Ejercicios Propuestos – Derivadas Parciales

10.01.202201.03.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

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Dadas las siguientes funciones definidas en varias variables.

Calcule las siguientes derivadas parciales:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ , $\dfrac{\partial f}{\partial y}$

Posteriormente, calcule las siguientes derivadas parciales de orden superior:

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ , $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ , $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ , $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ .

$f(x,y)=x$
$f(x,y)=-2y$
$f(x,y)=13xy$
$f(x,y)=5 x^2 y^2$

$f(x,y)=x+y$
$f(x,y)=2y-x$
$f(x,y)=3xy+8\frac{x}{y}+3$
$f(x,y)=5x^2 - 2y^2+xy$

$f(x,y)=\frac{1}{x}$
$f(x,y)=-\frac{3}{y}$
$f(x,y)=\frac{7}{xy}$
$f(x,y)=\frac{15}{x+y}$

$f(x,y)=\frac{2y}{x}$
$f(x,y)=\frac{x}{5y}$
$f(x,y)=\frac{7x+y}{2xy}$
$f(x,y)=\frac{x-4y}{x+y}$

$f(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{y}}$
$f(x,y)=\frac{7\sqrt{x}}{y}$
$f(x,y)=-\frac{x+5y}{xy}$
$f(x,y)=\frac{x-y}{9x+y}$

$f(x,y)=\sqrt{x}y$
$f(x,y)=-x\sqrt{y}$
$f(x,y)=4\sqrt{x}\sqrt{y}$
$f(x,y)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + x^2y^2+20$

$f(x,y)=x^2+5x^4+y-2y^3+6$
$f(x,y)=5x\sqrt{y}+2x^3-y^2$
$f(x,y)=10\sqrt{x}\sqrt{y}$
$f(x,y)=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + x^2+y^2-15$

$f(x,y)=\ln(x)$
$f(x,y)=\ln(5y)$
$f(x,y)=-\ln(3xy)$
$f(x,y)=\ln(3x+10y)$

$f(x,y)=2\ln(x) \ln(y)$
$f(x,y)=3\ln(y)-x^2$
$f(x,y)=4\ln(xy)-y^3$
$f(x,y)=5\ln(x+y)+8x^3+y^2$

$f(x,y)={\rm e}^{x}$
$f(x,y)=-{\rm e}^{y}$
$f(x,y)=19{\rm e}^{xy}$
$f(x,y)=-12{\rm e}^{x+y}$

$f(x,y)={\rm e}^{2x^2+5x+y-2y^3+6}$
$f(x,y)={\rm e}^{x\sqrt{y}+x^3+y^2}$
$f(x,y)={\rm e}^{\frac{x-y}{x+y}}$
$f(x,y)={\rm e}^{\ln(x+y)+x^3+y^2}$

Ejercicios Propuestos – Derivación Implícita

10.01.202201.03.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

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Para cada una de las siguientes funciones, calcule $x'$ y $y'$ derivando implícitamente.

$x=0$
$-y=1$
$5xy=2$
$-4x^2 y^2=3$

$x+y=4$
$3y-x=5$
$5xy+11\frac{x}{y}+3=6$
$6x^2 - 2y^2 + 9xy=7$

$\frac{1}{x}=8$
$-\frac{2}{y}=9$
$\frac{7}{xy}=10x$
$\frac{9}{x+y}=-y$

$\frac{y}{x}=-1$
$-\frac{x}{y}=-2$
$\frac{3x+y}{7xy}=-3$
$\frac{x-5y}{x+y}=-4$

$\frac{3x}{\sqrt{y}}=-5$
$\frac{\sqrt{x}}{10y}=-6$
$\frac{6x+8y}{xy}=-7$
$\frac{x-5y}{2x+y}=-8$

$3\sqrt{x}y=-9$
$-4x\sqrt{y}=-10$
$8\sqrt{x}\sqrt{y}=-x$
$10\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + x^2y^2+20=3x+y$

$x^2+5x^4+y-2y^3+6=2x$
$x\sqrt{y}+x^3+y^2=3x$
$\sqrt{x}\sqrt{y}=4y$
$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + x^2+y^2-15=5y$

$\ln(x)=-2x$
$-2\ln(y)=-3x$
$7\ln(xy)=-4y$
$15\ln(x+y)=-5y$

$2\ln(x)\ln(y)=x+y$
$3\ln(y)+x^2=x-y$
$7\ln(xy)-y^3=2x+2y$
$5\ln(x+y)+x^3+y^2=2x+3y$

${\rm e}^{x}=xy$
$-2{\rm e}^{y}=2xy$
$7{\rm e}^{xy}=3xy$
$-9{\rm e}^{x+y}=4xy$

${\rm e}^{2x^2+5x-2y^3+y+6}=x^2$
${\rm e}^{x\sqrt{y}+x^3+y^2}=x^3$
${\rm e}^{\frac{x-y}{x+y}}=y^4$
${\rm e}^{\ln(x+y)+x^3+y^2}=y^2$

Diferenciales

08.01.202226.01.2024 Anthonny Arias-García6 comentarios

Las diferencias y las razones de cambio son elementos fundamentales para el estudio de funciones diferenciables pues, al sentar estos la base para calcular la derivada de una función, podemos establecer relaciones que permiten aproximar valores de la función a través de su derivada.

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Diferencia de una función

Al estudiar el comportamiento de una función $y=f(x)$ diferenciable en todo su dominio, si consideramos un valor $x$ en el dominio de ella, y $x+h$ un valor incrementado de $x$ , definimos la diferencia entre estos dos valores (la diferencia en x) de la siguiente manera:

$\Delta_x = (x+h) - h = h$

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la función, es decir, de $f(x)$ y $f(x+h)$ ; definimos la diferencia entre estas dos imágenes (la diferencia en y) de la siguiente manera:

$\Delta_y = f(x+h) - f(x)$

Es decir, la diferencia en $y$ mide cuanto varía la función cuando la variable $x$ varía con medida igual a la diferencia en $x$ .

Nota: hemos usado la letra griega delta mayúscula « $\Delta$ » pues es la letra equivalente a la letra «d» en el español.

Estas diferencias se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función $y=f(x)$ :

Diferencias en una función. | totumat.com

El estudio de estas diferencias es de vital importancia para el cálculo de derivadas, pues al considerar valores muy pequeños de la diferencia $\Delta_x$ , el siguiente cociente se aproximará a la derivada de la función $f(x)$ :

$\frac{\Delta_y}{\Delta_x}$

Debemos recordar que la derivada de la función $f(x)$ está definida de la siguiente forma:

$\displaystyle f'(x) = \lim_{\Delta_x \to 0} \frac{\Delta_y}{\Delta_x}$

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Diferencial de una función

Por otra parte, al estudiar el comportamiento de la recta tangente a la función $y=f(x)$ en el punto $\left( x, f(x) \right)$ , llamémosla $t(x)$ . Si consideramos un valor $x$ , y $x+h$ un valor incrementado de $x$ , definimos el diferencial entre estos dos valores (el diferencial de x) de la siguiente manera:

$dx = (x+h) - h = h$

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la recta tangente, es decir, de $t(x)$ y $t(x+h)$ ; definimos el diferencial entre estas dos imágenes (el diferencial de y) de la siguiente manera:

$dy = t(x+h) - t(x)$

Estos diferenciales se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función $y=f(x)$ :

Diferenciales de una función. | totumat.com

El estudio de estos diferenciales es de vital importancia para el cálculo de derivadas, el siguiente cociente, al ser exactamente la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $x$ , es la derivada de la función $f(x)$ :

$\frac{dy}{dx} = f'(x)$

De esta igualdad, podemos despejar $dy$ y así, podemos plantear la siguiente igualdad, que nos define la forma en que se calcula el diferencial de la función $y=f(x)$ :

$dy = f'(x) \cdot dx$

Es decir, el diferencial de $y$ mide cuanto incrementa la pendiente recta tangente cuando la variable $x$ presenta un incremento con medida igual al diferencial de $x$ .

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Relación entre diferenciales y diferencias

Hemos visto que las diferencias y los diferenciales están relacionados íntimamente con la derivada de una función, entonces, notando que la diferencia en $x$ y el diferencial de $x$ son exactamente el mismo elemento, es decir, $\Delta_x = dx$ ; debemos estudiar, con particular interés, la relación entre $\Delta_y$ y $dy$ .

Hemos dicho que el cociente $\frac{\Delta_y}{\Delta_x}$ se aproxima a la derivada de la función, por lo tanto, podemos considerar un número real $\alpha$ que depende de $\Delta_x$ que nos permite establecer la siguiente relación:

$\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = f'(x) + \alpha$

Entonces, al multiplicar en ambos lados de la ecuación por $\Delta_x$ , despejamos $\Delta_y$ obteniendo que

$\Delta_y = f'(x) \cdot \Delta_x + \alpha \cdot \Delta_x \Longleftrightarrow \Delta_y = f'(x) \cdot dx + \alpha \cdot dx$

De esta forma, si nos fijamos que el primer sumando es determinado por $f'(x) \cdot dx$ , que es justamente $dy$ , nos damos cuenta que $\alpha \cdot dx$ que representa el excedente sobre $dy$ . Estos dos sumandos se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función $y=f(x)$ .

Relación entre diferenciales y diferencias | totumat.com

Considerando entonces que $\Delta_y = dy + \alpha \cdot dx$ , a medida que se hace pequeño el diferencial $dx$ también lo hará $\alpha$ , y en consecuencia, se hará aún más pequeño el producto $\alpha \cdot dx$ . Por lo tanto,

Si $dx \to 0$ , entonces $\Delta_y \to dy$

Concluimos entonces, que el diferencial de $y$ es una aproximación lineal (a través de la recta tangente a la curva) de la diferencia de $y$ , es decir,

$\Delta_y \approx dy = f'(x) \cdot dx$

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Cálculo del diferencial de una función

Si consideramos una función $y=f(x)$ , el diferencial de esta puede expresarse de las siguientes formas:

$dy$ ó $df$

En los siguientes ejemplos, veremos como calcular el diferencial de una función.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función $y = x^2$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = 2x \ dx$

Ejemplo 2

Considerando la función $y = 6x^{10} + 13x + 20$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = (60x^9 + 13) \ dx$

Ejemplo 3

Considerando la función $y = \textit{\Large e}^{3x^5}$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = 15x^4 \cdot \textit{\Large e}^{3x^5} \ dx$

Ejemplo 4

Considerando la función $y = \ln (9x^3 + 12x^2 + 7x + 10)$ , para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

$dy = \dfrac{27x^2 + 24x + 7}{9x^3 + 12x^2 + 7x + 10} \ dx$

Pregunta de Reddit: ¿Cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?

07.12.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Mientras ojeaba reddit, me topé con este problema que comparte el usuario u/already_taken-chan, en el cual señala que «no encontró la respuesta». Una de las las respuestas con más puntaje me pareció extremadamente larga y la segunda con más puntaje, me pareció muy corta. Así que les comparto mi apreciación.

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r/askmath - I couldn't find the answer to this question, asked my math teacher and he couldn't find it either, tried going into Δ > 0 but that gave me no answer, tried (-b +- sqrt(Δ))/2a but that just left me p being in a range that didn't give any of the answers, is the question wrong?

La pregunta está planteada en Turco, la traducción correcta al inglés sería: «If the equation has two different real roots, what is the sum of the integer values p can take?», y al español, sería: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«.

Primero debemos considerar la ecuación que se plantea y reescribirla como una ecuación cuadrática de la forma $ax^2+bx+c=0$ para que sea más fácil identificar los elementos involucrados en ella.

$-x^2 + px + 3 = (x+2)^2$

$\Rightarrow -x^2 + px + 3 = x^2 - 4x + 4$

$\Rightarrow -x^2 + px + 3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

$\Rightarrow -2x^2 + (p+4)x - 1 = 0$

$\Rightarrow 2x^2 - (p+4)x + 1 = 0$

Ya que hemos reescrito esta ecuación, debemos tomar en cuenta que para que una ecuación de la forma $ax^2+bx+c=0$ tenga dos soluciones distintas, el discriminante de ella debe ser positivo, es decir,

$b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$

Entonces, identificando $a=2$ , $b=-(p+4)$ y $c=1$ , tenemos que

$\left( -(p+4) \right)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (1) > 0$

$\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0$

$\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 > 8$

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En este punto pudiéramos plantear una Inecuación Cuadrática para calcular todos los valores para los cuales $\left( p+4 \right)^2 - 8 > 0$ , pero resultará más fácil buscar los valores para los cuales sucede lo contrario, y descartar dichos valores.

Podemos tantear los valores de $p$ para los cuales $\left( p+4 \right)^2 \leq 8$ y estos son: $-2$ , $-3$ , $-4$ , $-5$ y $-6$ ; pues, si consideramos alguno de estos valores, digamos $p=-2$ , tenemos que

$\left( -2+4 \right)^2 < 8$

$\Rightarrow \left( 2 \right)^2 < 8$

$\Rightarrow 4 < 8$

Entonces, retomando la pregunta original: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«, los valores que $p$ puede tomar son todos los enteros mayores que $-2$ o todos los valores enteros menores que $-6$ , es decir, todos los valores de $p$ tales que

$p \in (-\infty,-6) \cup (-2,\infty)$ , con $p \in \mathbb{Z}$

pero no tiene sentido considerar la suma de todos estos valores.

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Aunque si queremos darle la vuelta a la cosa, podemos darnos cuenta que al sumar los números que no cumplen con la condición, es decir, $-2$ , $-3$ , $-4$ , $-5$ y $-6$ ; y los sumamos, el resultado será el siguiente:

$-2 -3 -4 -5 -6 = -20$

Que es justamente la opción «A)» planteada entre las soluciones.

Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad

06.12.202106.12.2021 Anthonny Arias-García7 comentarios

Uno de los propósitos de estudiar funciones de ingreso, costo y utilidad es de obtener los mejores resultados posibles, a esto se le conoce como optimización, sin embargo, debemos primero aclarar a qué nos referimos con los mejores resultados posibles.

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Al definir funciones de Ingreso $I(q)$ , Costo $C(q)$ y Utilidad $U(q)$ ; definamos cuales son los valores de $q$ para los cuales estas funciones alcanzan su valor óptimo:

$I(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $I(q_0)$ es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los ingresos más altos.
$C(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $C(q_0)$ es un mínimo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los costos más bajos.
$U(q)$ alcanza su valor óptimo en $q_0$ si el valor $U(q_0)$ es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular las utilidades más altas.

De esta forma, es posible optimizar usando las herramientas que nos proveen las derivadas para calcular máximos y mínimos. Veamos en los siguientes ejemplos como optimizar funciones de ingreso, costo y utilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las funciones que miden el costo e ingreso por la producción venta de $q$ lavadoras, definidas de la siguiente forma:

$C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3$

$I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2$

$U(q) = I(q) - C(q)$

Suponiendo que la producción tiene un tope de 20 lavadoras. Determine los ingresos óptimos, los costos óptimos y las utilidades óptimas.

Tomando en cuenta que la producción tiene un tope de 20 lavadoras, dichas funciones están definidas en el intervalo $[0,20]$ . Entonces, debemos calcular los extremos relativos y los valores de la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ , para comparar y determinar los extremos absolutos.

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Empezando por la función de costos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$C'(q) = \frac{6900}{5833} \cdot q^2$

La derivada de la función de costos $C'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$C''(q) = \frac{13800}{5833} \cdot q$

Evaluamos la segunda derivada de la función de costos $C''(q)$ en $q=0$ y obtenemos que

$C''(0) = \frac{13800}{5833} \cdot (0) = 0$

A partir de este resultado concluimos que la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo en $q=0$ . Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$C(0) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \approx 0.4626$

$C(20) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \approx 3154.92$

En vista de que $C(0)$ es el menor de ambos valores, concluimos que la función de costos alcanza un mínimo absoluto en $q=0$ , es decir, los costos más bajos son de $C(0) = 0.4626$ que es precisamente cuando no hay producción.

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Continuamos con la función de ingresos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$I'(q) = \frac{72}{13} \cdot q$

La derivada de la función de ingresos $I'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$I''(q) = \frac{72}{13}$

Evaluamos la segunda derivada de la función de ingresos $I''(q)$ en $q=0$ y obtenemos que

$I''(0) = \frac{72}{13}$

Al ser $\frac{72}{13}$ un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en $q=0$ . Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$I(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 \approx 4.82$

$I(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 \approx 1112.52$

En vista de que $I(20)$ es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de ingresos alcanza un máximo absoluto en $q=20$ , es decir, los ingresos más altos son de $I(20) = 1112.52$ que es precisamente cuando se llega al tope de la producción.

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Finalizamos con la función de utilidades, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

$U'(q) = \frac{72}{13} \cdot q - \frac{6900}{5833} \cdot q^2$

La derivada de la función de utilidades $U'(q)$ es igual a cero cuando $q=0$ o cuando $q=4.68$ , por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

$U''(q) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot q$

Evaluamos la segunda derivada de la función de utilidades $U''(q)$ en $q=0$ y en $q=4.68$ , obtenemos que

$U''(0) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (0) = \frac{72}{13}$

Al ser $\frac{72}{13}$ un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en $q=0$ .

$U''(4.68) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (4.68) \approx -5.5337$

Al ser $-5.5337$ un valor negativo, concluimos que la función alcanza un máximo relativo en $q=4.68$ . Evaluamos la función de utilidades en este valor pues es de nuestro interés:

$U(4.68) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (4.68)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (4.68)^3 \right) \approx 24.60$

Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo $[0,20]$ . Esto es,

$U(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \right) \approx 4.3574$

$U(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \right) \approx -2042.4$

En vista de que $U(4.68)$ es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de utilidades alcanza un máximo absoluto en $q=4.68$ , es decir, las utilidades más altas son de $U(4.68) = 24.60$ que es cuando se producen y se venden aproximadamente 5 lavadoras.

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Diferencia de una función

Diferencial de una función

Relación entre diferenciales y diferencias

Cálculo del diferencial de una función

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

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Ejemplos

Ejemplo 1

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