Límites

13.01.202007.12.2022 Anthonny Arias García1 comentario

Al definir las funciones elementales, pudimos hacer un estudio general de ellas en todo su dominio cuando vimos sus gráficas. Haremos ahora un estudio local de éstas, y para esto las estudiaremos en intervalos reducidos. Para entender esta idea, consideremos las función $f(x)=x^2$ , consideremos el intervalo $(1,3)$ que está centrado en $x_0=2$ , notamos que el conjunto de las imágenes en este intervalo quedan encerradas en el intervalo $(1,9)$ .

Si consideramos un intervalo contenido en el intervalo $(1,3)$ y centrado en $x=2$ , veremos que las imágenes de este nuevo intervalo estarán también contenidas en el intervalo $(1,9)$ . Podemos hacer este mismo procedimiento reiteradas veces encajando intervalos de la siguiente manera:

Entonces, podemos pensar en lo siguiente: Si en el Eje X estamos encerrando a $2$ , ¿a quién estamos encerrando en el Eje Y? Intuitivamente, podemos pensar que estamos encerrando a $4$ pues $2^2 = 4$ y efectivamente es así. Haciendo este estudio de la función, podemos formalizarlo como el límite de la función $x^2$ cuando $x$ tiende a $2$ es igual a 4 y se representa así

$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

De forma general, considerando una función $f(x)$ , diremos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ es igual a un número L es el estudio del comportamiento de $f(x)$ para valores de $x$ muy cercanos a $x_0$ (cercanos, no iguales), concluyendo que el conjunto de las imágenes de estos valores de $x$ están muy cercanos a $L$ . Formalmente se representa así

$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$

Se interpreta matemáticamente de la siguiente forma:

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que si
$0 < |x-x_0| < \delta$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon$

También podemos decir que $f(x)$ tiende a $L$ cuando $x$ tiende a $x_0$ . Nuestro propósito será el de determinar los valores a los que tiende la función y esto es tan sencillo como evaluar la función en el punto dado.

Para facilitar el cálculo de límites es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre funciones, podremos separarlas de la siguiente manera: Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones cuyos límites son $L$ y $M$ de forma respectiva cuando $x$ tiende a $x_0$ ; y $a$ es un número real, entonces

$\lim_{x \to x_0} a = a$
$\lim_{x \to x_0} a \cdot f(x) = a \cdot L$
$\lim_{x \to x_0} ( f(x) \pm g(x) ) = L \pm M$
$\lim_{x \to x_0} ( f(x) \cdot g(x) ) = L \cdot M$
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M} \text{ si } g(x) \neq, M \neq 0$

veamos algunos ejemplos sobre como determinar los límites en algunas funciones elementales para entender con mayor claridad esta idea.

Ejemplo 1

Calcule el límite de la función $f(x)=x+3$ cuando $x$ tiende a $4$ .

$\lim_{x \to 4} x+3 = 4 + 3 = 7$

Esto quiere decir que para los valores de $x$ muy cercanos a $4$ , las imágenes de la función $f(x)=x+3$ se acercan a $7$ . Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 2

Calcule el límite de la función $f(x)=\sqrt{x+7}-4$ cuando $x$ tiende a $-3$ .

$\lim_{x \to -3} \sqrt{x+7}-4 = \sqrt{-3+7}-4 = \sqrt{4}-4 = 2-4 =-2$

Esto quiere decir que para los valores de $x$ muy cercanos a $-3$ , las imágenes de la función $f(x)=\sqrt{x+7}-4$ se acercan a $-2$ . Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 3

Calcule el límite de la función $f(x)=\frac{1}{x-2}+1$ cuando $x$ tiende a $5$ .

$\lim_{x \to 5} \frac{1}{x-2}+1 = \frac{1}{5-2}+1 = \frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}$

Esto quiere decir que para los valores de $x$ muy cercanos a $5$ , las imágenes de la función $f(x)=\frac{1}{x-2}+1$ se acercan a $\frac{4}{3}$ . Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 4

También hay funciones cuya gráfica no conocemos pero de las que podemos calcular su límite, usando la misma técnica. Calcule el límite de la función $f(x)=\text{\large e}^{x^2 - 1} + x$ cuando $x$ tiende a $1$ .

$\lim_{x \to 1} \text{\large e}^{x^2 - 1} + x = \text{\large e}^{1^2 - 1} + 1 = \text{\large e}^{1 - 1} + 1 = \text{\large e}^{0} + 1 = 1 +1 = 2$

Ejemplo 5

Calcule el límite de la función $f(x)= x^2 + 5x + 6$ cuando $x$ tiende a $-2$ .

$\lim_{x \to -2} x^2 + 5x + 6 = (-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$

Graficar funciones usando Google

05.01.202023.03.2023 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Para graficar funciones no es siempre es necesario un software o apps especializadas en matemáticas pues siempre que se disponga de una conexión a internet se pueden generar gráficas de funciones elementales (e incluso funciones no elementales) usando Google de forma muy sencilla, para esto se escribe el siguiente comando «graph for» y seguidamente de la función que se desea graficar en el campo de búsqueda, sin embargo, estas funciones se deben escribir con una sintaxis muy particular.

Función Constante

Para graficar la función constante $f(x)=c$ donde $c$ es un número real, se debe escribir

graph for c

Por supuesto, sustituyendo $c$ por el valor deseado. Si se desea graficar la función $f(x)=3$ , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda

graph for 3

Función Identidad

Para graficar la función identidad $f(x)=x$ , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x

Nota: Usted puede hacer «zoom in» y «zoom out» para ver detalles de la gráfica en los puntos que desee.

Función Cuadrática

Para graficar la función cuadrática se debe usar el circunflejo para denotar qué número está en el exponente, usando el símbolo «^». Si se desea graficar la función cuadrática $f(x)=x^2$ , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^2

De esta forma se puede graficar funciones como la cuadrática, la cúbica, y en general cualquier función de la forma $f(x)=x^n$ donde $n$ es un número natural.

Función de Proporcionalidad Inversa

El producto se denota con un asterisco «*» y la división se denota con el slash «/», entonces si se desea graficar la función de proporcionalidad inversa $f(x)=\frac{1}{x}$ , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for 1/x

Notemos que con esta sintaxis y la aprendida con la función cuadrática, se puede graficar cualquier función de la forma $f(x)= \frac{1}{x^n}$ donde $n$ es un número natural mayor que 1.

Función Raíz Cuadrada

Para graficar la función raíz cuadrada $f(x)=\sqrt{x}$ se debe usar una instrucción especial para denotar la raíz cuadrada de una variable, esta es sqrt y significa «Square Root» que se traduce precisamente del inglés como «Raíz Cuadrada», este es el estándar para denotar la raíz cuadrada en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función raíz cuadrada, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for sqrt(x)

Función Raíz Cúbica

Recuerde que se puede reescribir la función raíz cuadrada de $x$ como $x^{\frac{1}{2}}$ . Se puede generalizar este hecho para graficar cualquier función que involucre una raíz, por ejemplo, si se desea graficar la función raíz cúbica $f(x)= x^{\frac{1}{2}}$ , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^(1/3)

Función Exponencial

Si se desea graficar la función exponencial $f(x) = \text{\large e}^x$ , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for e^x

Función Logarítmica

Para graficar la función logarítmica se debe usar una instrucción especial para denotar el logaritmo de una variable, esta es log, este es el estándar para denotar el logaritmo base 10 en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logarítmica $f(x) = log(x)$ , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x)

Particularmente nos puede interesar el logaritmo neperiano y para este se usa la instrucción ln, este es el estándar para denotar el logaritmo neperiano en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logaritmo neperiano $f(x) = ln(x)$ , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for ln(x)

Se pueden graficar más de dos funciones o más al mismo tiempo, separando las mismas con comas. Si queremos comparar las funciones $log(x)$ y $ln(x)$ en mismo gráfgico, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x), ln(x)

Supongamos ahora que queremos graficar las funciones identidad y cuadrática al mismo tiempo, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x, x^2

Notando que las funciones son graficadas con colores distintos para facilitar su distinción.

Una vez conociendo todo lo anterior podemos graficar transformaciones de funciones elementales. Por ejemplo el valor absoluto se denota como abs. Entonces para graficar las siguientes funciones $f(x)=(x-2)^2-1$ , $g(x)=1/(-x-2)+1$ y $h(x)=|ln(x+1)|$ , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for (x-2)^2-1, 1/(-x-2)+1, abs(ln(x+1))

También se pueden graficar funciones no elementales. Al usar aplicaciones más sofisticadas para hacer gráficos de funciones, la sintaxis usada en el buscador de google es muy parecida, entonces al dominar este tipo de escritura, no se presentará mayor dificultad al usar otra plataforma, aplicación o calculadoras avanzadas en general.

Rectas

13.12.201911.01.2023 Anthonny Arias García7 comentarios

La Recta Identidad

Una vez que hemos definido el Plano Cartesiano enfocaremos nuestro interés en estudiar subconjuntos de él, por ejemplo, consideremos todos los puntos $(x,y)$ en el plano cartesiano que cumplen con la condición $y=x$ , es decir,

$\{ (x,y) : y=x, x \in R \}$ .

Para entender mejor este conjunto, podemos hacer una representación gráfica considerando algunos valores de $x$ para sustituir en la expresión $y=x$ y de esta forma, calcular el valor de $y$ correspondiente.

Si $x=0$ , entonces $y=x$ implica que $y=0$ .
Si $x=1$ , entonces $y=x$ implica que $y=1$ .
Si $x=2$ , entonces $y=x$ implica que $y=2$ .
Si $x=-1$ , entonces $y=x$ implica que $y=-1$ .
Si $x=-2$ , entonces $y=x$ implica que $y=-2$ .

A partir de estos valores, podemos definir una tabla de valores que nos permitirá ubicar cada par ordenado en el plano cartesiano. Notando que no podemos representar todos los puntos de este conjunto de forma exhaustiva pues son infinitos, pero si pudiéramos hacerlo, éstos determinan una línea recta con 45 grados de inclinación respecto al Eje X. A esta recta la llamaremos recta identidad.

Recta Identidad Función Identidad Función Afín | totumat.com

Diremos que graficar es dibujar la representación gráfica de un conjunto en el plano cartesiano.

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A partir de la Recta Identidad, podemos definir conjunto haciendo pequeñas variaciones sobre ella, ya sea sumando números a la variable o multiplicando la variable.

Traslación de rectas

Ejemplo 1

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=x+1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Ejemplo 2

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=x-1, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos ejemplos, notamos que: al sumar $1$ a la variable, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; en cambio, al restar $1$ a la variable, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo.

En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=x+a, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia arriba.
Si $a<0$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en $a$ unidades hacia abajo.

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Inclinación de rectas

Ejemplo 3

Si consideramos el conjunto $\{ (x,y) : y=2x, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Ejemplo 4

El conjunto $\{ (x,y) : y=\frac{1}{2}x, x \in R \}$ , podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

En estos dos últimos ejemplos, notamos que: al multiplicar la variable por $2$ , graficamos la recta identidad rotada en sentido antihorario; en cambio, al multiplicar la variable por $\frac{1}{2}$ , graficamos la recta identidad rotada en sentido horario.

En general, si consideramos un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ , entonces consideramos dos casos:

Si $a>1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido antihorario.
Si $0<a<1$ , entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido horario.

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Reflexión de rectas

Ejemplo 5

El conjunto $\{ (x,y) : y = -x, x \in R \}$ podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de $x$ para determinar cuál es su valor de $y$ correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Notamos que al multiplicar por $-1$ , hemos reflejado la recta identidad respecto al Eje X, visualmente lo que ocurrió es que lo que estaba arriba pasó a estar debajo y lo que estaba debajo pasó a estar arriba.

En general, si $a>0$ , entonces un conjunto de la forma $\{ (x,y) : y=-a\cdot x, x \in R \}$ representa a la recta $\{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}$ reflejada respecto al Eje X.

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La Ecuación Canónica de la Recta

Hemos visto que al sumar un número a la variable en la ecuación que define una recta, estamos variando su posición, y por otra parte, al multiplicar la variable en la ecuación que define una recta, estamos variando el ángulo de inclinación.

Dicho esto, podemos definir de forma general un conjunto que engloba todos estos casos. Definimos una recta como el conjunto

$\{ (x,y) : y=m\cdot x + b, x \in R \}$

Donde $m$ será conocida como la pendiente de la recta y determina la inclinación de la recta y; $b$ es conocido como el intercepto de la recta y determina el punto de corte de la recta con el Eje Y.

Usualmente nos referiremos a las rectas por la ecuación que las define y las denotaremos con la letra $l$ (por la palabra line en inglés). Por lo tanto, podemos escribir una recta de la siguiente forma:

$l : y=m \cdot x + b$

A esta ecuación se le conoce como La Ecuación Canónica de la Recta, aunque en algunos libros de texto también se conoce como la ecuación pendiente-ordenada o pendiente-intercepto.

Las rectas constituyen una parte importante de las matemáticas, pues con ellas se pueden definir modelos básico para describir distintos fenómenos y así facilitar su entendimiento. Eventualmente nos toparemos con conjuntos del plano cartesiano un poco más complejos pero de momento, nos detendremos a estudiar las rectas con profundidad.

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Etiqueta: Gráfica

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Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

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Función Cuadrática

Función de Proporcionalidad Inversa

Función Raíz Cuadrada

Función Raíz Cúbica

Función Exponencial

Función Logarítmica

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La Recta Identidad

Traslación de rectas

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Inclinación de rectas

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Reflexión de rectas

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La Ecuación Canónica de la Recta

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