Combinatorias

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Entonces, considerando cinco personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión? Para responder a esta pregunta, debemos tener clara una definición.

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Considerando una colección de objetos distintos, una r-combinación de estos es simplemente una forma de escoger r de estos objetos (sin importar el orden), en términos de conjuntos, podemos decir que una r-combinación es cualquier subconjunto de tamaño r de la colección de objetos. Por ejemplo, si tenemos cinco bolas, una azul, una roja, una amarilla, una verde y una naranja; una 3-combinación es la siguiente:

r-combinación de bolas | totumat.com

Entonces, considerando todas las 3-combinaciones, incluyendo la que ya vimos, tenemos:

r-combinación de bolas | totumat.com

En total podemos contar diez 3-combinaciones, pero listar todas las combinaciones posibles para después contarlas puede resultar en un proceso engorroso cuando tenemos muchos más objetos distintos, es por esto que debemos recurrir a los métodos de conteo que ya hemos visto. Entonces, si queremos tomar tres bolas de las cinco bolas, contemos primero todas las 3-permutaciones posibles:

  • Para fijar la primera bola, podemos considerar cinco opciones. Notemos que si contamos combinaciones, cualquiera de las tres posiciones es indiferente.
r-combinación de bolas | totumat.com
  • Para fijar la segunda bola, como ya hemos fijado una, podemos considerar sólo cuatro opciones. Notemos que si contamos combinaciones, cualquiera de las dos posiciones restantes es indiferente.
r-combinación de bolas | totumat.com
  • Para fijar la tercera bola, como ya hemos fijado dos, podemos considerar sólo tres opciones. Notemos que si contamos combinaciones, la última posición es indiferente.
r-combinación de bolas | totumat.com

El Método del Producto nos indica que la cantidad total de 3-permutaciones será el producto de las opciones para cada posición, es decir, 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.

r-combinación de bolas | totumat.com

Pero debemos tomar en cuenta que la posición en la que estas se encuentran es indiferente, el Método del Producto nos indica que la cantidad total posiciones indiferentes será el producto de las posiciones indiferentes cuando se ha fijado cada bola, es decir, 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6.

r-combinación de bolas | totumat.com

De esta forma, el Método de la División nos indica que la cantidad de 3-combinaciones, será la división de todas las 3-permutaciones entre todos los casos indiferentes, es decir,

\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{60}{6} = 10

De formar general, si consideramos n objetos distintos, el total de r-combinaciones distintas se calcula con la siguiente división:

\frac{n \ \cdot \ (n-1) \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ (n - r + 1)}{r \ \cdot \ (r-1) \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ 1}

Las r-combinaciones de n objetos se denota de la forma C(n,r), y usando permutaciones, también podemos reescribir el cociente que las definen de la siguiente forma:

\frac{P(n,r)}{P(r,r)}

Usando expresiones factoriales, también podemos expresar las r-combinaciones como el coeficiente binomial:

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Tomando en cuenta que el factorial de cero es igual a uno, es decir, $latex0! = 1$. Entonces, notamos que una n-combinación de una colección de n objetos, es exactamente igual a uno. Veamos con algunos ejemplos como contar todas las r-combinaciones en distintas situaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Entonces, considerando cinco personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión?

Este problema se puede abordar contando todas las 3-combinaciones posibles de cinco objetos y estas son:

C(5,3) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10

Ejemplo 2

Considerando una bolsa con siete bolas de distinto color, si se sacan cuatro bolas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sacar cuatro de ellas?

Este problema se puede abordar contando todas las 4-combinaciones posibles de siete objetos y estas son:

C(7,4) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35

Ejemplo 3

En una carrera de 100 metros planos compiten ocho personas, si a las tres últimas personas se les da un premio por participar indistintamente, ¿de cuántas formas posibles pueden otorgarse estos premios al culminar esta carrera?

Este problema se puede abordar contando todas las 3-combinaciones posibles de ocho objetos y estas son:

C(8,3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56


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Permutaciones

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Esta comisión debe tener un coordinador, un secretario y un vocero. Entonces, considerando tres personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión? Para responder a esta pregunta, debemos tener clara una definición.

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Considerando una colección de objetos distintos, una permutación de estos es simplemente una forma de ordenarlos uno tras otro. Por ejemplo, si tenemos tres bolas, una azul, una roja y una amarilla, una permutación es la siguiente:

Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

Y reordenándolas, consideremos todas las permutaciones, incluyendo la que ya vimos

Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

En total podemos contar seis permutaciones, pero listar todas las permutaciones posibles para después contarlas puede resultar en un proceso engorroso cuando tenemos muchos más objetos distintos, es por esto que debemos entonces recurrir a los métodos de conteo que ya hemos visto. Entonces, si queremos ordenar estas tres bolas:

  • Para fijar la primera bola, podemos considerar tres opciones.
Permutaciones de bolas de colores | totumat.com
  • Para fijar la segunda bola, como ya hemos fijado una, podemos considerar sólo dos opciones.
Permutaciones de bolas de colores | totumat.com
  • Para fijar la tercera bola, como ya hemos fijado dos, podemos considerar sólo una opción.
Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

El Método del Producto nos indica que la cantidad total de permutaciones será el producto de las opciones para cada posición, es decir, 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6.

Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

De formar general, si consideramos n objetos distintos, el total de permutaciones distintas se calcula con el siguiente producto:

n \ \cdot \ (n-1) \ \cdot \ (n-2) \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1

Este producto se puede resumir usando la notación de factorial, que se expresa con un signo de exclamación de la siguiente forma:

n!

Veamos con algunos ejemplos como contar todas las permutaciones en distintas situaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Esta comisión debe tener un coordinador, un secretario y un vocero. Entonces, considerando tres personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión?

Este problema se puede abordar contando todas las formas en que se pueden ordenar tres personas, es decir, contando todas las permutaciones posibles de tres objetos y estas son:

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Ejemplo 2

Considerando una bolsa con cinco bolas de distinto color, si se sacan todas una a una, ¿de cuántas formas distintas se pueden sacar?

Este problema se puede abordar contando todas las formas en que se pueden ordenar cinco bolas de distinto color, es decir, contando todas las permutaciones posibles de cinco objetos y estas son:

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Ejemplo 3

En una carrera de 100 metros planos compiten ocho personas, ¿de cuántas formas posibles puede culminar esta carrera?

Este problema se puede abordar contando todas las formas en que se pueden ordenar ocho personas, es decir, contando todas las permutaciones posibles de ocho objetos y estas son:

8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320


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r-Permutaciones

Habiendo definido las permutaciones de una colección de objetos, pueden surgir otro tipo de situaciones. Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Esta comisión debe tener un coordinador, un secretario y un vocero. Entonces, considerando 5 personas, ¿de cuántas formas podemos conformar la comisión? Para responder a esta pregunta, debemos tener clara una definición.

Considerando una colección de objetos distintos, una r-permutación de estos es simplemente una forma de ordenar r de estos objetos uno tras otro. Por ejemplo, si tenemos cuatro bolas, una azul, una roja, una amarilla y una verde. Una 3-permutación es la siguiente:

r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

Y reordenándolas, consideremos todas las 3-permutaciones, incluyendo la que ya vimos

r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

En total podemos contar veinticuatro permutaciones, pero listar todas las permutaciones posibles para después contarlas puede resultar en un proceso engorroso cuando tenemos muchos más objetos distintos, es por esto que debemos entonces recurrir a los métodos de conteo que ya hemos visto. Entonces, si queremos ordenar tres bolas de las cuatro bolas:

  • Para fijar la primera bola, podemos considerar cuatro opciones.
r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com
  • Para fijar la segunda bola, como ya hemos fijado una, podemos considerar sólo tres opciones.
r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com
  • Para fijar la tercera bola, como ya hemos fijado dos, podemos considerar sólo dos opciones.
r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

El Método del Producto nos indica que la cantidad total de 3-permutaciones será el producto de las opciones para cada posición, es decir, 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24.

r-Permutaciones de bolas de colores | totumat.com

De formar general, si consideramos n objetos distintos, el total de r-permutaciones distintas se calcula con el siguiente producto:

n \ \cdot \ (n-1) \ \cdot \ (n-2) \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ (n - r + 1)

Las r-permutaciones de n objetos se denota de la forma P(n,r), y usando expresiones factoriales, también podemos reescribir el producto que las definen de la siguiente forma:

\dfrac{n!}{(n-r)!}

Tomando en cuenta que el factorial de cero es igual a uno, es decir, 0! = 1. Entonces, notamos que una n-permutación de una colección de n objetos, es justamente una permutación como la hemos definido originalmente. Veamos con algunos ejemplos como contar todas las r-permutaciones en distintas situaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Suponga que usted está desarrollando un proyecto y debe designar una comisión de tres personas para llevar a cabo ciertas tareas. Esta comisión debe tener un coordinador, un secretario y un vocero. Entonces, considerando cinco personas, ¿de cuántas formas se puede conformar la comisión?

Este problema se puede abordar contando todas las 3-permutaciones posibles de cinco objetos y estas son:

P(5,3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

Ejemplo 5

Considerando una bolsa con siete bolas de distinto color, si se sacan cuatro bolas una a una, ¿de cuántas formas distintas se pueden sacar cuatro de ellas?

Este problema se puede abordar contando todas las 4-permutaciones posibles de siete objetos y estas son:

P(7,4) = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840

Ejemplo 6

En una carrera de 100 metros planos compiten ocho personas, ¿de cuántas formas posibles pueden otorgarse las medallas de oro, plata y bronce al culminar esta carrera?

Este problema se puede abordar contando todas las 3-permutaciones posibles de ocho objetos y estas son:

P(8,3) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336