Optimización con restricciones con Multiplicadores de Lagrange

En ocasiones se encontrarán restricciones sobre las variables que estamos considerando, por ejemplo, pudiéramos considerar una función de costos conjuntos de una empresa que produce dos artículos A y B pero la cantidad total de unidades producidas debe ser igual a 200, en este caso tendríamos que

x+y=200

suponiendo que x es la cantidad de unidades producidas del artículo A y y la cantidad de unidades producidas del artículo B.

Al encontrar restricciones sobre las variables, debemos ser cautelosos en el cálculo de los extremos relativos ya que debemos tomar consideraciones adicionales. Debemos entonces establecer un nuevo método que nos permita calcular estos extremos relativos. De esta forma definimos el Método de los Multiplicadores de Lagrange de la siguiente forma:

Sea f(x,y) una función en varias variables, donde g(x,y)=0 es una restricción sobre estas variables. Consideramos una variable auxiliar \lambda y definimos una función auxiliar F como sigue

F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)

Nuestro propósito será el de calcular los puntos críticos de esta función auxiliar F, pues si (x_0,y_0,\lambda_0) es un punto crítico de F, entonces (x_0,y_0) es punto crítico de f sujeta a la restricción indicada. Para esto debemos calcular la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Finalmente aplicamos el criterio de la segunda derivada para determinar si este punto crítico es un extremo relativo de la función f(x,y). Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de funciones con restricción sobre sus variables.

Ejemplo

Sea f(x,y) = 3x^2 + 2y^2 + 80 una función, cuyas variables están restringidas a x+y=30. Determine los extremos relativos de esta función considerando la restricción indicada.

Para empezar, debemos reescribir la restricción como una función g(x,y) de la siguiente forma g(x,y)=x+y-30=0

Obteniendo la función g(x,y), definimos nuestra función auxiliar F(x,y,\lambda) como

F(x,y,\lambda) \; = \; f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)
\; = \; 3x^2 + 2y^2 + 80-\lambda \cdot (x+y-30)

Y planteamos el sistema de ecuaciones siguiente para calcular los puntos críticos de esta función:

Sustituimos x = \dfrac{\lambda}{6} y y = \dfrac{\lambda}{4} en la última ecuación para hallar el valor de \lambda

x+y = 30

\Rightarrow \; \dfrac{\lambda}{6} + \dfrac{\lambda}{4} = 30

\Rightarrow \; \dfrac{10}{24} \lambda = 30

\Rightarrow \; \lambda = 30 \dfrac{24}{10}

\Rightarrow \; \lambda = 72

Ahora sustituimos \lambda = 72 latex en x y y

Concluimos entonces que el punto (12,18,72) es un punto crítico de la función F(x,y,\lambda) y en consecuencia, el punto (12,18) es un punto crítico de la función f(x,y). Calculamos ahora las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir D(x,y).

f_x(x,y) = 6x \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 6

f_y(x,y) = 4y \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 4

f_{xy}(x,y) = 0

D(x,y)= f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 4 - 0 = 24

Finalmente, como D(12,18) = 24 > 0 y f_{xx}(12,18) = 6 > 0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (2,3).


Optimización (en varias variables)

Al estudiar funciones de una sola variable pudimos determinar los puntos en los cuales estas alcanzaban sus extremos locales, y también podremos encontrar extremos locales para funciones de varias variables generalizando el método que usamos para una variable tomando en cuenta que ya no trabajaremos con intervalos si no con regiones muy particulares en el plano XY.

Diremos que una función alcanza un máximo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \leq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por debajo de la imagen de (x_0,y_0).

Diremos que una función alcanza un mínimo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \geq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por encima de la imagen de (x_0,y_0).

Los máximos y mínimos de una función, serán llamados extremos locales, y estarán íntimamente relacionados con la primera derivada parcial de la función. En estos puntos, las rectas tangentes a la curvas que se definen al fijar las variables son horizontales, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que las derivadas parciales se anulan al mismo tiempo (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que (x_0,y_0) es un punto crítico de f(x,y) si

La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta que son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa.

Para determinar si un punto crítico (x_0,y_0) es un máximo o mínimo relativo debemos calcular las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir una función auxiliar D(x,y) de la siguiente forma

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2

en todos los puntos cercanos al punto (x_0,y_0) y posteriormente considerar los siguientes criterios:

  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}<0, entonces f alcanza un máximo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}>0, entonces f alcanza un mínimo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)<0, entonces f alcanza un punto de silla en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)=0, no hay información suficiente para concluir el comportamiento de f en el punto (x_0,y_0).

A este criterio lo llamamos Criterio de la Segunda Derivada para funciones de dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de una función en varias variables.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=3x^2+5y^2-12x-30y+200, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

Así el punto crítico de esta función es (2,3). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=6, \, f_{yy}(x,y)=10, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 10 - 0 = 60

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) = 60

Finalmente, como D(2,3)>0 y f_{xx}(2,3)>0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (2,3).

Ejemplo 2

Sea f(x,y)=y^2-x^2, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

Así el punto crítico de esta función es (0,0). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=-2, \, f_{yy}(x,y)=2, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = -2 \cdot 2 - 0 = -4

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) =-4

Finalmente, como D(2,3)<0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un punto de silla en el punto (0,0). Para entender exactamente por qué se llama punto de silla, observemos el gráfico de esta función y veamos su comportamiento en los puntos cercanos a (0,0).


Extremos locales

Diremos que una función alcanza un máximo local en un punto x_0, si existe un intervalo (a,b) tal que x_0 está contenido en dicho intervalo y demás f(x) \leq f(x_0) para todo x \in (a,b). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del intervalo (a,b) están por debajo de la imagen de x_0 pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en el punto (x_0,f(x_0)) es horizontal,

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Por otra parte, diremos que una función alcanza un mínimo local en un punto x_0, si existe un intervalo (a,b) tal que x_0 está contenido en dicho intervalo y demás f(x) \geq f(x_0) para todo x \in (a,b). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos del intervalo (a,b) están por encima de la imagen de x_0 pero además, podemos notar que la recta tangente a la curva en el punto (x_0,f(x_0)) es horizontal,

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Los máximos locales y mínimos locales de una función, serán llamados extremos locales, y estarán íntimamente relacionados con la derivada de la función pues al estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, encontramos puntos en los que esta deja de crecer para empezar a decrecer o; deja de decrecer para empezar a crecer, entonces nos preguntamos, ¿qué ocurre en estos puntos?

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En estos puntos, la recta tangente a la curva será horizontal, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que la derivada se anula (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que x_0 es un punto crítico de f(x) si

La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta, son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa. Para esto, debemos estudiar el comportamiento de la función en los lados del punto crítico.

Criterio de la Primera Derivada

Sea f(x) una función definida en un intervalo (a,b), x_0 \in (a,b) un punto crítico de esta, x \in (a,b) distinto de x_0,

  • Si f'(x) > 0 cuando x < x_0 y f'(x) < 0 cuando x > x_0,
    entonces f(x) alcanza un máximo local en x_0.
  • Si f'(x) < 0 cuando x < x_0 y f'(x) > 0 cuando x > x_0,
    entonces f(x) alcanza un mínimo local en x_0

Básicamente, si la función crece del lado izquierdo de x_0 y decrece del lado derecho de x_0, entonces esta alcanza un máximo en x_0. Si la función decrece del lado izquierdo de x_0 y crece del lado derecho de x_0, entonces esta alcanza un mínimo en x_0 A este criterio se le conoce como el Criterio de la Primera Derivada para extremos locales.

Para determinar los extremos locales de una función usando el Criterio de la Primera Derivada recurriremos a las tablas de análisis de signo, pues de esta forma se puede estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función con mayor facilidad. Veamos entonces algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos locales de la función f(x)=x^2.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=2x y esta función se anula cuando 2x=0 \Rightarrow x=0. Así, que x=0 es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función f(x)=x^2 es decreciente en el intervalo (-\infty,0) y es creciente en el intervalo (0,+\infty), por lo tanto f(x) alcanza un mínimo local en el punto x_0=0.

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=x^2 + 5x + 6 y esta función se anula cuando x^2 + 5x + 6=0 \Rightarrow (x+2)(x+3)=0. Así, que x=-2 y x=-3 son los puntos críticos de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2} + 6x es creciente en los intervalos (-\infty,-3) y (-2,+\infty); y es decreciente en el intervalo (-3,-2), por lo tanto f(x) alcanza un máximo local en el punto x_1=-3 y un mínimo local en el punto x_2=-2.

Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función f(x)=\frac{x^3}{6}.

El primer paso es calcular la primera derivada y calcular los puntos en los que esta se anula. Entonces, f'(x)=\frac{x^2}{2} y esta función se anula cuando \frac{x^2}{2} \Rightarrow x=0. Así, que x=0 es el único punto crítico de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la derivada para determinar monotonía de la función, para esto usamos una tabla de análisis de signo.

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De esta forma, concluimos que la función f(x)=x^2 siempre es creciente, por lo tanto f(x) no tiene extremos relativos.

Este último ejemplo, nos sirve para indicar que el hecho de que una función tenga un punto crítico, no implica que este sea un extremo relativo.