Receta: Hallacas

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

La hallaca es el plato típico de la navidad venezolana, y aunque en cada país de Latinoamérica existen platos similares, cada uno tiene su propia sazón e identidad cultural. La hallaca también varía dentro de Venezuela pues dependiendo de la región en que uno se encuentre, puede encontrar una u otra versión. En esta ocasión les comparto la Receta de la Hallaca Andina, la más simple de todas las versiones andinas, pero que es muy rica en sabor.

Como anécdota personal comento que la primera vez que mi mamá hizo hallacas cuando se independizó, una señora le enseñó la receta (la Sra. Consuelo, que por cierto, hacía unas arepas riquísimas) a mi mamá cuando ella fue profesora en una zona rural del Estado Mérida y esta ha sido la receta que hemos seguido en mi casa desde que yo tengo uso de razón.

Esta receta alcanza para hacer 60 hallacas de 6-7 cm de ancho y 14-16 cm de largo, queda a su criterio decir si son pequeñas o medianas, pero con toda seguridad, no son grandes.

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Ingredientes

  • Aceite Onotado
    • 1 litro Aceite vegetal (preferiblemente aceite de maíz).
    • 100 gr. de Onoto
  • Guiso
    • 1/2 Kg. de Cebollín
    • 2 Cebollas
    • 2 Cabezas de Ajo
    • 2 Pimentones Rojos
    • 1/4 Kg. de Ají Dulce (Rojo)
    • 1 Tallo de Ajo Porro (sólo lo blanco)
    • 1 Tallo de Apio España.
    • 1 Kg. de Carne de Res en Bistec
    • 4 Muslos de Pollo deshuesados
    • 4 Tiras de Tocineta Ahumada
    • 1/2 Kg. de Pulpa de Cochino
    • Sal, oregano y laurel al gusto
  • Masa
    • Caldo de Huesos de Pollo
    • 2 Cubitos
    • 1 Kg. de Harina PAN (De Maíz Amarillo)
    • Sal al gusto
  • Para armar la hallaca
    • 100 gr. de Pasas
    • 100 gr. de Aceitunas
    • 3 Kg. de Hojas Para Hallacas Arregladas
    • 1 Rollo de Hilo Pabilo
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Preparación

Preparación del Aceite

La preparación para este tipo de hallacas dura al menos dos días, durante el primer día se prepara el guiso. Lo primero que hay que hacer es tintar el aceite (o pintar), para esto debemos sofreír durante unos 4 minutos con llama muy baja el onoto en un sartén con unos unos 100 ml de aceite. La idea es que el onoto suelte su color para que el aceite se torne rojo intenso.

Esta fotografía incluye una arepa porque estaba haciendo desayuno.

Una vez que el aceite tiene ese color rojo intenso, ser vierte dentro la botella de aceite para que todo el litro de aceite para que todo el resto del aceite se tinte, esto también se conoce como onotar el aceite.

Aceite sin tintar

Aceite onotado

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Preparación del Guiso

Una vez que ya se ha tintado el aceite procedemos a picar las carnes en cuadritos (no muy pequeños), es decir, picamos la carne de res en bistec, la pulpa de cochino, el pollo y la tocineta.

Una vez que se han picado todas las carnes, se vierten en un bowl grande y se mezclan.

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Para procesar los aliños, se empieza por pelar los ajos y licuarlos con el aceite onotado, el puré de ajo se sofríe por cuatro minutos, se deja enfriar (importante para que no se cocine la carne con el calor del sofrito); posteriormente se incorpora al bowl y se mezcla.

Se pica el Apio España, se sofríe con aceite onotado por cuatro minutos, se deja enfriar (importante para que no se cocine la carne con el calor del sofrito); posteriormente se incorpora al bowl y se mezcla.

Se pica el Ajo Porro, se sofríe con aceite onotado por cuatro minutos, se deja enfriar (importante para que no se cocine la carne con el calor del sofrito); posteriormente se incorpora al bowl y se mezcla.

Se pica la Cebolla, se sofríe con aceite onotado por cuatro minutos, se deja enfriar (importante para que no se cocine la carne con el calor del sofrito); posteriormente se incorpora al bowl y se mezcla.

Se pica el Cebollín, se sofríe con aceite onotado por cuatro minutos, se deja enfriar (importante para que no se cocine la carne con el calor del sofrito); posteriormente se incorpora al bowl y se mezcla.

Se pica el Ají Dulce, se sofríe con aceite onotado por cuatro minutos, se deja enfriar (importante para que no se cocine la carne con el calor del sofrito); posteriormente se incorpora al bowl y se mezcla.

Se pica el Pimentón, se sofríe con aceite onotado por cuatro minutos, se deja enfriar (importante para que no se cocine la carne con el calor del sofrito); posteriormente se incorpora al bowl y se mezcla.

Finalmente, se mezcla todo y se deja reposar en la nevera hasta el otro día.

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Preparación de la Masa

La parte más importante de la preparación de la masa es el sabor que le demos al agua que se va a usar, eso por esto que se debe hacer un caldo de huesos de pollo y dejarme que el agua merme un poco para que el sabor se concentre.

Tuve que cambiar el pollo a una olla porque debía usar el caldero.

Una vez que el caldo de pollo está listo, se pasa a un bowl grande donde se preparará la masa, se le agregan dos cubitos desmenuzados y al menos media taza de aceite onotado, mientras más aceite, más amarilla quedará la masa al final, aunque también tendrá más sabor a onoto, así que hay que encontrar el equilibrio. Una vez que esto esté mezclado, se agrega una cucharada de sal y se mezcla.

Posteriormente, se empieza a verter la harina poco a poco mientras se mezcla para evitar que se empelote (es decir, que la harina forme cúmulos de masa pequeños). Si desea, puede agregar un poco de harina de maíz blanco para darle cuerpo a la masa pues la harina de maíz blanco es más fina que la harina de maíz amarillo.

Es importante mezclar con insistencia para que la masa quede con la textura ideal, puede empezar con un batidor mientras la masa está líquida pero al finalizar es mejor mezclar a mano pues el volumen de masa que se genera es muy grande. La contextura final debería ser blanda pero a la vez maleable.

La contextura que se debería conseguir es la siguiente:

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Armar las Hallacas

El primer paso para armar las hallacas es escoger y arreglar las hojas, y aunque se pueden conseguir en los supermercados ya arregladas (como en el caso de esta receta), lo ideal es usar las hojas que estén bien ahumadas (es decir, que no estén verde vibrante) y que sean grandes (el tamaño ideal para mí es 40cm de ancho y 40cm de largo), se les corta la hebra principal pues esta por ser dura puede quebrar las hojas cuando estas se doblan.

Una vez escogidas las hojas, se deben lavar una a una con agua y esponja (use jabón sólo si tienen mal olor), posteriormente se deben secar una a una y terminar de arreglarlas de ser necesario.

Una vez que las hojas están listas, se prepara el armado de las hallacas. En este caso se hace un armado simple que consta sólo de masa, guiso, aceitunas, pasas y aceite onotado.

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Para armar las hallacas se debe colocar una hoja sobre la mesa de trabajo de modo que la parte lisa quede hacia arriba pues si las hebras quedan apuntando hacia arriba, la hallaca queda marcada por estas una vez que se envuelvan. Sobre la hoja se vierte una cucharadita de aceite onotado y sobre el aceite una bolita de masa.

La bolita de masa se extiende sobre la hoja, puede hacerlo con la mano o en mi caso, pongo un plástico sobre la masa, la aplasto suavemente con un plato y termino de extender con la mano de ser necesario.

Sobre la masa extendida se coloca una cucharada (generosa) de guiso, con cuidado que no se derrame fuera de la masa. Sobre el guiso se colocan aceitunas y pasas al gusto, aunque mi parecer, una aceituna y dos pasas está más que bien. Finalmente, se vierte una cucharadita de aceite onotado para mantener el guiso húmedo dentro de la hallaca mientras se cocina.

En las fotos no se aprecia bien, pero los colores no son tan pálidos, son más vibrantes.

Una vez que se ha armado la hallaca, viene el paso más importante: la envoltura y el amarrado. La importancia de este paso es que si una hallaca está mal envuelta o mal amarrada, se puede derramar mientras se cocina o se puede llenar de agua de la olla (esa agua es asquerosa).

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La hallaca se debe envolver dos veces y las dos envolturas son diferentes, en el siguiente video muestro como hacer la primera envoltura de las hallacas.

En el siguiente video muestro como hacer la segunda envoltura de las hallacas.

Para facilitar la hechura de las hallacas, lo ideal es trabajar en serie. Una vez que se tiene la primera envoltura de un lote de hallacas, se hace la segunda envoltura y se va haciendo un lote con doble envoltura para posteriormente amarrar.

Una vez que las hallacas tiene las dos primeras envolturas, se procede a amarrarlas. En el siguiente video se muestra como amarrar correctamente una hallaca:

Una vez amarradas las hallacas se ponen a hervir en una olla grande, una vez que el agua alcanza el punto de ebullición, se cuentan dos horas antes de apagar la ollas y sacarlas.

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Las hallacas se deben dejar escurriendo para que boten el agua acumulada de la cocción, es importante que estén en una superficie planta para que no se deformen, y una vez que hayan enfriado, se guardan en la nevera, la idea es que los sabores se concentren, aunque normalmente la tentación es muy grande y uno se come una hallaca recién bajada de la olla.

Una vez que ya refrigeraron y los sabores se concentraron, se calientan en agua hirviendo, se abren y se comen. ¡Buen provecho!

Análisis de Equilibrio de la Utilidad

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted inició un negocio fabricando y vendiendo tapabocas. Habiendo estudiando los costos y los ingresos generados, ¿qué tanto ha valido la pena este negocio? Es decir, una vez que ha hecho una inversión, ¿ha generado dinero adicional o tiene menos dinero del que tenía antes de iniciar el negocio?

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Una vez que se ha vendido una unidad de un artículo, debemos estudiar la cantidad de dinero que se ha ganado una vez que hemos descontado los costos de producción, a esta ganancia se le conoce como utilidad y de forma general, la ganancia generada por la producción y venta de todas las unidades de un artículo se conoce como utilidad total, esta se calcula restando los costos totales de los ingresos totales. Formalmente, si identificamos los ingresos totales con la variable I, los costos totales con la variable C y la utilidad total con la variable I, entonces podemos definir la siguiente ecuación:

U = I - C

A partir de la Ley de Tricotomía de los números reales, podemos estudiando esta ecuación para analizar el equilibrio entre los ingresos y los costos estableciendo tres casos:

  • Si U < 0, esto quiere decir que los costos totales de producción exceden los ingresos totales obtenidos por las ventas, en este caso decimos que existe una pérdida.
  • Si U > 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas exceden los costos totales de producción, en este caso decimos que existe una ganancia, aunque también podemos decir que existe una utilidad.
  • Si U = 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas son iguales a los costos totales de producción, en este caso decimos que existe un equilibrio.

Si consideramos el plano cartesiano, ubicando la cantidad de unidades del artículo (q) en el eje horizontal y la cantidad de dinero (p) en el eje vertical; establecemos una interpretación gráfica de estos casos señalando que existe una pérdida cuando la curva de costos está por encima de la curva de ingresos, existe una ganancia cuando la curva de ingresos están por encima de la curva de costos y particularmente al punto donde ambas curvas se cortan, lo llamamos punto de equilibrio de la utilidad.

Análisis de Equilibrio de la Utilidad | totumat.com

El área roja representa la región de pérdida, es decir, cuando la utilidad es negativa y el área azul representa la región de ganancia, es decir, cuando la utilidad es positiva.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo analizar el equilibrio de las utilidades calculando el punto de equilibrio una vez que ya contamos con las ecuaciones lineales de costos totales e ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = \frac{3}{10}q +40 y la ecuación lineal de ingresos totales p = \frac{6}{5}q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

\frac{3}{10}q +40 = \frac{6}{5}q
\Rightarrow \ \frac{3}{10}q -\frac{6}{5}q = 0-40
\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q = -40
\Rightarrow \ q = \frac{400}{9}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{400}{9} en la ecuación de demanda.

p = \ \frac{3}{10} \cdot \left( \frac{400}{9} \right) + 40
= \ \frac{40}{3} + 40
= \ \frac{160}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{400}{9} , \frac{160}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ejemplo 2

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 6q +60 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 11q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

6q +60 = 11q+0
\Rightarrow \ 6q -11q = 0-60
\Rightarrow \ -5q = -60
\Rightarrow \ q = 12

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=12 en la ecuación de demanda.

p = \ 6 \cdot \left( 12 \right) + 60
= \ 72 + 60
= \ 132

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( 12 , 132 \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Análisis de Equilibrio de la Utilidad | totumat.com
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Ejemplo 3

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 20q +50 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 26q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

20q +50 = 26q
\Rightarrow \ 20q -26q = 0-50
\Rightarrow \ -6q = -50
\Rightarrow \ q = \frac{25}{3}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{25}{3} en la ecuación de demanda.

p = \ 20 \cdot \left( \frac{25}{3} \right) + 50
= \ \frac{500}{3} + 50
= \ \frac{650}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{25}{3} , \frac{650}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Análisis de Equilibrio de la Utilidad | totumat.com

Ecuación Lineal de Ingresos Totales

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. Una vez que ha fabricado los tapabocas, usted fija el precio de venta de cada tapabocas en 100 Ps. De esta forma, si usted vende un tapabocas, habrá recibido un total de 100 Ps.; si usted vende dos tapabocas, habrá recibido un total de 200 Ps.; si usted vende tres tapabocas, habrá recibido un total de 300 Ps.; y de forma sucesiva, si vende q tapabocas, habrá recibido un total de 100 \cdot q Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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La cantidad de dinero recibida por la venta de todas las unidades producidas de un artículo se conoce como ingreso total y de forma general, el ingreso se calcula multiplicando el precio por las cantidades vendidas. Formalmente, si identificamos el precio del artículo con la variable p, las cantidades vendidas con la variable q y el ingreso total con la variable I, entonces podemos definir la siguiente ecuación:

I = p \cdot q

Aunque el precio de un artículo puede variar dependiendo de la cantidad que se oferte de esta, podemos estudiar la relación que guardan la cantidad de unidades vendidas de un artículo con el ingreso total y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por el ingreso total, I; y las cantidades producidas del bien, q.

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades vendidas, también aumenta el ingreso total. Particularmente, si el precio de un artículo es constante, el ingreso estará representado por una recta.

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A la ecuación de la recta de ingresos totales también se le conoce como la ecuación lineal de ingresos totales. Veamos en los siguientes ejemplos, cómo podemos usar la información sobre el precio un artículo para definir la ecuación lineal de ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Un productor de harina de trigo, fija el precio de cada cada kilo de harina en 1,2 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado al vender 60 kilos?

Considerando que el precio kilo de harina es de 0,70 Ps., podemos expresar la ecuación lineal de ingresos totales de la siguiente forma:

I =1,2 \cdot q

Para determinar el costo de fabricar 60 kilos de harina, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor q=60 en ella, de la siguiente forma

I = 1,2 \cdot (60) = 72

Por lo tanto, el ingreso generado por la venta de 60 kilos de harina es de 72 Ps.

La recta I =1,2 \cdot q es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva, su gráfica será una recta creciente y pasa por el punto (60,72).

Ecuación Lineal de Ingresos Totales | totumat.com

Ejemplo 2

Suponga que un agricultor fija el precio de 10 kilos de zanahoria en 115 Ps., y el de 20 kilos de zanahoria en 185 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado por la venta 30 kilos?

Debemos considerar que si el ingreso total es de 110 Ps. por la venta de 10 kilos, podemos representar esta información como un punto (I,q) el plano cartesiano donde q=10 y I=110, es decir, el punto (10,110); de igual forma, si el ingreso total es de 220 Ps. por la venta de 20 kilos, podemos representar esta información con el punto (20,220).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (10,115) y P_2 = (20,185) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{I_2 - I_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{220 - 110}{20 - 10}
= \ \frac{110}{10}
= \ 11

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(I - I_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (I - 110) = 11 \cdot (q - 10)
\Rightarrow \ I - 110 = 11 \cdot q - 110
\Rightarrow \ I = 11 \cdot q - 110 + 110
\Rightarrow \ I = 11 \cdot q

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

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Para determinar el ingreso por la venta de 30 kilos de zanahoria, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor q=30 en ella, de la siguiente forma

I = 11 \cdot (30) = 330

Por lo tanto, el ingreso de cultivar y cosechar 30 kilos de zanahoria es de 330 Ps.

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Ejemplo 3

Suponga que en una fábrica de zapatos fija el precio de venta de 5 pares de zapatos para dama en 130 Ps., y el de 13 pares de zapatos en 338 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de ingresos totales? ¿Cuál es el ingreso generado por la venta de 10 pares de zapatos?

Debemos considerar que si el ingreso total es de 130 Ps. por la venta de 5 pares, podemos representar esta información como el punto (5,130); de igual forma, si el ingreso total es de 338 Ps. por la venta de 13 pares, podemos representar esta información con el punto (13,338).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la \textbf{ecuación punto-punto}. Entonces, si P_1 = (5,130) y P_2 = (13,338) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{I_2 - I_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{338 - 130}{13 - 5}
= \ \frac{208}{8}
= \ 26

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(I - I_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (I - 130) = 26 \cdot (q - 5)
\Rightarrow \ I - 130 = 26 \cdot q - 130
\Rightarrow \ I = 26 \cdot q - 130 + 130
\Rightarrow \ I = 26 \cdot q

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación Lineal de Ingresos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Ecuación Lineal de Ingresos Totales | totumat.com

Para determinar el ingreso generado por la venta de 10 pares de zapatos para dama, debemos considerar la ecuación lineal de ingresos totales y sustituir el valor q=10 en ella, de la siguiente forma

I = 26 \cdot (10) = 260

Por lo tanto, el ingreso generado por la venta de 10 pares de zapatos para dama es de 260 Ps.

Ecuación Lineal de Costos Totales

Anthonny Arias-García4 comentarios

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. En vista de que estos tapabocas no aparecerán por arte de magia para que usted los venda, debe tomar en cuenta la cantidad de dinero que debe invertir para comprar los materiales necesarios y en tal caso que requiera de la ayuda de alguien, debe pagar a esa persona por sus servicios.

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Producir un bien requiere de una inversión de dinero, esta inversión de dinero se conoce como costos de producción y se puede cuantificar a usando modelos matemáticos, pero para esto debemos tener en cuenta que estos se pueden catalogar de dos formas:

  • Costos variables que varían dependiendo principalmente de la cantidad de unidades producidas de dicho bien (nivel de producción) y aunque también pueden depender de otros factores, por ahora nos enfocaremos sólo en el nivel de producción. Usualmente se representan con la variable c_v.
  • Costos fijos que permanecen constantes a través del tiempo, tal como alquiler de locales, salarios de administración, pago de servicios, pago de seguros, etc; y deben pagarse incluso si hay producción o no. Usualmente se representan con la variable c_f.

Considerando esto, definimos costos totales como la suma de los costos variables y los costos fijos. Formalmente, si identificamos los costos totales con la variable c_t o simplemente C, entonces podemos definir la siguiente ecuación:

c_t = c_v + c_f

Si consideramos el caso en el que los costos variables dependen únicamente del nivel de producción, podemos estudiar la relación que guarda la cantidad de unidades producidas de un artículo con los costos totales y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por los costos totales, C; y las cantidades producidas del bien, q.

De forma muy particular, el caso en el que los costos variables son proporcionales al nivel de producción, de forma que si el costo de producir una unidad es de m, entonces los costos variables de producir q unidades están expresados de la siguiente forma:

c_v = m \cdot q

A partir de este hecho y representando los costos fijos con una constante b para establecer una similitud con la forma pendiente-ordenada de la recta, podemos definir los costos totales como una recta, de la siguiente forma:

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Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades producidas, también aumentan los costos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

En una fábrica de harina de trigo, el costo de fabricar cada kilo de harina es de 0,3 Ps. y diariamente, los costos fijos de esta empresa son de 40 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir 60 kilos?

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Considerando que el costo de cada kilo de harina es de 0,3 Ps., concluimos que los costos variables están expresados como c_v = 0,3 \cdot q, y además, los costos fijos son de 40 Ps. De esta forma, podemos expresar la ecuación lineal de costos totales de la siguiente forma:

C = 0,3q + 40

Para determinar el costo de fabricar 60 kilos de harina, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor q=60 en ella, de la siguiente forma

C = 0,3(60) + 40 = 18 + 40 = 58

Por lo tanto, el costo de fabricar 60 kilos de harina es de 58 Ps.

La recta C = 0,3q + 40 es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva, su gráfica será una recta creciente y pasa por el punto (60,58).

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Ejemplo 2

Suponga que para un agricultor, el costo de cultivar y cosechar 10 kilo de zanahoria es de 120 Ps., y el de 20 kilos de zanahoria es de 180 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de cultivar y cosechar 30 kilos?

Debemos considerar que si el costo total es de 120 Ps. para 10 kilos, podemos representar esta información como un punto (C,q) el plano cartesiano donde q=10 y C=120, es decir, el punto (10,120); de igual forma, si el costo total es de 18 Ps. para 20 kilos, podemos representar esta información con el punto (20,180).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (10,120) y P_2 = (20,180) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{C_2 - C_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{180 - 120}{20 - 10}
= \ \frac{60}{10}
= \ 6

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(C - C_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (C - 120) = 6 \cdot (q - 10)
\Rightarrow \ C - 120 = 6 \cdot q - 60
\Rightarrow \ C = 6 \cdot q - 60 + 120
\Rightarrow \ C = 6 \cdot q + 60

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Costos Totales | totumat.com

Para determinar el costo de cultivar y cosechar 30 kilos de zanahoria, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor q=30 en ella, de la siguiente forma

C = 6 \cdot (30) + 60 = 180 + 60 = 240

Por lo tanto, el costo de cultivar y cosechar 30 kilos de zanahoria es de 240 Ps.

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Ejemplo 3

Suponga que en una fábrica de zapatos, el costo producir 5 pares de zapatos para dama es de 150 Ps., y el de 13 pares de zapatos es de 310 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir 10 pares de zapatos?

Debemos considerar que si el costo total es de 150 Ps. para 5 pares, podemos representar esta información como el punto (5,150); de igual forma, si el costo total es de 310 Ps. para 13 pares, podemos representar esta información con el punto (13,310).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la \textbf{ecuación punto-punto}. Entonces, si P_1 = (5,150) y P_2 = (13,310) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{C_2 - C_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{310 - 150}{13 - 5}
= \ \frac{160}{8}
= \ 20

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(C - C_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (C - 150) = 20 \cdot (q - 5)
\Rightarrow \ C - 150 = 20 \cdot q - 100
\Rightarrow \ C = 20 \cdot q - 100 + 150
\Rightarrow \ C = 20 \cdot q + 50

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

Costos Totales | totumat.com

Para determinar el costo de producir 10 pares de zapatos para dama, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor q=10 en ella, de la siguiente forma

C = 20 \cdot (10) + 50 = 20 + 50 = 70

Por lo tanto, el costo de producir 30 pares de zapatos para dama es de 70 Ps.

Excedente de los Consumidores y de los Productores

Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso lineal

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar el mercado, es notorio que los productores siempre querrán vender a un precio elevado y los consumidores siempre querrán comprar a un precio bajo. El punto de equilibrio del mercado permite establecer un consenso entre las dos partes, sin embargo, ¿qué tanto beneficia este consenso a las partes?

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Excedente de los Consumidores

Suponga que usted va al supermercado con el objetivo de comprar un producto y que cuando lo va a pagar, recibe la grata sorpresa de que está más barato de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de demanda de un determinado artículo, podemos notar que si se fija el precio de cada unidad en p_1 Perolitos (Ps.), los consumidores estarán dispuestos a comprar q_1 unidades de dicho artículo.

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Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio (q_0,p_0) Ps., podemos notar que aquellos consumidores que están dispuestos a comprar q_1 unidades cuando el precio se había fijado en p_1 Ps., ahora comprarán las mismas q_1 unidades pagando cada unidad en un menor precio de p_0 Ps.

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De esta forma, si un consumidor pensaba gastar p_1 \cdot q_1 Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, gastará p_0 \cdot q_1 Ps. Esto genera un beneficio para los consumidores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los consumidores piensan comprar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad q_0, fijada por el punto de equilibrio. El gasto que pagarían originalmente, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda de la siguiente forma,

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Pero como al final los consumidores están pagando un precio de p_0 Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo de la recta de demanda y por encima del precio de equilibrio de la siguiente forma,

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El área que representa el beneficio para los consumidores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Consumidores o Superávit de los Consumidores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de demanda, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por q_0 y si llamamos D al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por D - p_0.

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Por lo tanto calculamos el excedente de los consumidores planteando la siguiente fórmula:

E.C. \ = \ \frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2}

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Excedente de los Productores

Suponga que usted es productor de un artículo pero luego de estudiar los costos y un posible precio de venta para recibir unos ingresos aceptables, recibe la grata sorpresa de que puede fijar un precio por encima de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la recta de oferta de un determinado artículo, podemos notar que los productores estarán dispuestos a ofertar q_1 unidades de dicho artículo si se fija el precio de cada unidad en p_1 Perolitos (Ps.),

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Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio (q_0,p_0) Ps., podemos notar que aquellos productores que están dispuestos a ofertar q_1 unidades cuando el precio se había fijado en p_1 Ps., ahora ofertarán las mismas q_1 unidades vendiendo cada unidad en un mayor precio de p_0 Ps.

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De esta forma, si un productor pensaba recibir p_1 \cdot q_1 Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, recibir p_0 \cdot q_1 Ps. Esto genera un beneficio para los productores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los productores piensan ofertar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad q_0, fijada por el punto de equilibrio. Los ingresos que recibirían originalmente, están representado por el área que está debajo de la recta de oferta de la siguiente forma,

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Pero como al final los productores están vendiendo a un precio de p_0 Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo del precio de equilibrio y por encima de la recta de oferta de la siguiente forma,

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El área que representa el beneficio para los productores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Productores o Superávit de los Productores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la recta de oferta, la recta del precio de equilibrio y el Eje P.

Recordemos que el área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, dividido entre dos. La longitud de la base está dada por q_0 y si llamamos O al punto de intersección de la recta de demanda con el Eje P, su altura está dada por p_0 - O.

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Por lo tanto calculamos el excedente de los productores planteando la siguiente fórmula:

E.P. \ = \ \frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2}

Consideremos en los siguientes ejemplos cómo calcular el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes considerando la curva de demanda y la curva de oferta del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{67}{100}q +126 y la ecuación de oferta p = \frac{13}{25}q +36, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

-\frac{67}{100}q +126 = \frac{13}{25}q+36

\Rightarrow \ -\frac{67}{100}q - \frac{13}{25}q = 36-126

\Rightarrow \ -\frac{119}{100}q = -90

\Rightarrow \ q = \frac{9000}{119}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{9000}{119} en la ecuación de demanda.

p = \ -\frac{67}{100} \cdot \left( \frac{9000}{119} \right) + 126

= \ -\frac{6030}{119} + 126

= \ \frac{8964}{119}

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( \frac{9000}{119} , \frac{8964}{119} \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

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Calculamos el Excedente de los Consumidores:

\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{9000}{119} \cdot \left( 126 - \frac{8964}{119} \right)}{2} = \frac{27135000}{14161} \approx 1916.18

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{9000}{119} \cdot \left( \frac{8964}{119} - 36 \right)}{2} = \frac{21060000}{14161} \approx 1487.18

Ejemplo 2

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{9}{10}q +104 y la ecuación de oferta p = \frac{27}{100}q +46, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

-\frac{9}{10}q +104 = \frac{27}{100}q+46

\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q -\frac{27}{100}q = 46-104

\Rightarrow \ -\frac{117}{100}q = -58

\Rightarrow \ q = \frac{5800}{117}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{5800}{117} en la ecuación de demanda.

p = \ -\frac{9}{10} \cdot \left( \frac{5800}{117} \right) + 104

= \ -\frac{580}{13} + 104

= \ \frac{772}{13}

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( \frac{5800}{117} , \frac{772}{13} \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

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Calculamos el Excedente de los Consumidores:

\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{5800}{117} \cdot \left( 104 - \frac{772}{13} \right)}{2} = \frac{1682000}{1521} \approx 1105.85

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{5800}{117} \cdot \left( \frac{772}{13} - 46 \right)}{2} = \frac{168200}{507} \approx 331.76

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Ejemplo 3

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{12}{25}q +171 y la ecuación de oferta p = \frac{3}{50}q +36, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

-\frac{12}{25}q +171 = \frac{3}{50}q+36

\Rightarrow \ -\frac{12}{25}q -\frac{3}{50}q = 36-171

\Rightarrow \ -\frac{27}{50}q = -135

\Rightarrow \ q = 250

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=250 en la ecuación de demanda.

p = \ -\frac{12}{25} \cdot \left( 250 \right) + 171

= \ -120 + 171

= \ 51

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( 250 , 51 \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

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Calculamos el Excedente de los Consumidores:

\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ 250 \cdot \left( 171 - 51 \right)}{2} = 15000

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ 250 \cdot \left( 51 - 36 \right)}{2} = 1875

Ejemplo 4

Considerando la ecuación de demanda p = -\frac{1}{10}q +115 y la ecuación de oferta p = \frac{87}{100}q +11, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

-\frac{1}{10}q +115 = \frac{87}{100}q+11

\Rightarrow \ -\frac{1}{10}q -\frac{87}{100}q = 11-115

\Rightarrow \ -\frac{97}{100}q = -104

\Rightarrow \ q = \frac{10400}{97}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{10400}{97} en la ecuación de demanda.

p = \ -\frac{1}{10} \cdot \left( \frac{10400}{97} \right) + 115

= \ -\frac{1040}{97} + 115

= \ \frac{10115}{97}

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado \left( \frac{10400}{97} , \frac{10115}{97} \right). Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

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Calculamos el Excedente de los Consumidores:

\frac{q_0 \cdot (D - p_0)}{2} = \frac{ \frac{10400}{97} \cdot \left( 115 - \frac{10115}{97} \right)}{2} = \frac{5408000}{9409} \approx 574.77

Calculamos el Excedente de los Fabricantes:

\frac{q_0 \cdot (p_0 - O)}{2} = \frac{ \frac{10400}{97} \cdot \left( \frac{10115}{97} - 11 \right)}{2} = \frac{47049600}{9409} \approx 5000.49