Elasticidad de Demanda

Al estudiar la demanda de un artículo respecto a su precio, es posible cuantificar la relación entre estos dos elementos definiendo la ecuación de demanda, tomando en cuenta que a menor precio mayor será la demanda y viceversa, sin embargo, es importante estudiar qué tan sensible es la demanda respecto a un cambio en el precio.

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Partiendo de los cambios porcentuales en el precio y la demanda, podemos estudiar la sensibilidad de la demanda respecto un cambio en el precio tal como lo veremos en los siguientes ejemplos:

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la demanda de Coca-Cola ha decrecido en un 5\% después de que el precio de esta aumentó en un 3\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es mayor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es elástica, pues un cambio en el precio ha tenido una alta incidencia en la demanda.

Ejemplo 2

Suponga que la demanda de Zanahoria ha decrecido en un 10\% después de que el precio de esta aumentó en un 10\%. En términos absolutos, notamos el cambio en la demanda igual que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda tiene elasticidad unitaria, pues el cambio en el precio y en la demanda tienen la misma magnitud.

Ejemplo 3

Suponga que la demanda de Gas Doméstico, usado para cocinar, ha decrecido en un 2\% después de que el precio de esta aumentó en un 7\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es menor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es inelástica, pues un cambio en el precio ha tenido una baja incidencia en la demanda.


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Tomando en cuenta estos ejemplos, definimos un indicador que llamaremos Elasticidad de Demanda, que se calcula dividiendo el cambio porcentual en la demanda entre el cambio porcentual en el precio y podemos categorizar el valor de dicho indicador de la siguiente forma:

  • Si el cambio porcentual en la demanda es mayor que el cambio porcentual en el precio, entonces

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| > 1 \Longrightarrow La demanda es elástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Elástica | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es igual que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| = 1 \Longrightarrow La demanda tiene elasticidad unitaria

Elasticidad de Demanda, Elasticidad Unitaria | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es menor que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| < 1 \Longrightarrow La demanda es inelástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Inelástica | totumat.com

La elasticidad de demanda también se puede calcular en el estudio de las ecuaciones de demanda, particularmente, cuando definimos funciones de demanda. Supongamos que definimos el precio p de un determinado artículo en función de las cantidades demandadas q para determinar una función de demanda, es decir,

p=f(q)

De esta forma, los consumidores demandarán q unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q), por otra parte, los consumidores demandarán q+h unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q+h). Considerando estos valores, podemos calcular en cuanto se han incrementado la cantidad demandada y el precio.

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La diferencia (q+h) - q = h determina el incremento que hubo en la cantidad demandada y más aún, el cambio porcentual en la cantidad demandada es calculado de la siguiente forma:

\frac{h}{q} \cdot 100

La diferencia f(q+h) - f(q) determina el incremento que hubo en el precio y más aún, el cambio porcentual en el precio es calculado de la siguiente forma:

\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100

Considerando estos cambios porcentuales, calculamos el cociente entre estos dos cambios para determinar la elasticidad de demanda de las siguiente forma:

\dfrac{\frac{h}{q} \cdot 100}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100} = \dfrac{\frac{h}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)}}

Considerando esta última división de fracciones, podemos notar que esta es equivalente a la siguiente división de fracciones

\dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

Esta última expresión resulta de vital importancia para estudiar la elasticidad de demanda al considerar el menor incremento posible, es decir, cuando h \to 0 entonces podemos definir la siguiente expresión

\lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

De existir este límite, debemos notar que la fracción que se encuentra en el denominador es justamente la derivada de la función f(q) respecto a la variable q. Entonces, considerando que la función f(q) determina el precio p, definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(q) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{dp}{dq}}

Sin embargo, debemos tomar en cuenta que si se está estudiando como la variación del precio afecta a la demanda, conviene expresar la demanda en función del precio y en consecuencia. Entonces, partiendo del hecho de que la derivada de p respecto a q se puede expresar en función de la derivada de la función inversa de p, es decir,

\dfrac{dp}{dq} = \dfrac{1}{\dfrac{dq}{dp}}

Podemos concluir que si la función de demanda está expresada como q en función de p, entonces definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(p) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{1}{\frac{dp}{dq}}} = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{dq}{dp}

Una vez que hemos calculado la elasticidad puntual de demanda usando esta definición, podemos categorizar este valor para indicar cual es el impacto que tiene el precio sobre la demanda de la siguiente manera:

  • Si \left| \eta \right| > 1, entonces la demanda es elástica.
  • Si \left| \eta \right| = 1, entonces la demanda tiene elasticidad unitaria.
  • Si \left| \eta \right| < 1, entonces la demanda es inelástica.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la elasticidad puntual a partir de una función de demanda.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Suponga que la demanda semanal de kilos de zanahoria en una pequeña tienda de verduras de la ciudad está definida por la siguiente función:

q = -\frac{9}{5} \cdot p + 43

¿Cuál es la elasticidad puntual de demanda si se fija el precio del kilo de zanahoria en 17.5?

Para usar la fórmula de la elasticidad puntual de demanda debemos calcular la derivada de la función de demanda, de esta forma, tenemos que

\dfrac{dq}{dp} = -\frac{9}{5}

Una vez calculada la derivada de la función de demanda, sustituimos la derivada y la función en nuestra fórmula:

\eta(p) = \frac{p}{q} \cdot \frac{dq}{dp} = \frac{p}{-\frac{9}{5} \cdot p + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right)

Teniendo planteada la fórmula de la elasticidad puntual de demanda para la función q(p), evaluamos en p=17.5,

\eta(17.5) = \frac{17.5}{-\frac{9}{5} \cdot 17.5 + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right) = -2.7391

De esta forma, al ser |-2.7391| > 1, concluimos que la demanda puntual es elástica cuando se fija el precio en p=17.5, es decir, este precio tiene alta incidencia en la demanda del kilo de zanahoria.


Derivada de la función inversa

Al estudiar el comportamiento gráfico de una función y de su inversa, podemos notar que estas están reflejadas a través de la recta identidad, tomando esto en cuenta, pudiéramos determinar la derivada de la inversa de una función a partir de la derivada de la función original, pero, ¿de qué forma?

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Si estudiamos gráficamente la derivada de la función cuadrática, f(x)=x^2, en el punto x=1, sabemos que esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a 2.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Por otra parte, si estudiamos gráficamente la derivada de la función raíz cuadrada, f^{-1}(x)=\sqrt{x}, en el punto x=1, esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a \frac{1}{2}.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Debemos notar que la función cuadrática y la función raíz cuadrada son funciones inversas, y el resultado de cada una de sus derivadas, 2 y \frac{1}{2}, son inversamente proporcionales. Más aún, las rectas tangentes a ambas funciones en el punto (1,1) parecieran ser una reflexión de la otra a través de la recta identidad, esto se puede apreciar mejor en el siguiente gráfico:

Derivada de la función inversa | totumat.com

Esto sugiere que sus derivadas son inversamente proporcionales, para ser más precisos, la derivada de la función inversa de f evaluada en y_0 es inversamente proporcional a la derivada de la función f en la preimagen de y_0. Esta idea se presenta formalmente con el siguiente teorema:

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Teorema (La derivada de la función inversa)

Sea f : (a,b) \longrightarrow \mathbb{R} una función inyectiva, derivable en un punto x_0=f^{-1}(y_0) del intervalo (a,b), tal que f'(f^{-1}(y_0)) \neq 0. Entonces, f^{-1} es derivable en y_0 y además,

(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'\big( f^{-1}(y_0) \big)}

Podemos presentar esta última expresión de una forma más amigable, y es que si consideramos una variable x=f^{-1}(y), podemos reescribir la derivada de la variable x respecto a la variable y como un cociente de diferenciales de la siguiente forma:

(f^{-1})'(y) = \frac{d}{dy} \left( f^{-1}(y) \right) = \frac{dx}{dy}

Por otra parte, también podemos reescribir la derivada f'\left( f^{-1}(y) \right) como un cociente de diferenciales, tomando en cuenta que f y f^{-1} son funciones inversas, de la siguiente forma:

f'\left( f^{-1}(y) \right) = \frac{d}{dx} \left( f\left( f^{-1}(y) \right) \right) = \frac{dy}{dx}

Entonces, aplicando el teorema para calcular la derivada de la función inversa, tenemos que

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{\dfrac{dy}{dx}}

Notemos que esta última expresión es equivalente a \frac{dy}{dx} = \frac{ \ \ 1 \ \ }{\frac{dx}{dy}} y aunque este teorema es potente para el desarrollo de las matemáticas, existen algunos casos en la práctica donde resulta útil. Veamos en los siguientes ejemplos, algunas funciones para entender como calcular la función inversa usando este el teorema.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x)=x^2, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt{x}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=2x. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 2 \cdot f^{-1}(x)

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{2f^{-1}(x)}

= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Ejemplo 2

Considerando la función f(x)=(x+1)^3, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}-1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=3(x+1)^2. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x}-1 + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}

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Ejemplo 3

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=-2x+5, calcule la derivada de su función inversa x=-\frac{1}{2}y + \frac{5}{2}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=-2, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{-2}

= -\dfrac{1}{2}

Ejemplo 4

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=\textit{\Large e}^{x+1} + 7, calcule la derivada de su función inversa x= \ln(y-7) - 1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=\textit{\Large e}^{x+1}, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{x+1}}

Finalmente, sustituyendo la variable x = \ln(y-7) - 1 en este último resultado, obtenemos lo siguiente:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7) - 1+1}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7)}}

= \dfrac{1}{y-7}

Nota: Se mantiene que \textit{\Large e}^{\ln(y-7)} = y-7 pues la función exponencial y la función logaritmo neperiano son funciones inversas.


Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estabilidad

Hemos dicho que nos interesa estudiar el comportamiento de la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas alrededor de un punto particular, y este punto es el punto de equilibrio, así que una vez que sabemos como calcularlo. Veamos qué tipos de comportamiento podemos identificar.

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Punto estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si a partir de un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación, podemos definir un nuevo entorno sobre el punto de equilibrio que contiene al valor inicial, y así, asegurar que todos los elementos de la sucesión que define la solución están dentro del entorno original, entonces decimos que punto de equilibrio es estable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto estable si dado \varepsilon > 0, existe un número real \delta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \delta, entonces |y_{t} - P_e| < \varepsilon para todo t

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, entonces podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Punto inestable

Si al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo existirá un entorno del punto de equilibrio tal que por más cercano que el valor inicial esté del punto de equilibrio, hay un elemento de la sucesión que define la solución por fuera del entorno dicho entorno. En este caso, decimos que es el punto de equilibrio inestable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto inestable si existe un número real \varepsilon > 0 y un número real \delta > 0 tal que

|y_0 - P_e| < \delta pero |y_{k} - P_e| > \varepsilon para algún k

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, pero no podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud creciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud creciente.
oscilaciones explosivas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones explosivas.


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Punto atractor

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si existe un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación que contiene al valor inicial, a partir del cual podemos asegurar que los elementos de la sucesión que define la solución se acercan cada vez más al punto de equilibrio, entonces decimos que el punto de equilibrio es un atractor.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto atractor si existe un número real \eta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \eta, entonces \lim_{t \to \infty} y_{t} = P_e

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Más aún, si esto se cumple para cualquier número real \eta, decimos que el punto de equilibrio es un punto atractor global. Gráficamente, lo que ocurre es que independientemente de sea cual sea el valor de y_0, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

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Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


Asintóticamente estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si el punto de equilibrio es estable y atractor, entonces decimos que es un punto de equilibrio asintóticamente estable.

Más aún, si el punto de equilibrio es estable y atractor global, entonces decimos que es un punto de equilibrio globalmente asintóticamente estable.

Veamos en los siguientes ejemplos, como determinar la estabilidad del punto de equilibrio.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = 2y_{t} + 5 con condición inicial y_0 = 10, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = 2^t \cdot 15 - 5 \text{ y } P_e= \frac{5}{1-2} = -5

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a +\infty, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo mayor que uno: 2; es decir,

\lim_{t \to \infty} 2^t \cdot 15 - 5 = +\infty

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud creciente:

fluctuaciones de amplitud creciente | totumat.com

Ejemplo 2

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = -3y_{t} + 7 con condición inicial y_0 = \frac{2}{3}, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = (-3)^t \cdot \frac{2}{3} + \left( 1-(-3)^t \right) \left( \frac{7}{4} \right) \text{ y } P_e= \frac{7}{4}

Si intentamos calcular el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a +\infty para los valores pares de t y tiende a -\infty para los valores impares de t, esto se debe a que la base de la potencia es un número negativo menor que menos uno: -3; de esta forma, el límite no existe y concluimos que esta sucesión diverge.

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe oscilaciones explosivas:

oscilaciones explosivas | totumat.com

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden 10y_{t+1} = 5y_{t} + 4 con condición inicial y_0 = 20, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \left( \frac{4}{5} \right) \text{ y } P_e= \frac{4}{5}

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a \frac{4}{5}, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo menor que uno: \frac{1}{2}; es decir,

\lim_{t \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \cdot \left( \frac{4}{5} \right) = 0 \cdot 20 + (1 - 0) \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto asintóticamente estable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud decreciente:

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com

Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estado de equilibrio

Las soluciones de una Ecuación en Diferencias Finitas están definidas por sucesiones, y una vez que hemos aprendido a calcular estas soluciones, resultará de vital interés estudiar el comportamiento las mismas y más aún, nos interesará su comportamiento respecto a un punto muy particular.

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Punto Fijo

Un punto fijo de una función es un punto en el que un elemento del dominio coincide con él mismo en el rango. Formalmente, si consideramos una función real f : A \longrightarrow B, definimos un punto fijo de esta función como un punto x_0 perteneciente al dominio de f tal que

f(x_0) = x_0

Gráficamente, diremos que un punto fijo de una función es donde esta coincide con la función identidad, es decir, donde coincide con la función f(x)=x.

Punto de Equilibrio | totumat.com

Ejemplos

Ejemplo 1

La función f(x)=-x+1 tiene un punto fijo en x_0 = \frac{1}{2}, pues f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}.

Ejemplo 2

La función f(x)=x^2 tiene dos puntos fijos: x_0 = 0 y x_1 = 1, pues f(0)=0 y f(1)=1, respectivamente.

Ejemplo 3

La función f(x)=\frac{x^3}{8} tiene tres puntos fijos: x_0 = -2, x_1 = 0 y x_2 = 2, pues f(-2)=-2, f(0) = 0 y f(2)=2, respectivamente.


Estado de Equilibrio

Al definir la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas, nos interesará estudiar el comportamiento de esta alrededor de un punto en particular. Considerando una ecuación en diferencias finitas definida de la forma y_{t+1} = f(y_{t}), diremos que P_e es un punto de equilibrio de esta ecuación si P_e es un punto fijo de f, esto es,

f(P_e) = P_e

Es decir, P_e representa una solución que permanece constante a partir de algún valor de t. Particularmente, si consideremos la condición inicial y_0=P_e, entonces, al estar la ecuación definida de la forma y_{t+1} = f(y_{t}), tenemos que

y_{1} = f(y_0) = f(P_e) = P_e

Y procediendo de forma recursiva, podemos concluir que y_t = P_e. Al estado en que una sucesión permanece constante de esta forma se le conoce como Estado de Equilibrio o Estado Estacionario.

Veamos en el siguiente ejemplo, como calcular el punto de equilibrio de una sucesión de la forma y_{t+1} = py_{t} + q.

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

y_{t+1} = 2y_{t} + 5

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si y_{k} = P_e para cualquier valor de k, entonces y_{t+1} = y_{t} = P_e, por lo tanto, se debe cumplir que

P_e = 2 \cdot P_e+5

Así, despejando P_e de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio:

P_e= \frac{5}{1-2} = -5

De esta forma, si fijamos la condición inicial y_0 = -5, y_{1} = 2(-5) + 5 = -10 + 5 = -5 y procediendo así de forma recursiva, podemos concluir que y_t = -5.


Considerando este último ejemplo, de forma general, podemos plantear una fórmula general para la solución de este tipo de ecuaciones, pues al considerar una ecuación de la forma:

y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si y_{k} = P_e para cualquier valor de k, entonces y_{t+1} = y_{t} = P_e, por lo tanto, se debe cumplir que

P_e = p \cdot P_e+q

Así, despejando P_e de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio aplicando al siguiente fórmula:

P_e= \dfrac{q}{1-p}

Ejemplos

Ejemplo 4

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

y_{t+1} = -3y_{t} + 7

Entonces, identificamos los valores p=-3 y q=7 y; aplicamos la fórmula para calcular el punto de equilibrio, de la siguiente forma:

P_e= \frac{7}{1-(-3)} = -\frac{7}{4}

Ejemplo 5

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

10y_{t+1} = 5y_{t} + 4

Notemos que y_{t+1} está multiplicado por el coeficiente 10, entonces, debemos estandarizar la ecuación dividiendo cada uno de los términos por este coeficiente 10 para obtener:

y_{t+1} = \frac{1}{2}y_{t} + \frac{2}{5}

Entonces, identificamos los valores p=\frac{1}{2} y q=\frac{2}{5} y; aplicamos la fórmula para calcular el punto de equilibrio, de la siguiente forma:

P_e= \dfrac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}


Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales de Primer Orden

En el estudio de los fenómenos medidos de forma discreta a través del tiempo, resulta de particular interés relacionar de forma lineal lo ocurrido en el presente con lo ocurrido en el periodo inmediato anterior, es decir, lo ocurrido en un periodo t con lo ocurrido en el periodo anterior t-1. Para esto, definimos un tipo particular de Ecuaciones en Diferencias Finitas.

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Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales de Primer Orden

Una vez que hemos aprendido a clasificar las Ecuaciones en Diferencias, podemos empezar a estudiar los métodos para calcular la solución de estas y para esto, consideremos la forma más simple que podemos obtener a partir de la forma en que las hemos clasificado, esto es Ecuaciones en Diferencias Finitas Lineales Autónomas de Primer Orden, es decir, con coeficientes constantes.

Consideremos a(t), b(t) y c(t), tres funciones que dependen únicamente de la variable t. Entonces, definimos las ecuaciones no autónomas de la siguiente forma:

a(t) y_{t+1} + b(t) y_{t} = c(t)

Por otra parte, consideremos a, b y c, números reales. Entonces, definimos las ecuaciones autónomas de la siguiente forma:

ay_{t+1} + by_{t} = c

A partir de esta igualdad, podemos manipular algebraicamente para notar que este tipo de ecuaciones se puede reescribir no como una relación implícita entre y_{t+1} y y_{t} sino como una expresión explícita para y_{t+1} = f(y_{t}) de la siguiente forma:

y_{t+1} = p y_{t} + q

Este tipo de expresiones se les conoce como relaciones de recurrencia, pues relaciona a toda observación directamente con la observación inmediatamente anterior y usualmente se usan para describir crecimientos poblacionales. Considerando este tipo de ecuaciones, veamos cuales son las condiciones que se deben cumplir para garantizar que existe una única solución.

Teorema de Existencia y Unicidad

Sea y_{t+1} una sucesión de número naturales y sean a, b y c números reales constantes para cualquier valor de t. Considerando la siguiente ecuación en diferencias lineal de primer orden con coeficientes constantes

ay_{t+1} + by_{t} = c

Si fijamos un número real k_0, entonces existe una única sucesión y_t que es solución de la ecuación tal que si t=0, entonces y_0 = k_0, esto es lo que se conoce como la condición inicial.

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Ejemplo 1

Considere la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente manera con la condición inicial indicada:

y_{t+1} = 2y_{t} + 5, con y_0 = 10

Antes desarrollar un método general que nos permita calcular la solución de este tipo de ecuaciones, veamos una idea intuitiva para calcular la solución de esta ecuación. Entonces, partiendo de la condición inicial, tenemos que

y_{1} = 2y_{0} + 5 \Rightarrow y_{1} = 2 \cdot 10 + 5

Efectuando estas últimas operaciones, podemos calcular el valor de y_{1} pero debemos notar, que así como pudimos calcular y_{1} a partir de y_{0}, también podemos calcular y_{2} a partir de y_{1}

y_{2} = 2y_{1} + 5 \Rightarrow y_{2} = 2(2 \cdot 10 + 5)+5 \Rightarrow 2^2 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 5

Siguiendo de esta forma, podemos calcular el valor de y_{3} a partir de y_{2}

y_{3} = 2y_{2} + 5 \Rightarrow y_{3} = 2( 2^2 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 5 )+5 \Rightarrow 2^3 \cdot 10 + 2^2 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 5

Y así sucesivamente, podemos calcular los demás términos procediendo de forma recursiva. Finalmente, calculamos el término general y_{t} de la siguiente forma:

y_{t} = 2^t \cdot 10 + 2^{t-1} \cdot 5 + 2^{t-2} \cdot 5 + \ldots + 2^2 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 5

Entonces, sacando a 5 como un factor común, tenemos que

y_{t} = 2^t \cdot 10 + (2^{t-1} + 2^{t-2} + \ldots + 2^2 + 2 + 1) \cdot 5

Pero justamente, 2^{t-1} + 2^{t-2} + \ldots + 2^2 + 2 + 1 es la suma de los primeros t-1 términos de una sucesión geométrica con razón igual a 2, por lo tanto, es igual a \frac{1-2^t}{1-2} = 2^t-1. Así,

y_{t} = 2^t \cdot 10 + (2^t-1) \cdot 5 = 2^t \cdot 10 + 2^t \cdot 5 - 5 = 2^t \cdot 15 - 5

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La solución general

Considerando este último ejemplo, podemos plantear una fórmula general para la solución de este tipo de ecuaciones, pues al considerar una ecuación de la forma:

y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q

Partiendo de la condición inicial y_0, tenemos que

y_{1} = p \cdot y_{0} + q

Así como pudimos calcular y_{1} a partir de y_{0}, también podemos calcular y_{2} a partir de y_{1}

y_{2} = p \cdot y_{1} + q = p \cdot (p \cdot y_{0} + q) + q = p^2 \cdot y_{0} + p \cdot q + q

Siguiendo de esta forma, podemos calcular el valor de y_{3} a partir de y_{2}

y_{3} = p \cdot y_{2} + q = p \cdot ( p^2 \cdot y_{0} + p \cdot q + q ) + q = p^3 \cdot y_{0} + p^2 \cdot q + p \cdot q + q

Siguiendo de esta forma, podemos calcular el valor de y_{4} a partir de y_{2}

y_{4} = p \cdot y_{3} + q = p \cdot ( p^3 \cdot y_{0} + p^2 \cdot q + p \cdot q + q ) + q = p^4 \cdot y_{0} + p^3 \cdot q + p^2 \cdot q + p \cdot q +  q

Y así sucesivamente, podemos calcular los demás términos procediendo de forma recursiva. Finalmente, calculamos el término general y_{t} de la siguiente forma:

y_{t} = p^{t} \cdot y_{0} + p^{t-1} \cdot q + \ldots + p^{1} \cdot q + p^{0} \cdot q

Entonces, sacando a q como un factor común, tenemos que

y_{t} = p^{t} \cdot y_{0} + ( p^{t-1} + \ldots + p^{1}+ p^{0} ) \cdot q

Pero justamente, p^{t-1} + \ldots + p^{1}+ p^{0} es la suma de los primeros t-1 términos de una sucesión geométrica con razón igual a p, por lo tanto, es igual a \frac{1-p^t}{1-p}. Así,

y_{t} = p^t \cdot y_{0} +  \frac{1-p^t}{1-p} \cdot q

Esta última igualdad será reescrita para que posteriormente podamos identificar algunos elementos en ella, de la siguiente forma:

y_{t} = p^t \cdot y_{0} + \left( 1-p^t \right) \left( \dfrac{q}{1-p} \right)

Podemos usar esta fórmula para calcular la solución de cualquier ecuación en diferencias finitas expresadas de la forma y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q, así que veamos con algunos ejemplos, como aplicarla.

Ejemplos

Ejemplo 2

Considere la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente manera con la condición inicial indicada:

y_{t+1} = -3y_{t} + 7, \text{ con } y_0 = \frac{2}{3}

Entonces, aplicando la fórmula, identificamos los valores p=3 y q=7 para calcular la solución, de la siguiente forma:

y_{t} = (-3)^t \cdot \frac{2}{3} + \left( 1-(-3)^t \right) \left( \frac{7}{4} \right)

Ejemplo 3

Considere la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente manera con la condición inicial indicada:

10y_{t+1} = 5y_{t} + 4, \text{ con } y_0 = 20

Notemos que y_{t+1} está multiplicado por el coeficiente 10, entonces, debemos estandarizar la ecuación dividiendo cada uno de los términos por este coeficiente 10 para obtener:

y_{t+1} = \frac{1}{2}y_{t} + \frac{2}{5}, \text{ con } y_0 = 20

Entonces, aplicando la fórmula, identificamos los valores de p=\frac{1}{2} y q=\frac{2}{5} para calcular la solución, de la siguiente forma:

y_{t} = \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \left( \frac{4}{5} \right)