Diferenciales

Las diferencias y las razones de cambio son elementos fundamentales para el estudio de funciones diferenciables pues, al sentar estos la base para calcular la derivada de una función, podemos establecer relaciones que permiten aproximar valores de la función a través de su derivada.

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Diferencia de una función

Al estudiar el comportamiento de una función y=f(x) diferenciable en todo su dominio, si consideramos un valor x en el dominio de ella, y x+h un valor incrementado de x, definimos la diferencia entre estos dos valores (la diferencia en x) de la siguiente manera:

\Delta_x = (x+h) - h = h

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la función, es decir, de f(x) y f(x+h); definimos la diferencia entre estas dos imágenes (la diferencia en y) de la siguiente manera:

\Delta_y = f(x+h) - f(x)

Es decir, la diferencia en y mide cuanto varía la función cuando la variable x varía con medida igual a la diferencia en x.

Nota: hemos usado la letra griega delta mayúscula «\Delta» pues es la letra equivalente a la letra «d» en el español.

Estas diferencias se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x):

Diferencias en una función. | totumat.com

El estudio de estas diferencias es de vital importancia para el cálculo de derivadas, pues al considerar valores muy pequeños de la diferencia \Delta_x, el siguiente cociente se aproximará a la derivada de la función f(x):

\frac{\Delta_y}{\Delta_x}

Debemos recordar que la derivada de la función f(x) está definida de la siguiente forma:

f'(x) = \lim_{\Delta_x \to 0} \frac{\Delta_y}{\Delta_x}

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Diferencial de una función

Por otra parte, al estudiar el comportamiento de la recta tangente a la función y=f(x) en el punto \left( x, f(x) \right), llamémosla t(x). Si consideramos un valor x, y x+h un valor incrementado de x, definimos el diferencial entre estos dos valores (el diferencial de x) de la siguiente manera:

dx = (x+h) - h = h

De igual forma, al considerar las imágenes de estos dos valores a través de la recta tangente, es decir, de t(x) y t(x+h); definimos el diferencial entre estas dos imágenes (el diferencial de y) de la siguiente manera:

dy = t(x+h) - t(x)

Estos diferenciales se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x):

Diferenciales de una función. | totumat.com

El estudio de estos diferenciales es de vital importancia para el cálculo de derivadas, el siguiente cociente, al ser exactamente la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto x, es la derivada de la función f(x):

\frac{dy}{dx} = f'(x)

De esta igualdad, podemos despejar dy y así, podemos plantear la siguiente igualdad, que nos define la forma en que se calcula el diferencial de la función y=f(x):

dy = f'(x) \cdot dx

Es decir, el diferencial de y mide cuanto incrementa la pendiente recta tangente cuando la variable x presenta un incremento con medida igual al diferencial de x.

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Relación entre diferenciales y diferencias

Hemos visto que las diferencias y los diferenciales están relacionados íntimamente con la derivada de una función, entonces, notando que la diferencia en x y el diferencial de x son exactamente el mismo elemento, es decir, \Delta_x = dx; debemos estudiar, con particular interés, la relación entre \Delta_y y dy.

Hemos dicho que el cociente \frac{\Delta_y}{\Delta_x} se aproxima a la derivada de la función, por lo tanto, podemos considerar un número real \alpha que depende de \Delta_x que nos permite establecer la siguiente relación:

\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = f'(x) + \alpha

Entonces, al multiplicar en ambos lados de la ecuación por \Delta_x, despejamos \Delta_y obteniendo que

\Delta_y = f'(x) \cdot \Delta_x + \alpha \cdot \Delta_x \Longleftrightarrow \Delta_y = f'(x) \cdot dx + \alpha \cdot dx

De esta forma, si nos fijamos que el primer sumando es determinado por f'(x) \cdot dx, que es justamente dy, nos damos cuenta que \alpha \cdot dx que representa el excedente sobre dy. Estos dos sumandos se aprecian con mayor claridad al observar la gráfica de la función y=f(x).

Relación entre diferenciales y diferencias | totumat.com

Considerando entonces que \Delta_y = dy + \alpha \cdot dx, a medida que se hace pequeño el diferencial dx también lo hará \alpha, y en consecuencia, se hará aún más pequeño el producto \alpha \cdot dx. Por lo tanto,

Si dx \to 0, entonces \Delta_y \to dy

Concluimos entonces, que el diferencial de y es una aproximación lineal (a través de la recta tangente a la curva) de la diferencia de y, es decir,

\Delta_y \approx dy = f'(x) \cdot dx

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Cálculo del diferencial de una función

Si consideramos una función y=f(x), el diferencial de esta puede expresarse de las siguientes formas:

dy ó df

En los siguientes ejemplos, veremos como calcular el diferencial de una función.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función y = x^2, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = 2x \ dx

Ejemplo 2

Considerando la función y = 6x^{10} + 13x + 20, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = (60x^9 + 13) \ dx

Ejemplo 3

Considerando la función y = \textit{\Large e}^{3x^5}, para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = 15x^4 \cdot \textit{\Large e}^{3x^5} \ dx

Ejemplo 4

Considerando la función y = \ln (9x^3 + 12x^2 + 7x + 10), para calcular su diferencial, basta con calcular la derivada de la función y multiplicarla por el diferencial de x, de la siguiente forma:

dy = \dfrac{27x^2 + 24x + 7}{9x^3 + 12x^2 + 7x + 10} \ dx


Pregunta de Reddit: ¿Cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?

Mientras ojeaba reddit, me topé con este problema que comparte el usuario u/already_taken-chan, en el cual señala que «no encontró la respuesta». Una de las las respuestas con más puntaje me pareció extremadamente larga y la segunda con más puntaje, me pareció muy corta. Así que les comparto mi apreciación.

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r/askmath - I couldn't find the answer to this question, asked my math teacher and he couldn't find it either, tried going into Δ > 0 but that gave me no answer, tried (-b +- sqrt(Δ))/2a but that just left me p being in a range that didn't give any of the answers, is the question wrong?

La pregunta está planteada en Turco, la traducción correcta al inglés sería: «If the equation has two different real roots, what is the sum of the integer values ​​p can take?», y al español, sería: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«.

Primero debemos considerar la ecuación que se plantea y reescribirla como una ecuación cuadrática de la forma ax^2+bx+c=0 para que sea más fácil identificar los elementos involucrados en ella.

-x^2 + px + 3 = (x+2)^2

\Rightarrow -x^2 + px + 3 = x^2 - 4x + 4

\Rightarrow -x^2 + px + 3 - x^2 + 4x - 4 = 0

\Rightarrow -2x^2 + (p+4)x - 1 = 0

\Rightarrow 2x^2 - (p+4)x + 1 = 0

Ya que hemos reescrito esta ecuación, debemos tomar en cuenta que para que una ecuación de la forma ax^2+bx+c=0 tenga dos soluciones distintas, el discriminante de ella debe ser positivo, es decir,

b^2-4 \cdot a \cdot c > 0

Entonces, identificando a=2, b=-(p+4) y c=1, tenemos que

\left( -(p+4) \right)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (1) > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 > 8

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En este punto pudiéramos plantear una Inecuación Cuadrática para calcular todos los valores para los cuales \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0, pero resultará más fácil buscar los valores para los cuales sucede lo contrario, y descartar dichos valores.

Podemos tantear los valores de p para los cuales \left( p+4 \right)^2 \leq 8 y estos son: -2, -3, -4, -5 y -6; pues, si consideramos alguno de estos valores, digamos p=-2, tenemos que

\left( -2+4 \right)^2 < 8

\Rightarrow \left( 2 \right)^2 < 8

\Rightarrow 4 < 8

Entonces, retomando la pregunta original: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«, los valores que p puede tomar son todos los enteros mayores que -2 o todos los valores enteros menores que -6, es decir, todos los valores de p tales que

p \in (-\infty,-6) \cup (-2,\infty), con p \in \mathbb{Z}

pero no tiene sentido considerar la suma de todos estos valores.

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Aunque si queremos darle la vuelta a la cosa, podemos darnos cuenta que al sumar los números que no cumplen con la condición, es decir, -2, -3, -4, -5 y -6; y los sumamos, el resultado será el siguiente:

-2 -3 -4  -5 -6 = -20

Que es justamente la opción «A)» planteada entre las soluciones.

Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad

Uno de los propósitos de estudiar funciones de ingreso, costo y utilidad es de obtener los mejores resultados posibles, a esto se le conoce como optimización, sin embargo, debemos primero aclarar a qué nos referimos con los mejores resultados posibles.

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Al definir funciones de Ingreso I(q), Costo C(q) y Utilidad U(q); definamos cuales son los valores de q para los cuales estas funciones alcanzan su valor óptimo:

  • I(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor I(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los ingresos más altos.
  • C(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor C(q_0) es un mínimo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los costos más bajos.
  • U(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor U(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular las utilidades más altas.

De esta forma, es posible optimizar usando las herramientas que nos proveen las derivadas para calcular máximos y mínimos. Veamos en los siguientes ejemplos como optimizar funciones de ingreso, costo y utilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las funciones que miden el costo e ingreso por la producción venta de q lavadoras, definidas de la siguiente forma:

C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3

I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2

U(q) = I(q) - C(q)

Suponiendo que la producción tiene un tope de 20 lavadoras. Determine los ingresos óptimos, los costos óptimos y las utilidades óptimas.

Tomando en cuenta que la producción tiene un tope de 20 lavadoras, dichas funciones están definidas en el intervalo [0,20]. Entonces, debemos calcular los extremos relativos y los valores de la función en los extremos del intervalo [0,20], para comparar y determinar los extremos absolutos.

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Empezando por la función de costos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

C'(q) = \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de costos C'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

C''(q) = \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de costos C''(q) en q=0 y obtenemos que

C''(0) = \frac{13800}{5833} \cdot (0) = 0

A partir de este resultado concluimos que la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

C(0) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \approx 0.4626

C(20) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \approx 3154.92

En vista de que C(0) es el menor de ambos valores, concluimos que la función de costos alcanza un mínimo absoluto en q=0, es decir, los costos más bajos son de C(0) = 0.4626 que es precisamente cuando no hay producción.

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Continuamos con la función de ingresos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

I'(q) = \frac{72}{13} \cdot q

La derivada de la función de ingresos I'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

I''(q) = \frac{72}{13}

Evaluamos la segunda derivada de la función de ingresos I''(q) en q=0 y obtenemos que

I''(0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

I(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 \approx 4.82

I(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 \approx 1112.52

En vista de que I(20) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de ingresos alcanza un máximo absoluto en q=20, es decir, los ingresos más altos son de I(20) = 1112.52 que es precisamente cuando se llega al tope de la producción.

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Finalizamos con la función de utilidades, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

U'(q) = \frac{72}{13} \cdot q - \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de utilidades U'(q) es igual a cero cuando q=0 o cuando q=4.68, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

U''(q) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de utilidades U''(q) en q=0 y en q=4.68, obtenemos que

U''(0) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0.

U''(4.68) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (4.68) \approx -5.5337

Al ser -5.5337 un valor negativo, concluimos que la función alcanza un máximo relativo en q=4.68. Evaluamos la función de utilidades en este valor pues es de nuestro interés:

U(4.68) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (4.68)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (4.68)^3 \right) \approx 24.60

Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

U(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \right) \approx 4.3574

U(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \right) \approx -2042.4

En vista de que U(4.68) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de utilidades alcanza un máximo absoluto en q=4.68, es decir, las utilidades más altas son de U(4.68) = 24.60 que es cuando se producen y se venden aproximadamente 5 lavadoras.


Expresiones Racionales

Habiendo estudiado las operaciones entre polinomios, particularmente la división de polinomios, podemos ampliar las operaciones entre fracciones como una herramienta para simplificar las operaciones entre polinomios antes de efectuarlas.

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Definimos una expresión racional como el cociente entre dos polinomios. Formalmente, si P(x) y Q(x) son dos polinomios con Q(x) \neq 0, entonces el siguiente cociente será una expresión racional:

\dfrac{P(x)}{Q(x)}

Diremos que P(x) es el numerador (o dividendo) de la expresión y Q(x) es el denominador (o divisor) de la expresión. En este caso, al ser, P(x) y Q(x) polinomios, este tipo de expresiones racionales serán expresiones algebraicas racionales.

Operaciones entre Expresiones Racionales

Las operaciones entre expresiones racionales se efectúan de la misma forma en que se efectúan las operaciones entre fracciones, es decir, si A(x), B(x), C(x) y D(x) son polinomios, con B(x) y D(x) distintos de cero, definimos:

Suma de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} + \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot D(x) + B(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

Resta de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} - \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot D(x) - B(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

Multiplicación de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} \cdot \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

División de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} \div \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot D(x)}{B(x) \cdot C(x)}

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El objetivo de plantear expresiones racionales es el de simplificar expresiones que a primera vista parezcan complicadas o engorrosas para trabajar. Veamos en los siguientes ejemplos como efectuar operaciones entre expresiones racionales y de ser posible, su simplificación.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de las expresiones racionales \frac{2x+5}{2x+3} y \frac{6x+4}{8x+3}, y de ser posible, simplifique el resultado.

\dfrac{2x+5}{2x+3} + \dfrac{6x+4}{8x+3}

= \dfrac{(2x+5) \cdot (8x+3) + (2x+3) \cdot (6x+4)}{(2x+3) \cdot (8x+3)}

= \dfrac{ 16x^2 + 6x + 40x + 15 + 12x^2 + 8x + 18x + 12 }{(2x+3) \cdot (8x+3)}

= \dfrac{ 28x^2 + 72x + 27 }{(2x+3) \cdot (8x+3)}

Notemos que en el numerador se efectuó la propiedad distributiva en ambos sumandos para poder sumar los elementos comunes, sin embargo, en el denominador no hizo falta aplicar la propiedad distributiva, pues ya la expresión estaba factorizada.

Ejemplo 2

Efectúe la resta de las expresiones racionales \frac{7x-2}{3x+1} menos \frac{5x+2}{2x+4}, y de ser posible, simplifique el resultado.

\dfrac{7x-2}{3x+1} - \dfrac{5x+2}{2x+4}

= \dfrac{(7x-2) \cdot (2x+4) + (3x+1) \cdot (5x+2)}{(3x+1) \cdot (2x+4)}

= \dfrac{ 14x^2 + 28x - 4x - 8 - (15x^2 + 6x + 5x + 2) }{(3x+1) \cdot 2 (x+2)}

= \dfrac{ -x^2 + 13x - 10 }{2(3x+1) \cdot (x+2)}

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Ejemplo 3

Efectúe el producto de las expresiones racionales \frac{4x^2+6}{-7x+2} y \frac{4x-3}{2x^2+3}, y de ser posible, simplifique el resultado.

\dfrac{4x^2+6}{-7x+2} \cdot \dfrac{4x-3}{2x^2+3}

= \dfrac{(4x^2+6) \cdot (4x-3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= \dfrac{2 (2x^2+3) \cdot (4x-3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= 2 \cdot \dfrac{(2x^2+3) \cdot (4x-3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= 2 \cdot \dfrac{ (4x-3) \cdot (2x^2+3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= 2 \cdot \dfrac{(4x-3)}{(-7x+2)}

Interpretación económica de la derivada

Cualquier investigación en el ámbito cuantitativo de la economía se basará en la comparación de datos y contraste de la información. Al definir modelos matemáticos en la economía a partir de funciones, una herramienta ampliamente usada para comparar datos es el estudio de incrementos.

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Incrementos

Consideremos un ejemplo particular para ilustrar esta idea, digamos que en una fábrica de lavadoras, durante la primera semana del año se produjeron 12 lavadoras y en la segunda semana del año se produjeron 18 lavadoras, es decir, hubo un incremento de 6 unidades en la producción de lavadoras. Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar 18 menos 12, esto es,

18 - 12 = 6

De forma general, si consideramos dos variables x_1 < x_2, determinamos el incremento entre estas dos variables calculando la siguiente resta:

x_2 - x_ 1

Así, medimos el incremento restando el mayor valor menos el menor valor y es importante notar que siempre los incrementos al ser una medida, son positivas. Sin embargo, al considerar incrementos de funciones, este no será necesariamente el caso.

Supongamos que al considerar una función C que mide el costo de producir lavadoras, esta función nos indica que el costo de producir 12 lavadoras es de 800 Ps. y el costo de producir 18 lavadoras es de 2300 Ps., entonces hubo un incremento positivo en los costos de 1500 Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 2300; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 800; esto es

C(18) - C(12) = 2300 - 800 = 1500

Supongamos que al considerar una función I que mide el ingreso posterior a la venta lavadoras, esta función nos indica que los ingresos por la venta de 12 lavadoras es de 700 Ps. y los ingresos de producir 18 lavadoras es de 900 Ps., entonces hubo un incremento positivo en los ingresos de 200 Ps.

Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 900; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 700; esto es

I(18) - I(12) = 700 - 900 = 200

Por otra parte, supongamos que al considerar una función U que mide la utilidad posterior a la producción y venta de lavadoras, esta función nos indica que la utilidad de producir y vender 12 lavadoras es de 1500 Ps. y el costo de producir y vender 18 lavadoras es de 1400 Ps., entonces hubo un incremento negativo en la utilidad de 100 Ps. Este valor negativo en el incremento de las utilidades se conoce como una pérdida.

Formalmente, para calcular este decremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 1400; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 1300; esto es

U(18) - U(12) = 1500 - 1400 = -100

Así, podemos ver que los incrementos de funciones pueden tomar valores tanto negativos como positivos y más aún, dada una función f(q), podemos determinar una forma general para calcular dichos incrementos, pues al considerar una cantidad q y si esta cantidad se incrementa a q+h, con h >0, entonces, podemos calcular el incremento de la función f(q) efectuando la siguiente operación:

f(q+h) - f(q)

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Análisis Marginal

Suponga que en una fábrica de lavadoras se ha determinado que el costo de producir q lavadoras está determinado por la función C(q), si la cantidad de lavadoras producidas se ha incrementado a q+h, podemos calcular el incremento de los costos usando la siguiente fórmula:

C(q+h) - C(q)

A partir de este incremento, es posible determinar la razón de cambio calculando el cociente entre el incremento de los costos y el incremento de las lavadoras producidas, es decir,

\frac{C(q+h) - C(q)}{(q+h) - q} = \frac{C(q+h) - C(q)}{h}

Pero esta forma de calcular la razón de cambio, resulta imprecisa si la función que define los costos no es una función lineal. Hemos visto que aplicando los resultados del cálculo infinitesimal, podemos refinar este resultado considerando el valor más pequeño posible para h, esto es,

\lim_{h \to 0} \frac{C(q+h) - C(q)}{h}

Y observando esta expresión, notamos inmediatamente que esta es justamente la derivada de la función C(q) respecto a la variable q, es decir,

\frac{dC}{dq}

Pero es importante que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿Cuál es es dicho valor de h más pequeño posible? En otras palabras, ¿Cuál es la menor cantidad de lavadoras adicionales se pueden fabricar? ¿Cinco lavadoras, dos lavadoras, media lavadora, un pedacito de lavadora? La respuesta es: una lavadora, pues la menor cantidad de lavadoras adicionales que se pueden producir es exactamente una.

De esta forma, si h=1, entonces el límite que define la razón de cambio se reduce a la siguiente expresión:

\frac{dC}{dq} = \lim_{h \to 0} \frac{C(q+h) - C(q)}{h} \approx \frac{C(q+1) - C(q)}{1} = C(q+1) - C(q)

La derivada de la función de costos se conoce como la función de Costo Marginal y al ser esta aproximadamente igual C(q+1) - C(q), podemos concluir que mide el incremento en los costos cuando se produce una unidad adicional sobre q.

Este mismo razonamiento se puede llevar a cabo en el estudio de las funciones de Ingreso y Utilidad, y de esta forma, se pueden definir las funciones de Ingreso Marginal y Utilidad Marginal. Veamos en los siguientes ejemplos como utilizar estas funciones para hacer análisis marginal.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando una función que mide el costo por la producción de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3

Evalúe la función de costo marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

C'(q) = \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot q^2

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

C'(18) = \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot (18)^2 = \frac{3312}{13} \approx 383.29

De esta forma, concluimos que si se están produciendo 18 lavadoras, entonces la producción de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, incrementará los costos en aproximadamente 383.29 Ps.

Ejemplo 2

Considerando una función que mide el ingreso por la venta de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2

Evalúe la función de ingreso marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

I'(q) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot q

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

I'(18) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot (18) = \frac{1296}{13} \approx 100

De esta forma, concluimos que si se están vendiendo 18 lavadoras, entonces la venta de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, incrementará los ingresos en aproximadamente 100 Ps.

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Ejemplo 3

Considerando una función que mide la utilidad por la producción y venta de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

U(q) = \frac{218860}{50141} + \frac{36}{13} \cdot q^2 - \frac{2300}{5833} \cdot q^3

Evalúe la función de utilidad marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

U'(q) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot q - \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot q^2

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

U'(18) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot (18) - \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot (18)^2 \approx -283.57

De esta forma, concluimos que si se están produciendo y vendiendo 18 lavadoras, entonces la producción y venta de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, generará una pérdida de aproximadamente 283.57 Ps.