Categoría: Matemáticas

El Número e

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Las grandes constantes matemáticas

Las grandes constantes matemáticas provienen en su mayoría de relaciones geométricas por ejemplo, la constante de Pitágoras \sqrt{2} es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ambos catetos igual a 1, \pi es la proporción de la longitud de arco de una circunferencia entre su diámetro y el número de oro \Phi que define la proporción áurea (dos cantidades están en la proporción áurea si su proporción es igual a la proporción de su suma a la mayor de las dos cantidades).

Sin embargo, otras constantes que no provienen de este tipo de relaciones.

El interés compuesto

Suponga que usted invierte un capital P en un banco que ofrece un plan de plazo fijo con una tasa de interés compuesto del r \% anual. Entonces, Al final del primer año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior (P) más un r por ciento de ese capital (\frac{r}{100} \cdot P), es decir,

P + \frac{r}{100} \cdot P

Y notando que podemos sacar a P como un factor común, obtenemos

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)

Al final del segundo año usted habrá acumulado lo que tenía en el año anterior (P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)) más un r por ciento de ese capital (\frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) ), es decir,

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) + \frac{r}{100} \cdot P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)

Y notando que podemos sacar a P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) como un factor común, obtenemos

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right) \left( 1 + \frac{r}{100}\right) = P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^2

Si continuamos razonando de esta manera, podemos concluir que al final del tercer año usted habrá acumulado P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^3, al final del cuarto año P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^4 y así de forma sucesiva, podemos decir que al final del n-ésimo año habrá acumulado

P \left( 1 + \frac{r}{100}\right)^n

Un caso particular

Esta fórmula nos provee una forma general de calcular el capital acumulado con una tasa de interés r al cabo de n periodos de tiempo. Consideremos un caso muy particular, en el que tomamos un perolito (moneda oficial de totumat) y los invertimos en un banco que ofrece una tasa de interés del 100% anual. Entonces, al cabo de un año habremos acumulado

\left( 1 + 1 \right)^1 = 2

Supongamos ahora que este banco, ofrece una tasa de interés del 50% semestral, de esta forma, al final del año han culminado dos periodos y así, habremos acumulado

\left( 1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2,25

Notamos que al final del año se habrá acumulado un capital mayor por lo que parece atractiva la idea de segmentar el año más cuotas de interés, entonces si consideramos una tasa de interés del 33.333% cuatrimestral, al final del año han culminado tres periodos y así, habremos acumulado

\left( 1 + \frac{1}{3}\right)^3 = 2,37

Podemos razonar de esta manera de forma sucesiva, partiendo el año en periodos más pequeños para maximizar nuestro capital acumulado, sin embargo, observemos cuidadosamente lo que ocurre

\left( 1 + \frac{1}{4}\right)^4 = 2.44
\left( 1 + \frac{1}{12}\right)^{12} = 2,61
\left( 1 + \frac{1}{52}\right)^{52} = 2,69
\left( 1 + \frac{1}{365}\right)^{365} = 2,71
\left( 1 + \frac{1}{8760}\right)^{8760} = 2,71
\left( 1 + \frac{1}{31536000}\right)^{31536000} = 2,71

Si bien el capital acumulado aumenta a medida que segmentamos el año, éste tiende a estancarse incluso si estamos acumulando intereses de forma continua en el tiempo. Lo que que han descubierto las matemáticas es que a medida que n tiende a infinito, la expresión \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n tiende a un número particular que se conoce como la Constante de Euler o Constante de Napier. De forma general, tenemos que

El número \textit{\Large e} tiene gran importancia en las matemáticas ya que este representa el crecimiento natural de las cosas. Además cuenta con propiedades muy ricas en el cálculo diferencial e integral.

Funciones continuas

Anthonny Arias-García1 comentario
  1. Definición de Continuidad
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3

Hasta ahora hemos estudiado funciones elementales observando su comportamiento global al graficarlas en todo su dominio y su comportamiento local usando el cálculo infinitesimal. En ocasiones podemos toparnos que no están definidas en exactamente un punto o que su comportamiento cambia drásticamente de momento a otro, tal como ocurre al definir las funciones por partes.

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Definición de Continuidad

Al observar la gráfica de una función diremos —de forma intuitiva— que una función es continua si ésta no presenta ningún salto o que se puede dibujar sin levantar el lápiz. Formalmente, diremos que una función f(x) es continua en un punto x=x_0 si se cumple la siguiente igualdad

\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

Más aún, diremos que la función f(x) es continua en un intervalo I si esta es continua para todo punto x_0 \in I.

Se interpreta matemáticamente de la siguiente forma:

Para todo número real \epsilon > 0, existe un número real \delta > 0 tal que
si 0 < |x-x_0| < \delta entonces |f(x) - f(x_0)| < \epsilon

Notemos que la definición de continuidad está íntimamente relacionada con la definición de límites, entonces, si bien en algunos casos puede resultar obvia la continuidad de una función, hay casos en los que no. Veamos algunos ejemplos básicos para demostrar la continuidad de una función.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x) definida a continuación, verifique la continuidad de la misma en el punto x_0 = 2.

f(x) = x^2, \ x_0=2

Este caso es muy claro, pues al calcular el límite sustituyendo el valor x=2 en la función se verifica inmediatamente la igualdad pues

\displaystyle f(2) = 4 y \displaystyle \lim_{x \to 2} x^2 = 4.

Ejemplo 2

Considerando la función f(x) definida a continuación, verifique la continuidad de la misma en el punto x_0 = -3. Note que la función está definida por partes.

f(x) = \left\{ {\begin{array}{lcr} x+1 & \text{ si } & x \neq 2 \\ \\ x-1 & \text{ si } & x = -3 \\ \end{array} } \right. \\

Al estar definida la función por partes, hay tomar en cuenta que al calcular el límite cuando x tiende a -3 estamos considerando los valores de x cercanos a -3 pero no iguales, es decir, son distintos de -3, de esta forma tenemos que

\displaystyle \lim_{x \to -3} f(x)

\displaystyle = \lim_{x \to -3} x+1

\displaystyle = -3 + 1

\displaystyle = -2

Por otra parte, al evaluar la función en x=-3 tenemos que

f(-3)

= -3 - 1

= -4

En vista de que el límite cuando la función tiende a -3 es distinta de la función evaluada en -3, es decir, \lim_{x \to -3} f(x) \neq f(-3), concluimos que la función no es continua en el punto x=-3.

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Ejemplo 3

Considerando la función f(x) definida a continuación, verifique la continuidad de la misma en el punto x_0 = 1. Note que la función está definida por partes.

f(x) = \left\{ {\begin{array}{lcr} x^2-1 & \text{ si } & x < 1 \\ \\ \dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{ si } & x \geq 1 \\ \end{array} } \right. \\

Al estar definida la función por partes, hay que tomar en cuenta que al calcular el límite cuando x tiende a 1, es necesario considerar los límites laterales. Entonces,

Si calculamos el límite por la izquierda, estamos considerando los valores de x menores que 1, de esta forma tenemos que

\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)

\displaystyle = \lim_{x \to 1^-} x^2 - 1

\displaystyle = 1^2 - 1

\displaystyle = 1 - 1

\displaystyle = 0

Si calculamos el límite por la derecha, estamos considerando los valores de x mayores que 1, de esta forma tenemos que

\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)

\displaystyle = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x-1}

\displaystyle = \frac{1^2 - 1}{1-1}

\displaystyle = \frac{0}{0}

El resultado es una indeterminación, es por esto que debemos factorizar el polinomio que está en el numerador para simplificar el límite.

\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x-1}

\displaystyle = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

\displaystyle = \lim_{x \to 1^+} x+1

\displaystyle = 1 +1

\displaystyle = 2

Finalmente, tenemos que los límites laterales son distintos, es decir, \lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x). Entonces, no existe el límite de la función f(x) cuando x tiende a 1 y así, la función no es continua en x_0 = 1

Considerando estos tres ejemplos, podemos establecer una serie de pasos para determinar si una función es continua en un punto de la siguiente forma: Sea f(x) una función, diremos que esta es continua en un punto x_0 si se cumplen las siguientes condiciones.

  1. x_0 está en el dominio de la función f(x).
  2. El límite de f(x) existe cuando x tiende a x_0, es decir,
    \displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)
  3. \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

Indeterminación infinito menos infinito ∞-∞

Anthonny Arias-García1 comentario

Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando x tiende al infinito, entonces el límite de la resta entre estas dos funciones presenta una indeterminación. Para entender como determinar este tipo de límites debemos considerar el grado de las funciones involucradas pues el crecimiento de la función de mayor grado predominará sobre el crecimiento de las funciones de menor grado en el infinito, de esta forma determinamos este tipo de límite de la siguiente manera

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} x^2 - x = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser 2 el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} x^2 - x = \infty

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} 6\sqrt[3]{x+1} - 7x^5 + 6 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser 5 el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} 6\sqrt[3]{x+1} - 7x^5 + 6 = -\infty

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^7 - 3} - \ln(x) + 9 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser \frac{7}{5} el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^7 - 3} - \ln(x) + 9 = \infty

Ejemplo 4

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^x - 8x^{20} - 15 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser función exponencial de mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^x - 8x^{20} - 15 = \infty

Ejemplo 5

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x} - x^3 - 3 = \infty - \infty , este presenta una indeterminación pero al ser 3 el mayor grado, entonces tenemos que

\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x} - x^2 - 3 = -\infty

Estos ejemplos no presentan mayor dificultad para determinarlos debido a que la diferencia entre los grados es clara, así que consideraremos otros ejemplos en los que el grado de las funciones es el mismo. Veamos cuales son las técnicas para determinarlos.

Límite que involucra una función radical

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = \infty - \infty, este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos notar que el \emph{conflicto} es generado por la resta entre cada elemento de la función. Consideremos el conjugado de esta expresión \left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right) para multiplicar y dividir por la función, entonces

\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} \right) \cdot \frac{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}

Al multiplicar la expresión \left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right) por su conjugado obtenemos una diferencia de cuadrados, así que el límite se reescribe de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt{x-1} \right)^2 - \left( \sqrt{x+1} \right)^2}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}

Posteriormente simplificamos y efectuamos las operaciones en el numerador para obtener

\lim_{x \to \infty} \frac{\left( x-1 \right) - \left( x+1 \right)}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}

Una vez que evaluamos el límite tenemos que

\frac{-2}{\infty + \infty} = \frac{-2}{\infty} = 0

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = 0

Límite que involucra una función exponencial

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x+7} - \text{\large e}^{2x-3} = \infty - \infty, este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos recurrir a las propiedades de las potencias y notar que \text{\large e}^{5x+7} = \text{\large e}^{5x} \cdot \text{\large e}^{7} y \text{\large e}^{2x-3} = \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3}, de esta el límite será igual a

\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3}

Notando además, que \text{\large e}^{5x} = \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{3x}, obtenemos

\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{3x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3} = \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{2x} \cdot \left( \text{\large e}^{3x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{-3} \right)

Por lo tanto, al evaluar el límite tenemos que

\lim_{x \to \infty} \infty \cdot \infty = \infty

Por lo tanto, concluimos que \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x+7} - \text{\large e}^{2x-3} = \infty

Límite que involucra una función logarítmica

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \ln(15x-9) - \ln(3x+4) = \infty - \infty, este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos recurrir a las propiedades de los logaritmos y notar que \ln(a) - \ln(b) = \ln \left( \frac{a}{b} \right), de esta el límite será igual a

\lim_{x \to \infty} \ln \left( \frac{15x-9}{3x+4} \right)

Si nos fijamos que el cociente que está dentro de logaritmo es un cociente de polinomios del mismo grado, entonces su límite será igual a la división entre sus coeficientes principales, de esta forma, el límite de este cociente es igual \frac{15}{3} = 5, por lo tanto concluimos que

\lim_{x \to \infty} \ln(15x-9) - \ln(3x+4) = \ln(5)

Indeterminación Infinito sobre Infinito ∞/∞ (2 de 2)

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Vimos que al considerar el cociente entre polinomios cuando la variable x tiende infinito, se puede determinar el límite considerando el grado de los polinomios. Esta situación se puede generalizar para cualquier cociente entre funciones considerando el grado de ambas funciones. Veamos entonces con los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es igual a \frac{1}{2} y el grado del denominador es igual a 1 entonces

\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x+1} = 0

Ejemplo 2

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{\text{\large e}^x + x^2 + 5}{2x^7 + 3x^5 + x} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es exponencial y el grado del denominador es igual a 7 entonces

\lim_{x \to \infty} \frac{\text{\large e}^x + x^2 + 5}{2x^7 + 3x^5 + x} = \infty

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x + 100}{\ln(x) + 20} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es igual a 1 y el grado del denominador es logarítmico entonces

\lim_{x \to \infty} \frac{x + 100}{\ln(x) + 20} = \infty

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¿Y si el grado es el mismo?

Si bien estos ejemplos no presentan mayor complicación para determinarlos debido a que la diferencia entre los grados es clara, vale la pena considerar otros ejemplos en los que el grado de las funciones es el mismo. La técnica no será muy distinta a la que usamos para determinar los límites de cocientes entre polinomios pues dividiremos siempre el numerador y el denominador por la función elemental de mayor grado involucrada en el límite.

Límite que involucra una función radical

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{3x-25} + 8} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es \frac{1}{2}, entonces dividimos el numerador y el denominador por \sqrt{x}

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{4x-25} + 8}{\sqrt{x}}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\sqrt{9x+5}}{\sqrt{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{4x-25}}{\sqrt{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}

Notamos además, que podemos combinar las raíces cuadradas de la siguiente manera

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\frac{9x+5}{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\sqrt{\frac{4x-25}{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas de la misma forma que las hemos simplificado anteriormente, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9+\frac{5}{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\sqrt{4-\frac{25}{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de las expresiones involucradas, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{x} = 0 y \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\sqrt{x}} = 0 (con a \neq 0), así el límite será igual a

\dfrac{\sqrt{9+0} - 0}{\sqrt{4-0} + 0} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \dfrac{3}{2}

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{3x-25} + 8} = \frac{3}{2}

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Al considerar funciones algebraicas es más intuitiva la simplificación de las expresiones, sin embargo, al considerar funciones trascendentales esta simplificación no es tan obvia, es por eso que en los siguientes ejemplos veremos algunos casos donde podemos determinar los límites de forma intuitiva.

Límite que involucra una función exponencial

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{5\text{\large e}^x + x^2-7} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es exponencial, entonces dividimos el numerador y el denominador por \text{\large e}^x

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{\text{\large e}^x}}{\frac{5\text{\large e}^x + x^2-7}{\text{\large e}^x}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 10\frac{\text{\large e}^x}{\text{\large e}^x} + \frac{3x}{\text{\large e}^x} + \frac{2}{\text{\large e}^x}}{5 \frac{\text{\large e}^x}{\text{\large e}^x} + \frac{x^2}{\text{\large e}^x}-\frac{7}{\text{\large e}^x}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 10 + 3\frac{x}{\text{\large e}^x} + \frac{2}{\text{\large e}^x}}{5 + \frac{x^2}{\text{\large e}^x}-\frac{7}{\text{\large e}^x}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\text{\large e}^x} = 0 (con a \neq 0), \frac{x}{\text{\large e}^x} = 0 y \frac{x^2}{\text{\large e}^x} = 0, así el límite será igual a

\frac{10 + 0 + 0}{5 + 0 - 0} = \frac{10}{5} = 2

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{5\text{\large e}^x + x^2-7} = 2

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Límite que involucra una función logarítmica

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{14 \ln(x) + 3}{5\ln(x) - 25} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es exponencial, entonces dividimos el numerador y el denominador por \ln(x)

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{14 \ln(x) + 3}{\ln(x)}}{\frac{5\ln(x) - 25}{\ln(x)}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 14\frac{\ln(x)}{\ln(x)} + \frac{3}{\ln(x)}}{5 \frac{\ln(x)}{\ln(x)} - \frac{25}{\ln(x)}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 14 + \frac{3}{\ln(x)}}{5 - \frac{25}{\ln(x)}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\ln(x)} = 0 (con a \neq 0), así el límite será igual a

\frac{14 + 0}{5 - 0} = \frac{14}{5}

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{14 \ln(x) + 3}{5\ln(x) - 25} = \frac{14}{5}

Indeterminación Infinito sobre Infinito ∞/∞ (1 de 2)

Anthonny Arias-García3 comentarios

La Indeterminación \frac{\infty}{\infty}

Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando x tiende al infinito, entonces el límite de la división entre estas dos funciones presenta una indeterminación

\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}

Consideremos de forma particular en el que P(x) y Q(x) son funciones polinomiales que tienden a infinito cuando x tiende a infinito. El método para determinar este tipo de límites consiste en dividir por x^n en el numerador y en el denominador, donde n es el mayor grado involucrado en el límite. Veamos con algunos ejemplos como desarrollar este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que 2 es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por x^2.

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2 - 1}{x^2}}{\frac{2x + 1}{x^2}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\infty} = 0, \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = \frac{2}{\infty} = 0, así el límite será igual a

\frac{1 - 0}{0 + 0} = \frac{1}{0} = \infty

Donde la fracción \frac{1}{0} servirá como indicador de que el numerador crece con mayor velocidad que el denominador, por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \infty.

Ejemplo 2

\item Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que 3 es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por x^3.

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3 - x + 4}{x^3}}{\frac{4x^3 + 6x^2 +10}{x^3}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{4}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3} + \frac{6x^2}{x^3} + \frac{10}{x^3}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{4 + \frac{6}{x} + \frac{10}{x^3}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0, así el límite será igual a

\dfrac{1 - 0 + 0}{4 + 0 + 0} = \dfrac{1}{4}

Por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{1}{4} .

Ejemplo 3

Si consideramos \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = \frac{\infty}{\infty}, este límite presenta una indeterminación pero considerando que 4 es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por x^3.

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2 - 2x - 7}{x^4}}{\frac{12x^4 - 9x^2 + 2}{x^4}}

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2}{x^4} - \frac{2x}{x^4} - \frac{7}{x^4}}{\frac{12x^4}{x^4} - \frac{9x^2}{x^4} + \frac{2}{x^4}}

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^3} - \frac{7}{x^4} }{12 - \frac{9}{x^2} + \frac{2}{x^4}}

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0, así el límite será igual a

\dfrac{0 - 0 - 0}{12 + 0 + 0} = \dfrac{0}{12} = 0

Donde la fracción \frac{0}{12} servirá como indicador de que el denominador crece con mayor velocidad que el numerador, por lo tanto concluimos que \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = 0 .

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La regla general

Considerando estos tres últimos ejemplos, podemos notar que si consideramos dos polinomios que están definidos de la siguiente forma:

P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0
Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0

Entonces, el límite de la división \frac{P(x)}{Q(x)} cuando x tiende a infinito estará determinado de la siguiente forma:

  • Será igual a \infty si m>n.
    Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el numerador crece con mayor velocidad.
  • Será igual a \frac{a_m}{b_n} si m=n.
    Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es igual que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto ambos crecen a la misma velocidad.
  • Será igual a 0 si m<n.
    Esto quiere decir que el grado del polinomio en el denominador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el denominador crece con mayor velocidad.