Método de las Fracciones Simples

Supongamos que queremos calcular integral de la función f(x)=\frac{2x+5}{x^2 + 5x + 6}. La solución salta a la vista, pues podemos notar inmediatamente que la derivada de x^2 + 5x + 6 es precisamente 2x+5, entonces podemos considerar la variable auxiliar t=x^2 + 5x + 6 cuyo diferencial es dt=(2x+5)dx y concluir que

\int \frac{2x+5}{x^2 + 5x + 6} \, dx

= \int \frac{1}{x^2 + 5x + 6} (2x+5)\, dx

= \int \frac{1}{t} \, dt

= \ln|t| + C

= \ln|x^2 + 5x + 6| + C

Muy bien, pero, ¿y si cambiamos levemente la función? Supongamos que queremos calcular la integral de la función f(x)=\frac{x+1}{x^2 + 5x + 6}, la solución no se hace tan trivial. Debemos entonces desarrollar otro método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

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El método de sustitución de variables y integración por partes abren el espectro de funciones de las que podemos calcular su integral y aunque estos permiten calcular la solución de algunas operaciones entre funciones, veremos ahora un método que permite calcular la solución de algunas divisiones entre funciones cuando esto no es posible, particularmente la división de polinomios.

A continuación veremos el Método de las Fracciones Simples, que consiste en reescribir la división de dos polinomios como la suma de fracciones de polinomios más simples que se pueden calcular mediante los métodos hasta ahora desarrollados, sin embargo, debemos segmentar este método pues las fracciones generadas dependerán de la forma en que está definido el polinomio que se encuentra en el numerador.

Caso I

Consideremos P(x) y Q(x) dos polinomios de grado m y n, respectivamente, tal que Q(x) tiene n raíces reales distintas entre sí, este se puede factorizar como

Q(x) = k \cdot (x-x_1)(x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)

Entonces, existen constantes A_1, A_2, …, A_n tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x:

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Ejemplo 1

Calcule la integral de f(x) = \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6}, es decir,

\int \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6} \, dx

Notando que esta es una división de polinomios, entonces podemos utilizar el método de las fracciones simples. Empecemos por factorizar el polinomio que está en el denominador, al ser un polinomio cuadrático se puede usar el método con el que se sienta más a gusto y concluir que

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

Ya que hemos factorizado el denominador, existen dos constantes A y B tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

\frac{x+1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}

Lo que haremos a continuación es multiplicar en ambos lados de la igualdad por el polinomio factorizado de la siguiente forma

Fracciones Simples Caso I | totumat.com

Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador de cada uno de los sumandos involucrados

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Así, la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

x+1 = A(x+3) + B(x+2)

Es importante recalcar que estas igualdades se mantienen para cualquier valor de x pues usaremos esta afirmación para calcular los valores de A y B. Consideremos valores de x muy particulares para ver qué ocurre con la igualdad.

Si x = -2, entonces,
-2+1 = A(-2+3) + B(-2+2)
\Rightarrow \ -1 = A(1) + B(0)
\Rightarrow \ -1 = A

Si x = -3, entonces,
-3+1 = A(-3+3) + B(-3+2)
\Rightarrow \ -2 = A(0) + B(-1)
\Rightarrow \ -2 = -B
\Rightarrow \ 2 = B

De esta forma determinamos que A=-1 y B=1, así que podemos sustituir estos valores en las fracciones simples que hemos establecido para poder calcular la integral de la siguiente de forma

\int \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6} \, dx

= \int \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx

= \int \left( \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3} \right) \, dx

= \int \left( \frac{-1}{x+2} + \frac{2}{x+3} \right) \, dx

= \int \frac{-1}{x+2} \, dx + 2\int \frac{1}{x+3} \, dx

= - \ln|x+2| + 2\ln|x+3| + C

Nota: Invitamos al lector a calcular de forma general la integral de la función \frac{1}{x+a} para cualquier constante a y así calcular la integral de las fracciones simples expresadas en nuestro procedimiento.

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Caso II

Consideremos P(x) y Q(x) dos polinomios de grado m y n, respectivamente, tal que Q(x) tiene n raíces reales todas iguales, decir, una raíz x_0 de multiplicidad n, este se puede factorizar como

Q(x) = k \cdot (x-x_0)^n

Entonces, existen constantes A_1, A_2, …, A_n tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x:

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Ejemplo 2

Calcule la integral de f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 2x + 1}, es decir,

\int \frac{x^2+4}{x^2 - 2x + 1} \, dx

Notando que esta es una división de polinomios, entonces podemos utilizar el método de las fracciones simples. Empecemos por factorizar el polinomio que está en el denominador, al ser un polinomio cuadrático se puede usar el método con el que se sienta más a gusto y concluir que

x^2 - 2x + 1 = (x-1)(x-1) = (x-1)^2

Ya que hemos factorizado el denominador, existen dos constantes A y B tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

\frac{x^2+4}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}

Lo que haremos a continuación es multiplicar en ambos lados de la igualdad por el polinomio factorizado de la siguiente forma

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Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador de cada uno de los sumandos involucrados

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Así, la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

x^2+4 = A(x-1) + B

Es importante recalcar que estas igualdades se mantienen para cualquier valor de x pues usaremos esta afirmación para calcular los valores de A y B. Consideremos valores de x muy particulares para ver qué ocurre con la igualdad.

Si x = 1, entonces,
(1)^2+4 = A(1-1) + B
\Rightarrow \ 1 + 5 = A(0) + B
\Rightarrow \ 6 = B

En el Caso I consideramos valores de x que anularon los sumandos y en este caso, si bien pudimos anular el sumando que tiene a A como factor, no existe un valor de x que anule al factor B pero esto no es un inconveniente pues si sustituimos el valor de A en nuestra ecuación, tenemos que

x^2+4 = 6(x-1) + B

Como esta igualdad se mantiene para cualquier valor de x, sustituimos la variable x por el valor de nuestra preferencia y posteriormente despejamos B,

Si x = 0, entonces,
(0)^2+4 = 6(0-1) + B
\Rightarrow \ 4 = -6 + B
\Rightarrow \ 4 + 6 = B
\Rightarrow \ 10 = B

De esta forma determinamos que A=6 y B=10, así que podemos sustituir estos valores en las fracciones simples que hemos establecido para poder calcular la integral de la siguiente de forma

\int \frac{x^2+4}{x^2 - 2x + 1} \, dx

= \int \frac{x^2+4}{(x-1)^2} \, dx

= \int \left( \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} \right) \, dx

= \int \left( \frac{6}{x-1} + \frac{10}{(x-1)^2} \right) \, dx

= \int \frac{6}{x-1} \, dx + \int \frac{10}{(x-1)^2} \, dx

= 6\ln|x-1| - \frac{6}{x-1} + C

Nota: Invitamos al lector a calcular de forma general la integral de las funciones \frac{1}{x+a} y \frac{1}{(x+a)^2} para cualquier constante a y así calcular la integral de las fracciones simples expresadas en nuestro procedimiento.


Existen dos casos más en los que el polinomio involucrado en el denominador del cociente no se puede factorizar, estos casos se abordan usando sustituciones trigonométricas, es por esto que lo dejaremos para estudios posteriores.

Método de Integración por Partes

Hemos calculado anteriormente la integral de la función f(x)=\frac{\ln(x)}{x} usando el método de sustitución de variable, pero si consideramos una función levemente distinta ¿podemos usar usar nuevamente el método de sustitución de variable?

Supongamos que queremos calcular la integral de la función f(x) = \ln(x). Por más que pensemos en una variable auxiliar que nos pueda ayudar a calcular esta integral, no la encontraremos. Entonces, debemos desarrollar un método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces a partir de la Regla del Producto para la derivada de funciones, podemos concluir lo siguiente

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A esta igualdad la llamaremos El Método de Integración por Partes y aunque pareciera un poco intrincada, existe una regla mnemotécnica, es decir, un juego de palabras muy divertido para aprendérsela de memoria con facilidad recurriendo a dos variables auxiliares u(x) y v(x) planteando lo siguiente

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un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

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Una vez identificados los factores u y dv que están involucrados en la integral notamos que además de estas dos variables debemos contar también con du y v para poder aplicar el método de integración por partes. ¿Cómo lo hacemos?

  • Calculamos du a partir de u usando las técnicas de derivación que conocemos.
  • Calculamos v a partir de dv usando las técnicas de integración que conocemos.

Veamos entonces como aplicar este método para calcular la integral de la función f(x) = \ln(x), es decir,

\int \ln(x) \, dx

Para este caso en particular podemos considerar u=ln(x) y dv=dx, entonces

u=\ln(x) \ \Rightarrow \ du = \frac{1}{x} \, dx
dv=dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int \, dx
\ \Rightarrow \ v = x

Notemos que hemos descartado la constante C al calcular v. Definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes tenemos que

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Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

\int \frac{1}{x}x \, dx = \int \frac{x}{x} \, dx = \int \, dx = x + C

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - x + C

La idea de este método es obtener del lado derecho de la igualdad una integral más simple de la que estamos calculando originalmente. Veamos en lo siguientes ejemplos las estrategias para proceder usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de f(x) = x\ln(x), es decir,

\int x\ln(x) \, dx

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores u y dv es de vital importancia para calcular la integral propuesta, es por esto que no nos debemos confiar en el orden que estos aparecen a primera vista. Cambiemos entonces el orden de los factores para plantear lo siguiente

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u=\ln(x) \ \Rightarrow \ du = \frac{1}{x}\, dx
dv=x\, dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int x\, dx
\ \Rightarrow \ v = \frac{x^2}{2}

Definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes tenemos que

Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

\int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{4} + C

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

\int x\ln(x) \, dx = \ln(x) \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{4} + C

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

Ejemplo 2

Calcule la integral de f(x) = x \textit{\Large e}^x, es decir,

\int x \textit{\Large e}^x \, dx

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores u y dv es de vital importancia para calcular la integral propuesta, escojamos en este caso

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u=x \ \Rightarrow \ du = dx
dv=\textit{\Large e}^x \, dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int \textit{\Large e}^x \, dx
\ \Rightarrow \ v = \textit{\Large e}^x

Definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes tenemos que

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Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

\int \textit{\Large e}^x \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x} \, dx = \textit{\Large e}^x + C

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

\int x \textit{\Large e}^x \, dx = x \textit{\Large e}^x - \textit{\Large e}^x + C

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.

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Ejemplo 3

Calcule la integral de f(x) = x^2 \textit{\Large e}^x, es decir,

\int x \textit{\Large e}^x \, dx

Al aplicar el método de integración por partes, la escogencia de los factores u y dv es de vital importancia para calcular la integral propuesta, escojamos en este caso

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u=x^2 \ \Rightarrow \ du = 2x \, dx
dv=\textit{\Large e}^x \, dx \ \Rightarrow \ \int \, dv = \int \textit{\Large e}^x \, dx
\ \Rightarrow \ v = \textit{\Large e}^x

Definidos cada uno de los elementos del método de integración por partes tenemos que

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Sólo resta calcular la integral que está en el lado derecho de la igualdad, es decir,

\int \textit{\Large e}^x 2x \, dx = 2 \int x\textit{\Large e}^x \, dx = 2 \left( x\textit{\Large e}^x + \textit{\Large e}^x \right) + C

Una vez que hemos calculado esta integral, sustituimos su resultado donde corresponde para obtener que

\int x^2 \textit{\Large e}^x \, dx \
= \ x^2 \textit{\Large e}^x - \textit{\Large e}^x - 2 \left( x\textit{\Large e}^x + \textit{\Large e}^x \right) + C
\ = \ x^2 \textit{\Large e}^x - \textit{\Large e}^x - 2 x\textit{\Large e}^x - 2 \textit{\Large e}^x + C
\ = \ x^2 \textit{\Large e}^x - 2 x\textit{\Large e}^x - 3 \textit{\Large e}^x + C

Nota: Se invita a lector a verificar si el calculo de la integral es más simple o más complicado con otra escogencia de factores.


En estos ejemplos hemos visto los casos más básicos del Método de Integración por Partes para facilitar su entendimiento, sin embargo, hay casos para funciones más complejas en las que se puede usar.


Algunos memes del Método de Integración por Partes

Patricio de Bob Esponja en el Método de Integración por Partes | meme totumat.com
Por esa vaca vestida de uniforme  | meme totumat.com
Fusión de Dragon Ball en el Método de Integración por Partes | meme totumat.com

Método de Sustitución de Variable

Consideremos la función f(x)=(x+3)^2, ¿de qué forma calcularía usted la integral de esta función? Con las herramientas que conocemos actualmente, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el producto notable y calcular al integral del polinomio resultante de la siguiente manera:

\int (x+3)^2 \, dx =\int (x^2 + 6x + 9) \, dx

Y tras consultar la tabla de integrales y aplicar las propiedades aprendidas, tenemos que,

\int x^2 \, dx + \int 6x \, dx +\int 9 \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 x^2 + 9x + C

Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que queremos calcular la integral de la función f(x) = (x+3)^{20}. Pudiéramos pensar en expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este proceso pudiera ser engorroso, más aún si consideramos una función expresada como f(x) = (x+3)^{200}. Entonces, debemos desarrollar un método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces a partir de la Regla de la Cadena para la derivada de funciones compuestas podemos concluir lo siguiente

De esta forma, podemos simplificar funciones dentro de una integral considerando una variable auxiliar t = g(x) y sustituyéndola en la función. Tomando en cuenta que el diferencial de la variable t viene dado por dt = g'(x)dx, podemos reescribir esta última igualdad de la siguiente forma:

A esta simplificación la llamaremos Método de Sustitución de Variable, y retomando el ejemplo que habíamos considerado, calculemos la integral de f(x) = (x+3)^{20}.

Debemos considerar una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y la idea es que al simplificarla podamos usar las herramientas que conocemos actualmente. Entonces, si consideramos la variable auxiliar t=x+3, su diferencial será dt = (x+3)' dx = (1) dx = dx, y así obtenemos la siguiente igualdad:

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función t^{20} se calcula de forma directa, por lo tanto,

\int t^{20} \, dt = \frac{t^{21}}{21} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original para obtener que

\int (x+3)^{20} \, dx = \frac{(x+3)^{21}}{21} + C

Veamos algunos ejemplos en los que el método de sustitución de variable requiere un poco más de ingenio pues no siempre será tan directo.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de f(x) = (x-5)^{7}, es decir,

\int (x-5)^{7} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=x-5
\Rightarrow \ dt = (x-5)' dx = dx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función t^{7} se calcula de forma directa y obtenemos

\frac{t^{8}}{8} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int (x-5)^{7} \, dx = \frac{(x-5)^{8}}{8} + C

Ejemplo 2

Calcule la integral de f(x) = (x^2+9)^{11}2x, es decir,

\int (x^2+9)^{11}2x \, dx

Notamos que esta función está definida como un producto de funciones y pese a que no hay una regla general para el producto, podemos calcular la integral con una sustitución de variables. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=x^2+9
\Rightarrow \ dt = (x^2+9)' dx = 2xdx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Si consultamos la tabla de integrales, la integral de la función t^{11} se calcula de forma directa y obtenemos

\frac{t^{12}}{12} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int (x^2+9)^{12} \, dx = \frac{(x^2+9)^{12}}{12} + C

Ejemplo 3

Calcule la integral de f(x) = \textit{\Large e}^{6x-1}, es decir,

\int \textit{\Large e}^{6x-1} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=6x-1
\Rightarrow \ dt = (6x-1)' dx = 6dx

Debemos notar que no podemos sustituir el diferencial dx tal como lo hicimos en los ejemplos anteriores porque en este caso dt=6dx, y si nos fijamos en la función original, no aparece el factor 6dx. Entonces podemos incluir t pero no dt, ya que no aparece el 6 que necesitamos para poder sustituir el diferencial dt.

Para solucionar esta situación, multiplicamos y dividimos por 6 dentro de la integral (básicamente estamos multiplicando por 1 así que la función permanece inalterada) para obtener

\int \textit{\Large e}^{t} \frac{6}{6} \, dx

Multiplicando el 6 del numerador por el diferencial dx obtenemos el factor 6dx que estamos buscando para sustituir el diferencial dt de la siguiente manera

Como \frac{1}{6} es una constante, podemos sacarla de la integral y calcularla de forma directa

\frac{1}{6} \int \textit{\Large e}^{t} \, dt = \frac{1}{6} \textit{\Large e}^{t} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int \textit{\Large e}^{6x-1} \, dx = \frac{1}{6} \textit{\Large e}^{6x-1} + C

Nota: Es importante notar que aunque este es el correcto proceder, al final sustituimos dx por \frac{dt}{6}. De esta forma, podemos tomar algunas ligerezas y despejar dx una vez que se ha calculado el diferencial dt. Entonces, haciendo un abuso del lenguaje, podemos en estos casos, considerar los diferenciales dx y dt como si fueran factores para despejarlos en ecuaciones.

Ejemplo 4

Calcule la integral de f(x) = \frac{1}{5x+8}, es decir,

\int \frac{1}{5x+8} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=5x+8
\Rightarrow \ dt = 5dx
\Rightarrow \ \frac{dt}{5} = dx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Como \frac{1}{5} es una constante, podemos sacarla de la integral y calcularla de forma directa

\frac{1}{5} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{5} \ln|t| + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int \frac{1}{5x+8} \, dx = \frac{1}{5} \ln|5x+8| + C

Ejemplo 5

Calcule la integral de f(x) = x\sqrt[3]{-4x^2+1}, es decir,

\int x\sqrt[3]{-4x^2+1} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=-4x^2+1
\Rightarrow \ dt = -8xdx
\Rightarrow \ \frac{dt}{-8} = xdx

Notemos que no siempre es necesario despejar dx enteramente pues en este caso nos basta obtener la expresión xdx ya que\int x\sqrt[3]{-4x^2+1} \, dx = \int \sqrt[3]{-4x^2+1} \cdot x \, dx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Como \frac{1}{-8} es una constante, podemos sacarla de la integral y calcularla de forma directa

-\frac{1}{8} \int t^{\frac{1}{3}} \, dt = -\frac{1}{8} \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{3}{32} t^{\frac{4}{3}} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int x\sqrt[3]{-4x^2+1} \, dx = -\frac{3}{32} (-4x^2+1)^{\frac{4}{3}} + C

Ejemplo 6

Calcule la integral de f(x)=\frac{\ln(x)}{x}, es decir,

\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx

Notamos que no podemos calcular esta integral de forma directa. Consideremos una variable auxiliar que nos permita simplificar la función y determinemos su diferencial

t=\ln(x)
\Rightarrow \, dt = \frac{1}{x} \, dx

Entonces, sustituyendo esta variable auxiliar en nuestra función, obtenemos que

Calculamos esta integral de forma directa para obtener

\frac{t^2}{2} + C

Finalmente, debemos recordar que t es una variable auxiliar así que debemos sustituirla en nuestro resultado para obtener la integral de la función original y concluir que

\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = \frac{\left( \ln(x) \right)^2}{2} + C


En estos ejemplos hemos visto los casos más básicos del Método de Sustitución de Variables para facilitar su entendimiento, sin embargo, hay casos para funciones más complejas en las que se puede usar.

Propiedades de la Integral Indefinida

Empezaremos estudiando la integral de funciones generadas a partir de algunas operaciones básicas entre funciones elementales, particularmente sobre la suma, la resta y la multiplicación por un escalar. Formalmente, Sean f(x) una función y k un escalar, entonces tenemos que

Integral de la Suma

Integral de la Resta

Integral del Producto por un Escalar

Notemos que no se ha definido una propiedad para el producto y la división porque pues NO EXISTE UNA REGLA GENERAL PARA CALCULAR LA INTEGRAL DEL PRODUCTO O DIVISIÓN ENTRE DOS FUNCIONES, así que si bien podemos separar las sumas, no podemos separar los productos ni divisiones.

Veamos en los siguientes ejemplos que usando estas propiedades y la tabla de integrales, podemos empezar a calcular la integral de funciones un poco más complejas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la integral de f(x) = x^2 + x, es decir,

\int (x^2 + x) \, dx

Debemos notar que esta función está definida como la suma de dos funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

\int x^2 dx + \int x \, dx

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

\frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 + \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2

Notemos que para cada una de las funciones, al calcular la integral se han generado dos familias diferentes de antiderivadas, es por esto que hemos usado dos constantes C_1 y C_2, sin embargo, podemos agrupar estas dos constantes en una sola constante C y concluir que

\int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C

Ejemplo 2

Calcule la integral de f(x) = 3x^5 - 2x + 9, es decir,

\int (3x^5 - 2x + 9) dx

Debemos notar que esta función está definida como la suma de tres funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus integrales

\int 3x^5 \, dx -\int 2x \, dx +\int 9 \, dx

Tomando en cuenta que algunas de ellas están siendo multiplicadas por escalares, sacamos estos escalares de las integrales para obtener la siguiente expresión

3\int x^5 \, dx - 2\int x \, dx + \int 9 \, dx

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos y sacado sus escalares, consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas,

3\frac{x^{5+1}}{5+1} + C_1 - 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} - C_2 + 9x + C_3

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

\int (3x^5 - 2x + 9) \, dx = \frac{x^6}{2} - x^2 + 9x + C

Ejemplo 3

Calcule la integral de f(x) = 7 \textit{\Large e}^x + \sqrt{x}, es decir,

\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx

La integral de la función exponencial no debería presentar dificultad alguna pero si nos fijamos en la raíz cuadrada de x, ¿está en la tabla? Claro que sí, pero debemos reescribirla, pues \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}. Entonces,

7 \int \textit{\Large e}^x \, dx + \int x^{\frac{1}{2}} \, dx

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

7 \textit{\Large e}^x + C_1 + \dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_2

Simplificamos operando las fracciones involucradas en el exponente y en el denominador obteniendo

7 \textit{\Large e}^x + \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C

Efectuando la división de fracciones involucrada concluimos que

\int \left( 7 \textit{\Large e}^x + x^{\frac{1}{2}} \right) \, dx = 7 \textit{\Large e}^x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C

Ejemplo 4

Calcule la integral de f(x) = \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x}, es decir,

\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx

Cada uno de los sumandos se puede reescribir para aplicar la regla del exponente, sin embargo, debemos ser cuidadosos con la función \frac{1}{x} pues al reescribirla como x^{-1} no se puede aplicar la regla del exponente pero no hay de que preocuparse pues la integración de esta es directa de la tabla.

Separemos cada uno de los sumandos y saquemos las constantes,

6 \int \frac{1}{x^5} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2} \, dx + 3\int \frac{1}{x} \, dx

Reescribimos las funciones que se necesiten reescribir,

6 \int x^{-5} \, dx +-\frac{1}{2} \int x^{-2} \, dx + 3 \int \frac{1}{x} \, dx

consultamos la tabla de integrales y calculamos las integrales respectivas para obtener

6 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C_1 - \frac{1}{2} \left( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) - C_2 + 3 \ln|x| + C_3

Finalmente simplificamos y agrupamos las constantes para concluir que

\int \left( \frac{6}{x^5} - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{x} \right) \, dx= - \frac{3}{2x^4} + \frac{1}{2x} + 3 \ln|x| + C


La Integral Indefinida | totumat.com

Integración

Si bien las integrales indefinidas se pueden ver como una consecuencia de las derivadas, calcular la integral de una función es tan trivial. En el caso de las derivadas, dependiendo de la forma en que esta está expresada, aplicamos la regla de derivación correspondiente para calcular su derivada. Sin embargo, este no es el caso para las integrales pues NO EXISTE UNA REGLA GENERAL PARA CALCULAR LA INTEGRAL DE CUALQUIER FUNCIÓN, es por esto que debemos desarrollar una serie de métodos que nos permitan calcula la integral de algunas funciones.