Números Decimales

¡Cuenta rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número entero?

$3870 0000 0000 0000 0000 0000$

¡Cuenta más rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número decimal?

$0,00 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0419$

¿Cuánto demoraste en contar todos estos ceros? Yo ni los conté. Es claro que los números que hemos expuesto son demasiado largos como para determinar a simple vista que tan grandes o que tan pequeños son. Es por esto que debemos definir una nueva forma de reescribir este tipo de números de forma que sea más fácil identificarlos.

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Abreviar números usando múltiplos de 10

Una forma de abreviar este tipo de números consiste en notar que todo número se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos de $10$ .

$10 = \ 1 \cdot 10$
$100 = \ 1 \cdot 10^2$
$1000 = \ 1 \cdot 10^3$
$10000 = \ 1 \cdot 10^4$
$\vdots$
$1\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros} = \ 1 \cdot 10^n$

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por $10$ , estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la derecha. Por ejemplo, si consideramos el número $123000$ , notamos que hay tres ceros después de la cadena de dígitos $123$ , entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

$123 \cdot 10^{3}$

De igual forma, podemos notar que la parte decimal de todo número también se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo inverso de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos inversos de $10$ .

$0,1 = \ 1 \cdot 10^{-1}$
$0,01 = \ 1 \cdot 10^{-2}$
$0,001 = \ 1 \cdot 10^{-3}$
$0,0001 = \ 1 \cdot 10^{-4}$
$\vdots$
$0,\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros}1 = \ 1 \cdot 10^{-n}$

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por $10^{-1}$ , estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la izquierda. Por ejemplo, si consideramos el número $0,0000074$ , notamos que hay cinco ceros entre la coma y $74$ , entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

$0,74 \cdot 10^{-5}$

La Notación Científica

Partiendo de estos principios, definimos la notación científica como una forma de reescribir cualquier número multiplicándolo por múltiplos o múltiplos inversos de 10 para dejar sólo un dígito para su parte entera.

Para ilustrar esta idea, consideremos en los siguientes ejemplos algunos números y veamos la técnica para reescribirlos en notación científica.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Reescriba el número $4084$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como $4084,0$ , entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$408,4 \cdot 10$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$40,84 \cdot 10^{2}$

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener el número 4084 expresado en notación científica de la siguiente forma:

$4,084 \cdot 10^{3}$

Notemos que al multiplicar $4,084 \cdot 10^{3}$ obtenemos el número original, $4084$ .

Ejemplo 2

Reescriba el número $83295$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como $83295,0$ .

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$8329,5 \cdot 10$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$832,95 \cdot 10^{2}$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$83,295 \cdot 10^{3}$

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener el número 83295 expresado en notación científica de la siguiente forma:

$8,3295 \cdot 10^{4}$

Notemos que al multiplicar $8.3295 \cdot 10^{4}$ , obtenemos el número original, $latex 83295$ .

Ejemplo 3

Reescriba el número $1334621$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como $1334621,0$ , entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$133462,1 \cdot 10$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$13346,21 \cdot 10^{2}$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$1334,621 \cdot 10^{3}$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$133,4621 \cdot 10^{4}$

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener,

$13,34621 \cdot 10^{5}$

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10$ y así obtener el número 1334621 expresado en notación científica de la siguiente forma:

$1,334621 \cdot 10^{6}$

Notemos que al multiplicar $1,334621 \cdot 10^{6}$ obtenemos el número original, $1334621$ .

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Ejemplo 4

Reescriba el número $0,004167$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,04167 \cdot 10^{-1}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,4167 \cdot 10^{-2}$

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$4,167 \cdot 10^{-3}$

Notemos que al multiplicar $4,167 \cdot 10^{-3}$ obtenemos el número original, $0,004167$ .

Ejemplo 5

Reescriba el número $0,00058016$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,0058016 \cdot 10^{-1}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,058016 \cdot 10^{-2}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,58016 \cdot 10^{-3}$

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$5,8016 \cdot 10^{-4}$

Notemos que al multiplicar $5,8016 \cdot 10^{-4}$ obtenemos el número original, $0,00058016$ .

Ejemplo 6

Reescriba el número $0,00000082935$ en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,0000082935 \cdot 10^{-1}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,000082935 \cdot 10^{-2}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,00082935 \cdot 10^{-3}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,0082935 \cdot 10^{-4}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,082935 \cdot 10^{-5}$

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$0,82935 \cdot 10^{-6}$

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por $10^{-1}$ y así obtener,

$8,2935 \cdot 10^{-7}$

Notemos que al multiplicar $8,2935 \cdot 10^{-7}$ obtenemos el número original, $0,00000082935$ .

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Los números que hemos considerado en los ejemplos no pudieran no necesitar se reescritos en notación científica, sin embargo, en la práctica son muy necesarios para poder agilizar la comprensión de la información. Hay ejemplos notables de la notación científica, por ejemplo,

De acuerdo con Wikipedia, una de las siete magnitudes físicas fundamentales del Sistema Internacional de Unidades es el mol y es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia. Particularmente, la Constante de Avogadro o a veces referida como el Número de Avogadro es el número de partículas constituyentes (usualmente átomos o moléculas) que se encuentran en la cantidad de sustancia de un mol, este es aproximadamente

$6,022 \cdot 10^{-23}$

Un gúgol es uno de los números grandes con nombre propio, su nombre en inglés es googol y de ahí se derivó el nombre de la empresa cibernética google. Este número se escribe como un $1$ seguido de $100$ ceros, de aquí la necesidad de escribirlo con notación científica de la siguiente forma,

$1 \cdot 10^{100}$

La Notación Científica en las Calculadoras

Debido a lo limitadas que son las pantallas de las calculadoras y también por comodidad, estas presentarán los números muy grandes o los muy pequeños usando notación científica, sin embargo, dependiendo del modelo de la calculadora puede usarse la notación e-N o E-N en vez de $\times 10^{n}$ . Veamos algunos ejemplos para entender esto,

En una calculadora, el número 4.49496e-29 representa $4,49496 \cdot 10^{-29}$ .
En una calculadora, el número 8.112E-7 representa $8,112 \cdot 10^{-7}$ .
En una calculadora, el número 3.87e23 representa $3,87 \cdot 10^{23}$ .
En una calculadora, el número 9.6301E200 representa $9,6301 \cdot 10^{200}$ .

Si bien las fracciones se usan para representar divisiones, existe otra forma de representar una divisíon, y esto es, partiendo en diez partes el espacio entre dos números enteros consecutivos. A estas partes las llamaremos décimas. La idea básica es contar las décimas que el resultado de la división ocupa.

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Consideremos de forma particular la división uno entre dos: la fracción que la representa es $\frac{1}{2}$ y representa cinco décimas entre el número cero y el número uno, de la siguiente forma:

Si una división no es exacta, esta constará dos partes, una parte entera y una parte representada en décima. Para denotar estas divisiones no exactas definimos los números decimales. En el ejemplo que hemos visto, la división uno entre dos se denota con el número decimal

Notemos que la parte entera se separa de la parte decimal con una coma, aunque el estándar en el inglés se usa un punto, hay que tomar esto en consideración al usar calculadoras configuradas en inglés.

Al definir números decimales, podemos partir aún más el espacio entre dos números enteros consecutivos. Si partimos el espacio entre dos décimas en diez partes, a estas partes las llamaremos centésimas; si partimos el espacio entre dos centésimas en diez partes, a estas partes las llamaremos milésimas e incluso podemos seguir partiendo en más partes pero en la práctica no es común referirlas.

La importancia de los números decimales radica en que permite comparar números enteros y números fraccionarios con mayor facilidad. Veamos entonces, algunos ejemplos de números decimales para entenderlos con mayor claridad.

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