Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – El punto de intersección entre dos rectas

Anthonny Arias-García1 comentario
Anuncios

Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Determine si las rectas l_{i} y l_{i+1} son paralelas o no, en caso de que se corten determine si son perpendiculares y calcule el punto de intersección entre ellas; además, dibuje una representación gráfica de ambas rectas en el plano cartesiano, indicado el punto de intersección.

  1. l_{1} :y = 8 - x \text{ y } l_{2} :y = \frac{1}{2} x - 2
  2. l_{3} :y = 8x + 10 \text{ y } l_{4} :y = 8 x - 8
  3. l_{5} :y = -7 x + 9 \text{ y } l_{6} :y = \frac{1}{7} x - 6
  4. l_{7} :y = - 7 x - 9 \text{ y } l_{8} :y = 4 - 6 x
  1. l_{9} :y = - 10 x - 6 \text{ y } l_{10} :y = \frac{1}{2} x - 6
  2. l_{11} :y = 4 x - 4 \text{ y } l_{12} :y = 9 x + 1
  3. l_{13} :y = - 9 x - 9 \text{ y } l_{14} :y = -\frac{1}{7} x - 9
  4. l_{15} :y = 8 - 3 x \text{ y } l_{16} :y = 4 x - 2
  1. l_{17} :y = 5 x - 7 \text{ y } l_{18} :y = \frac{1}{2} x - 3
  2. l_{19} :y = 3 x + 1 \text{ y } l_{20} :y = 4 x + 1
  3. l_{21} :y = 8 x - 2 \text{ y } l_{22} :y = -\frac{1}{4} x + 5
  4. l_{23} :y = x + 6 \text{ y } l_{24} :y = 10 x + 8
  1. l_{25} :y = 8 x - 2 \text{ y } l_{26} :y = -\frac{1}{9} x + 9
  2. l_{27} :y = - 6 x - 2 \text{ y } l_{28} :y = 2 - 9 x
  3. l_{29} :y = 7 x + 4 \text{ y } l_{30} :y = -\frac{1}{7} x - 8
  4. l_{31} :y = 2 x - 10 \text{ y } l_{32} :y = 9 x + 4
  1. l_{33} :y = 9 x + 1 \text{ y } l_{34} :y = -\frac{1}{7} x + 6
  2. l_{35} :y = 9 x + 1 \text{ y } l_{36} :y = - 6 x - 8
  3. l_{37} :y = 2 - 2 x \text{ y } l_{38} :y = - x - 5
  4. l_{39} :y = 8 x + 4 \text{ y } l_{40} :y = 10 - 3 x
  1. l_{41} :y = 7 - 4 x \text{ y } l_{42} :y = -\frac{1}{3} x + 8
  2. l_{43} :y = 5 - 10 x \text{ y } l_{44} :y = x + 4
  3. l_{45} :y = -4 x + 2 \text{ y } l_{46} :y = \frac{1}{4} x + 4
  4. l_{47} :y = - 2 x - 8 \text{ y } l_{48} :y = 2 - 8 x
Anuncios
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ecuación de la Recta

Anthonny Arias-García1 comentario
Anuncios

Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Ecuación Punto-Pendiente

Calcule la ecuación general de la recta l que pasa por el punto indicado P_i y tiene pendiente m; además, dibuje una representación gráfica de la misma en el plano cartesiano.

  1. P_{1}=\left(4,-2\right); \ m = \frac{7}{8}
  2. P_{2}=\left(1,7\right); \ m = 6
  3. P_{3}=\left(-6,4\right); \ m = \frac{5}{4}
  4. P_{4}=\left(-8,3\right); \ m = -9
  1. P_{5}=\left(-2,5\right); \ m = -1
  2. P_{6}=\left(7,-4\right); \ m = 6
  3. P_{7}=\left(-6,7\right); \ m = \frac{2}{3}
  4. P_{8}=\left(10,-4\right); \ m = 6
  1. P_{9}=\left(-2,-5\right); \ m = 1
  2. P_{10}=\left(-7,-3\right); \ m = 6
  3. P_{11}=\left(5,-4\right); \ m = 1
  4. P_{12}=\left(4,-4\right); \ m = 7
  1. P_{13}=\left(-5,-8\right); \ m = \frac{1}{2}
  2. P_{14}=\left(-9,8\right); \ m = -2
  3. P_{15}=\left(-5,-6\right); \ m = \frac{3}{2}
  4. P_{16}=\left(-3,3\right); \ m = 9
  1. P_{17}=\left(-4,6\right); \ m = 4
  2. P_{18}=\left(5,9\right); \ m = 2
  3. P_{19}=\left(-10,-9\right); \ m = -5
  4. P_{20}=\left(-4,5\right); \ m = 4

Ecuación Punto-Punto

Calcule la ecuación general de la recta l que pasa por los puntos indicados P_i y P_{i+1}; además, dibuje una representación gráfica de la misma en el plano cartesiano.

  1. P_{1}=\left(-7,8\right) \text{ y } P_{2}=\left(9,8\right)
  2. P_{3}=\left(-8,8\right) \text{ y } P_{4}=\left(-2,6\right)
  3. P_{5}=\left(8,-5\right) \text{ y } P_{6}=\left(7,-3\right)
  4. P_{7}=\left(3,-4\right) \text{ y } P_{8}=\left(-6,-4\right)
  1. P_{9}=\left(-9,6\right) \text{ y } P_{10}=\left(-5,-1\right)
  2. P_{11}=\left(-2,-2\right) \text{ y } P_{12}=\left(-5,1\right)
  3. P_{13}=\left(2,7\right) \text{ y } P_{14}=\left(3,9\right)
  4. P_{15}=\left(10,-2\right) \text{ y } P_{16}=\left(-10,-4\right)
  1. P_{17}=\left(-4,-3\right) \text{ y } P_{18}=\left(-4,-3\right)
  2. P_{19}=\left(5,-4\right) \text{ y } P_{20}=\left(-10,8\right)
  3. P_{21}=\left(7,-6\right) \text{ y } P_{22}=\left(-1,6\right)
  4. P_{23}=\left(6,-2\right) \text{ y } P_{24}=\left(-8,8\right)
  1. P_{25}=\left(-8,-10\right) \text{ y } P_{26}=\left(7,7\right)
  2. P_{27}=\left(9,8\right) \text{ y } P_{28}=\left(3,7\right)
  3. P_{29}=\left(-3,-1\right) \text{ y } P_{30}=\left(-2,9\right)
  4. P_{31}=\left(-6,9\right) \text{ y } P_{32}=\left(4,-8\right)
  1. P_{33}=\left(10,-8\right) \text{ y } P_{34}=\left(8,-8\right)
  2. P_{35}=\left(3,-7\right) \text{ y } P_{36}=\left(7,-4\right)
  3. P_{37}=\left(-8,-5\right) \text{ y } P_{38}=\left(-1,-10\right)
  4. P_{39}=\left(-6,5\right) \text{ y } P_{40}=\left(-6,-3\right)
Anuncios
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Inecuaciones Lineales con Valor Absoluto

Anthonny Arias-García1 comentario
Anuncios

Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Calcule el conjunto solución de la inecuación planteada. Escriba el conjunto solución de forma comprensiva y dibuje en la recta real, una representación gráfica de dicho conjunto.

  1. |x| < 1
  2. |x| \leq -4
  3. |x| > -5
  4. |x| \geq 2

  1. |x - 7| < 4
  2. |x - 3| \leq -7
  3. |x - 3| > -10
  4. |x + 2| \geq 1

  1. |10 - 4 x| < 10 - 4 x
  2. |7 x + 6| \leq 8 + 4 x
  3. |2 x - 10| > 1 - 10 x
  4. |- 3 x - 9| \geq 7 x - 10

  1. |9 x + 5| < 8 x + 8
  2. |- x - 8| \leq 10 x + 2
  3. |10 - 4 x| > 7 x + 9
  4. |2 - 3 x| \geq - x - 6

Anuncios
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Inecuaciones Polinómicas (Tabla de Signos)

Anthonny Arias-García1 comentario
Anuncios

Calcule la solución de la ecuación polinómica planteada (igualando toda la expresión a cero, agrupando todos los elementos en el lado izquierdo de la igualdad) y posteriormente factorice la expresión polinómica resultante para usar una Tabla de Análisis de Signos. Escriba los conjuntos solución y además, represente la solución gráficamente en la recta real.

  1. x^{2} - 9 x + 25 < x + 1
  2. x^{2} + 9 x + 3 \leq x - 4
  3. x^{2} - 3 x - 41 > x - 9
  4. x^{2} + 2 x - 4 \geq x + 2

  1. - 7 x^{2} - 23 x - 30 < - 3 x^{2} + 21 x + 90
  2. 6 x^{2} + 105 x + 450 \leq 9 x^{2} + 135 x + 450
  3. x^{2} - 17 x + 82 > 2 x^{2} - 18 x + 40
  4. - 4 x^{2} - 52 x - 288 \geq 4 x^{2} - 4 x - 224

  1. - 9 x^{3} + 3 x^{2} + 360 x + 636 < - 8 x^{3} + 8 x^{2} + 368 x + 640
  2. 3 x^{3} - 180 x^{2} - 529 x - 1534 \leq 8 x^{3} - 80 x^{2} + 136 x - 64
  3. 2 x^{3} - x^{2} - 142 x - 75 > 3 x^{3} + 12 x^{2} - 111 x - 120
  4. x^{3} - 117 x^{2} + 422 x + 3600 \geq 9 x^{3} - 117 x^{2} - 90 x + 3600

  1. 9 x^{4} - 12 x^{3} - 81 x^{2} + 2628 x - 3360 < 3 x^{4} + 42 x^{3} + 183 x^{2} + 252 x
  2. 12 x^{4} + 62 x^{3} - 194 x^{2} - 570 x + 2250 \leq 7 x^{4} + 77 x^{3} + 21 x^{2} - 945 x
  3. 3 x^{4} - 20 x^{3} - 122 x^{2} + 90 x + 5040 > 10 x^{4} - 90 x^{3} - 570 x^{2} + 4570 x + 5040
  4. 7 x^{4} - 6 x^{3} - 556 x^{2} + 1392 x + 1920 \geq x^{4} - 16 x^{2}

Anuncios

R: Práctica de Análisis de Regresión con Dos Variables

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Análisis de Regresión con Dos Variables

A continuación encontrarán el script que se ha desarrollado durante las clases de Econometría 1 para el tema de Análisis de Regresión con Dos Variables. Puede copiar y pegar este script en un editor de R para correr las instrucciones junto a las notas de clases.

#----Econometría 1 - Prof. Anthonny Arias----#

#--Limpiamos nuestro espacio de trabajo--#

rm(); rm(list=ls())
cat("\014")

# Definimos la variable escolaridad y su media.
# Para esto, usamos la instrucción c() para definir vector.
# Y usamos la instrucción mean() para definir la media.

escolaridad <- c(6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18)
m.escolaridad <- mean(escolaridad)

# Definimos la variable salario y su media.

salario <- c(4.4567,5.77,5.9787,7.3317,7.3182,6.5844,7.8182,7.8351,11.0223,10.6738,10.8361,13.615,13.531)
m.salario <- mean(salario)

# Hacemos un gráfico de dispersión de estas dos variables.

plot(escolaridad,salario)

# Una vez obtenidos estos valores, podemos calcular los estimadores beta1 y beta2.

beta2 <- sum( (escolaridad-m.escolaridad)*(salario-m.salario) )/sum( (escolaridad-m.escolaridad)^2 )
beta2

beta1 <- m.salario - beta2*m.escolaridad
beta1

# Calculamos los valores estimados del salario.

salario.e <- beta1 + beta2*escolaridad
salario.e

# Calculamos los residuos.

residuos <- salario - salario.e
residuos

# Calculamos la var.e.

var.e <- sum( (residuos)^2 )/(length(salario)-2)

var.e
# Caculamos el error estándar, aplicando la raíz cuadrada a la var.e.

error.s <- sqrt(var.e)
error.s

# Calculamos la var.e de beta2

v.beta2 <- var.e/sum( (escolaridad-m.escolaridad)^2 )
v.beta2

# Calculamos el error estándar de beta2

es.beta2 <- sqrt(v.beta2)
es.beta2

# Para calcular el intervalo de confianza de beta2, consideramos t=1.7959

li.beta2 <- beta2 - qt(0.975,df=length(escolaridad)-2)*es.beta2
li.beta2

ls.beta2 <- beta2 + qt(0.975,df=length(escolaridad)-2)*es.beta2
ls.beta2

# Calculamos la var.e de beta1.

v.beta1 <- var.e*sum( escolaridad^2 )/(length(escolaridad) * sum( (escolaridad-m.escolaridad)^2 ))
v.beta1

# Calculamos el error estándar de beta1

es.beta1 <- sqrt(v.beta1)
es.beta1

# Para calcular el intervalo de confianza de beta1, consideramos t=1.7959

li.beta1 <- beta1 - qt(0.975,df=length(escolaridad)-2)*es.beta1
li.beta1

ls.beta1 <- beta1 + qt(0.975,df=length(escolaridad)-2)*es.beta1
ls.beta1

# Para hacer la prueba de hipótesis bilateral, determinamos el t-calculado.
t.c <- (beta2-0.70)/es.beta2
t.c # Como t.c está fuera del intervalo (-2.201,2.201) entonces rechazamos la hipótesis nula.
qt(0.025,df=length(escolaridad)-2)
qt(0.975,df=length(escolaridad)-2)


# Para hacer la prueba de hipótesis unilateral, determinamos el t-calculado.
t.c <- (beta2-0.50)/es.beta2
t.c # Como t.c está fuera del intervalo (-2.201,2.201) entonces rechazamos la hipótesis nula.
qt(0.95,df=length(escolaridad)-2)

# Calculamos ahora, el intervalo de confianza para chi-cuadrado
li.var.e <- (length(escolaridad)-2)*var.e/qchisq(0.975,df=11)
li.var.e

ls.var.e <- (length(escolaridad)-2)*var.e/qchisq(0.025,df=11)
ls.var.e

# Como la hipótesis nula indica que la varianza es igual a 0.6, entonces no rechazamos esta hipótesis.

# Podemos también llevar a cabo esta prueba con el estadístico chi-cuadrado. Para esto, calculamos el estadístico chi-cuadrado.

chi.c <- (length(escolaridad)-2)*var.e/0.6
chi.c

li.chi <- qchisq(0.025,df=df=length(escolaridad)-2)
li.chi
ls.chi <- qchisq(0.975,df=df=length(escolaridad)-2)
ls.chi

# Éste está dentro del intervalo [ qchisq(0.025,df=df=length(escolaridad)-2) ; qchisq(0.025,df=df=length(escolaridad)-2) ], por lo tanto, no se rechaza H0.

# Calculamos la suma de los cuadrados explicada.

SCE.escolaridad <- beta2^2*sum( (escolaridad-m.escolaridad)^2 )
SCP.escolaridad <- SCE.escolaridad/1
SCP.escolaridad

# Calculamos la suma de los cuadrados de los residuos.

SCR.residuos <- sum(residuos^2)
SCP.residuos <- SCR.residuos/(length(escolaridad)-2)
SCP.residuos

# Calculamos la suma de los cuadrados totales.

SCT.salarios <- sum( (salario-m.salario)^2 )
SCP.salarios <- SCT.salarios/(length(salario)-1)
SCP.salarios

# Calculamos ahora el valor F (F calculado).

F.c <- SCP.escolaridad/SCP.residuos
F.c

# Calculamos el p-value (valor-p) para este F calculado.

pf(F.c,1,length(escolaridad)-2,lower.tail = F)

# Verificamos que se cumple el teorema

t.c <- (beta2-0)/es.beta2
t.c
t.c^2
F.c

# Predicción de la Media

escolaridad.0 <- 20
salario.0 <- beta1 + beta2*escolaridad.0
salario.0

# Calculamos la varianza de la predicción.

varm.salario.0 <- var.e*(1/length(escolaridad)+(escolaridad.0-m.escolaridad)^2/sum((escolaridad-m.escolaridad)^2))
varm.salario.0

# Calculamos ahora el error estándar.

eem.salario.0<- sqrt(varm.salario.0)
eem.salario.0

# Calculamos el intervalo de confianza para salario.0

li.salario.0 <- beta1 + beta2*escolaridad.0 - qt(0.025,df=length(escolaridad)-2,lower.tail = FALSE)*eem.salario.0
li.salario.0

ls.salario.0 <- beta1 + beta2*escolaridad.0 + qt(0.025,df=length(escolaridad)-2,lower.tail = FALSE)*eem.salario.0
ls.salario.0

# Predicción Individual

# Calculamos la varianza de la predicción.

vari.salario.0 <- var.e*(1+1/length(escolaridad)+(escolaridad.0-m.escolaridad)^2/sum((escolaridad-m.escolaridad)^2))
vari.salario.0

# Calculamos ahora el error estándar.

eei.salario.0<- sqrt(vari.salario.0)
eei.salario.0

# Calculamos el intervalo de confianza para salario.0

li.salario.0 <- beta1 + beta2*escolaridad.0 - qt(0.025,df=length(escolaridad)-2,lower.tail = FALSE)*eei.salario.0
li.salario.0

ls.salario.0 <- beta1 + beta2*escolaridad.0 + qt(0.025,df=length(escolaridad)-2,lower.tail = FALSE)*eei.salario.0
ls.salario.0

#----Análisis de Residuos----#

#--Análisis de Correlación--#

# Gráfico de dispersión para los residuos.

plot(residuos)

# Hacemos la gráfica de la función de autocorrelación.
# Si todaslas barras están por debajo de las líneas azules, esto indica que no hay autocorrelación.
# https://www.reddit.com/r/AskStatistics/comments/5kiix2/interpret_acfpacf_dataplots_in_r/

acf(residuos)

# Hacemos la prueba de Durbin–Watson, que establece como hipótesis nula que el coeficiente de correlación es igual a cero.
# El estadístico de Durbin–Watson igual a dos indica que no hay autocorrelación.
# https://en.wikipedia.org/wiki/Durbin%E2%80%93Watson_statistic

library("lmtest")
dwtest(salario ~ escolaridad)

#--Pruebas de Normalidad--#

# Generamos el histograma de los residuos.

hist(residuos)

plot(density(residuos))

# Gráfica de probabilidad normal

qqnorm(residuos, pch = 1, frame = TRUE)
qqline(residuos, col = "steelblue", lwd = 2)

# También se puede llevar a cabo usando el siguiente comando
library("car")
qqPlot(residuos,col.lines="steelblue")

# Prueba de Anderson-Darling.

library(nortest)
ad.test(residuos)

# Prueba de normalidad de Jarque-Bera (JB)
# https://lancebachmeier.com/computing/j-b-test.html
# Esta plantea como hipótesis nula el coeficiente de asimetría igual cero y la curtosis igual a tres.

library(tseries)
jarque.bera.test(residuos)

# Prueba de normalidad de Shapiro-Wilk
# https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/shapiro.test.html
# Esta prueba plantea como hipótesis nula que los datos están normalmente distribuídos.

shapiro.test(residuos)