1. \frac{8}{7} - \frac{8}{5}
  2. -\frac{5}{6} - \left( -2 \right)
  3. -\frac{3}{2} - \frac{7}{4}
  4. -6 - \left( -\frac{3}{5} \right)

  1. \frac{10}{9} - \left( -3 \right)
  2. \frac{5}{9} - \left( -\frac{8}{5} \right)
  3. \frac{2}{3} - \frac{7}{8}
  4. -2 - \left( -\frac{4}{9} \right)

  1. \frac{4}{7} - \frac{3}{2}
  2. -\frac{7}{6} - \frac{5}{3}
  3. -\frac{4}{7} - \left( -\frac{4}{9} \right)
  4. \frac{5}{8} - \frac{4}{3}

Calcule las siguientes multiplicaciones entre fracciones.

  1. -\frac{5}{4} \cdot \left( -\frac{4}{9} \right)
  2. \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{7}
  3. -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}
  4. \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{2}

  1. -\frac{5}{3} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right)
  2. \frac{1}{10} \cdot 1
  3. 10 \cdot \frac{1}{6}
  4. -\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{5}

  1. -\frac{5}{6} \cdot \left( -\frac{7}{3} \right)
  2. \frac{8}{5} \cdot \left( -1 \right)
  3. -5 \cdot \frac{5}{3}
  4. \frac{8}{9} \cdot \left( -3 \right)

Calcule las siguientes divisiones entre fracciones.

  1. \frac{3}{8} \div \left( -\frac{5}{4} \right)
  2. -\frac{1}{6} \div \frac{5}{8}
  3. 2 \div \left( -\frac{7}{4} \right)
  4. -\frac{4}{7} \div \left( -\frac{1}{3} \right)

  1. \frac{9}{2} \div \left( -\frac{5}{2} \right)
  2. -\frac{5}{4} \div \left( -\frac{5}{4} \right)
  3. -\frac{2}{5} \div \left( -\frac{7}{9} \right)
  4. \frac{1}{9} \div \left( -\frac{2}{9} \right)

  1. -\frac{9}{10} \div 1
  2. \frac{2}{7} \div \frac{4}{7}
  3. -8 \div \left( -\frac{5}{4} \right)
  4. -\frac{1}{4} \div \left( -\frac{1}{2} \right)

Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estabilidad

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario
  1. Punto estable
  2. Punto inestable
  3. Punto atractor
  4. Asintóticamente estable
  5. Ejemplos
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3

Hemos dicho que nos interesa estudiar el comportamiento de la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas alrededor de un punto particular, y este punto es el punto de equilibrio, así que una vez que sabemos como calcularlo. Veamos qué tipos de comportamiento podemos identificar.

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Punto estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si a partir de un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación, podemos definir un nuevo entorno sobre el punto de equilibrio que contiene al valor inicial, y así, asegurar que todos los elementos de la sucesión que define la solución están dentro del entorno original, entonces decimos que punto de equilibrio es estable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto estable si dado \varepsilon > 0, existe un número real \delta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \delta, entonces |y_{t} - P_e| < \varepsilon para todo t

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, entonces podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Punto inestable

Si al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo existirá un entorno del punto de equilibrio tal que por más cercano que el valor inicial esté del punto de equilibrio, hay un elemento de la sucesión que define la solución por fuera del entorno dicho entorno. En este caso, decimos que es el punto de equilibrio inestable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto inestable si existe un número real \varepsilon > 0 y un número real \delta > 0 tal que

|y_0 - P_e| < \delta pero |y_{k} - P_e| > \varepsilon para algún k

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, pero no podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud creciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud creciente.
oscilaciones explosivas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones explosivas.


Punto atractor

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si existe un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación que contiene al valor inicial, a partir del cual podemos asegurar que los elementos de la sucesión que define la solución se acercan cada vez más al punto de equilibrio, entonces decimos que el punto de equilibrio es un atractor.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto atractor si existe un número real \eta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \eta, entonces \lim_{t \to \infty} y_{t} = P_e

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Más aún, si esto se cumple para cualquier número real \eta, decimos que el punto de equilibrio es un punto atractor global. Gráficamente, lo que ocurre es que independientemente de sea cual sea el valor de y_0, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


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Asintóticamente estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si el punto de equilibrio es estable y atractor, entonces decimos que es un punto de equilibrio asintóticamente estable.

Más aún, si el punto de equilibrio es estable y atractor global, entonces decimos que es un punto de equilibrio globalmente asintóticamente estable.

Veamos en los siguientes ejemplos, como determinar la estabilidad del punto de equilibrio.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = 2y_{t} + 5 con condición inicial y_0 = 10, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = 2^t \cdot 15 - 5 \text{ y } P_e= \frac{5}{1-2} = -5

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiende a +\infty, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo mayor que uno: 2; es decir,

\lim_{t \to \infty} 2^t \cdot 15 - 5 = +\infty

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud creciente:

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Ejemplo 2

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = -3y_{t} + 7 con condición inicial y_0 = \frac{2}{3}, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = (-3)^t \cdot \frac{2}{3} + \left( 1-(-3)^t \right) \left( \frac{7}{4} \right) \text{ y } P_e= \frac{7}{4}

Si intentamos calcular el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiende a +\infty para los valores pares de t y tiende a -\infty para los valores impares de t, esto se debe a que la base de la potencia es un número negativo menor que menos uno: -3; de esta forma, el límite no existe y concluimos que esta sucesión diverge.

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe oscilaciones explosivas:

oscilaciones explosivas | totumat.com

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden 10y_{t+1} = 5y_{t} + 4 con condición inicial y_0 = 20, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \left( \frac{4}{5} \right) \text{ y } P_e= \frac{4}{5}

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiende a \frac{4}{5}, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo menor que uno: \frac{1}{2}; es decir,

\lim_{t \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \cdot \left( \frac{4}{5} \right) = 0 \cdot 20 + (1 - 0) \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto asintóticamente estable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud decreciente:

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com