Sucesiones Acotadas

06.08.202027.03.2024 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Otro aspecto importante en el estudio de las sucesiones es saber cuales son los elementos que las encajonan, ya que de esta forma, podemos establecer con más claridad el espacio donde estas se desarrollan.

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Cotas Superiores

Una cota superior (o elemento mayorante) de una sucesión es un número real que es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, $C$ es una cota superior de una sucesión $a_n$ si $a_n \leq C$ para todo número natural $n$ . Si una sucesión tiene una cota superior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada superiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $1$ , $0$ , $9$ o $3572$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que $-1$ es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 2

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} =\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $3$ , $2$ , $14$ o $1000$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número mayor o igual que $1$ es una cota superior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas superiores.

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1-\frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión está acotada superiormente, pues si consideramos $2$ , $33$ , $97$ o $751$ ; estos valores serán cotas superiores pues son mayores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

Cotas Inferiores

Una cota inferior (o elemento minorante) de una sucesión es un número real que es menor o igual que cualquier elemento de la sucesión. Formalmente, $c$ es una cota superior de una sucesión $a_n$ si $a_n \geq c$ para todo número natural $n$ . Si una sucesión tiene una cota inferior, diremos que la sucesión está \textbf{acotada inferiormente}.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $-1$ , $0$ , $-34$ o $0.5$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $1$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ 3 \right\}_{n} = \{ 3, 3, 3, 3, 3, 3, \ldots \}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $2$ , $-839$ , $1.5$ o $-55$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $3$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} =\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión está acotada inferiormente, pues si consideramos $-2$ , $-10$ , $-7.98$ o $-457$ ; estos valores serán cotas inferiores pues son menores o iguales que cualquier elemento de la sucesión.

De forma general, podemos decir que cualquier número menor o igual que $0$ es una cota inferior de esta sucesión, veamos en el siguiente gráfico una ilustración de esta idea y señalemos en el área rayada el conjunto de las cotas inferiores.

Sucesiones Acotadas

De forma general, diremos que una sucesión está acotada si está acotada tanto superior como inferiormente. Formalmente, diremos que una sucesión $a_n$ está acotada si existe un par de números reales $r$ y $R$ tales que $r \leq a_n \leq R$ para todo número natural $n$ . Por ejemplo, si consideramos la sucesión $\left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \}$ y vemos su comportamiento de forma gráfica:

Podemos notar que esta sucesión está acotada superiormente por cualquier número mayor que 1 y está acotada inferiormente por cualquier número menor que -1.

También hay sucesiones que no están acotadas (ni superior ni inferiormente), por ejemplo, si consideramos la sucesión $\left\{ n(-1)^{n-1} \right\}_{n} = \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, \ldots\}$ y viendo su comportamiento de forma gráfica:

Es fácil notar que esta sucesión no está acotada.

Comportamiento de una sucesión

05.08.202027.03.2024 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Las sucesiones pierden sentido si no se comparan sus elementos entre sí, pues su importancia radica en el comportamiento que estas describen a medida que crece el número natural con el que es correspondido cada elemento. Veamos entonces cuales son los principales comportamientos que podemos encontrar al estudiar sucesiones.

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Sucesión Creciente

Diremos que una sucesión $a_n$ es creciente si a medida que crece el valor de $n$ , entonces crece su valor correspondiente. Formalmente, si $a_i \leq a_j$ para todo par de números naturales $i < j$ , y más aún, diremos que $a_n$ es estrictamente creciente si $a_i < a_j$ para todo par de números naturales $i < j$ . Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la sucesión $\left\{ n \right\}_{n} =\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , esta sucesión es creciente, más aún, es estrictamente creciente.

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Si consideramos la sucesión $\left\{ -2 \right\}_{n} =\{ -2, -2, -2, -2, -2, -2, \ldots \}$ , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Sucesión Decreciente

Diremos que una sucesión $a_n$ es \textbf{decreciente} si a medida que crece el valor de $n$ , entonces decrece su valor correspondiente. Formalmente, si $a_i \leq a_j$ para todo par de números naturales $i > j$ , y más aún, diremos que $a_n$ es estrictamente creciente si $a_i < a_j$ para todo par de números naturales $i > j$ . Una forma de ver el comportamiento de una sucesión es observando su gráfica en el plano cartesiano, veamos algunos ejemplos de este tipo de sucesiones:

Ejemplos

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ -n \right\}_{n} =\{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots \}$ , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 5

Si consideramos la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n} = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , esta sucesión es decreciente, más aún, es estrictamente decreciente.

Ejemplo 6

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1 \right\}_{n} = \{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , esta sucesión es creciente, sin embargo, no es estrictamente creciente.

Caso especial

Hay sucesiones que no son ni crecientes ni decrecientes, esto es lo que ocurre con los sucesiones alternantes, consideremos la sucesión $\left\{ (-1)^{n-1} \right\}_{n} =\{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots \}$ y veamos su comportamiento de forma gráfica:

Sucesiones

05.08.202020.02.2023 Anthonny Arias-García3 comentarios

Definición de Sucesión
1. Ejemplos

A menudo, en las matemáticas, es necesario proceder paso a paso, contando detalladamente lo que ocurre en cada paso. Es por esto que definimos las sucesiones, pues tomando en cuenta que el conjunto de los números naturales es un conjunto contable, podemos establecer una relación entre estos y cualquier conjunto para estudiar su comportamiento.

Las sucesiones sientan una base para el cálculo infinitesimal y además, permiten, estudiar fenómenos en distintos ámbitos de las ciencias básicas y ciencias sociales.

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Definición de Sucesión

Definimos una sucesión de números reales como una regla de correspondencia que corresponde a cada número natural con un único número real, es decir, una sucesión es una función que parte de desde $\mathbb{N}$ y llega hasta $\mathbb{R}$ , entonces, si $a$ es una sucesión, tenemos que:

$a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}$

Al trabajar con sucesiones, la notación de función puede sobrecargar la nomenclatura, es por esto que la regla de correspondencia $a(n)$ para cada $n \in \mathbb{N}$ que define la sucesión usualmente se denota de la siguiente forma

$a_n$

De esta forma, podemos expresar a las sucesiones como conjuntos, ya sea de forma comprensiva, definiendo la regla general que define a todos los elementos del conjunto o de forma extensiva, nombrando todos sus elementos como veremos a continuación:

Aunque también se puede expresar de forma comprensiva usando las notaciones $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ o $(a_{n})$ .

Al ser las sucesiones representadas como conjuntos, llamaremos elemento a cada número real que la compone, sin embargo, para ser más específicos, al hacer referencia a la posición que cada elemento en el orden de la sucesión, se le llamará término.

Veamos en los siguientes ejemplos algunas de las sucesiones básicas. Como ejercicio mental para el lector, vea primero el conjunto que define la sucesión y piense cual es la regla general que la define.

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Ejemplos

Ejemplo 1: Sucesión Constante

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número $1$ . De forma que

$a_1 = 1$
$a_2 = 1$
$a_3 = 1$
$a_4 = 1$
$a_5 = 1$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión constante uno y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = 1$ .

De forma general, la sucesión $\{ c, c, c, c, c, c, \ldots \}$ definida por $a_{n} = c$ donde $c$ es un número real, será llamada sucesión constante $c$ .

Ejemplo 2: Sucesión de los Números Naturales

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo. De forma que

$a_1 = 1$
$a_2 = 2$
$a_3 = 3$
$a_4 = 4$
$a_5 = 5$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de los números naturales y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = n$ .

Ejemplo 3: Sucesión de Proporcionalidad Inversa

Si consideramos la sucesión $\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots \right\}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número $1$ dividido el número natural correspondiente. De forma que

$a_1 = \frac{1}{1} = 1$
$a_2 = \frac{1}{2}$
$a_3 = \frac{1}{3}$
$a_4 = \frac{1}{4}$
$a_5 = \frac{1}{5}$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de proporcionalidad inversa y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = \frac{1}{n}$ .

Ejemplo 4

Si consideramos la sucesión $\left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \right\}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo dividido entre el número natural siguiente. De forma que

$a_1 = \frac{0}{1} = 0$
$a_2 = \frac{1}{2}$
$a_3 = \frac{3}{4}$
$a_4 = \frac{5}{6}$
$a_5 = \frac{7}{8}$
$\ldots$

La regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} =\frac{n}{n+1}$ .

Ejemplo 5: Sucesión de los Números Pares

Si consideramos la sucesión $\{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo, multiplicado por dos. De forma que

$a_1 = 2 \cdot 1 = 2$
$a_2 = 2 \cdot 2 = 4$
$a_3 = 2 \cdot 3 = 6$
$a_4 = 2 \cdot 4 = 8$
$a_5 = 2 \cdot 5 = 10$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de los números pares y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = 2n$

Ejemplo 6: Sucesión de los Números Impares

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con él mismo, multiplicado por dos menos uno, es decir, restando uno a cada número par. De forma que

$a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
$a_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$
$a_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión de los números impares y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = 2n-1$

Ejemplo 7: Sucesión Alternante

Si consideramos la sucesión $\{ -1, 1, -1, 1, -1, 1, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera correspondiendo a cada número natural con el número $-1$ multiplicado por sí mismo la cantidad de veces correspondiente a dicho número natural. De forma que

$a_1 = (-1) = -1$
$a_2 = (-1) \cdot (-1) = (-1)^2 = 1$
$a_3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^3 = -1$
$a_4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^4 = 1$
$a_5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (-1)^5 = -1$
$\ldots$

Esta sucesión será llamada sucesión alternante y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = (-1)^{n}$

Ejemplo 8: Sucesión Recursiva

Si consideramos la sucesión $\{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots \}$ , notamos que esta sucesión se genera definiendo los dos primeros elementos, y de ahí en adelante, sumamos los dos elementos anteriores. De forma que

$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$
$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$
$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$
$a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8$
$a_7 = a_6 + a_5 = 8 + 5 = 13$
$a_8 = a_7 + a_6 = 13 + 8 = 21$

Esta sucesión es conocida como la Sucesión de Fibonacci y la regla general que define a esta sucesión es

$a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$ .

De forma general, todas aquellas sucesiones tales que su n-ésimo término es define a partir de términos anteriores, son conocidas como sucesiones recursivas.

Sistemas de Ecuaciones Lineales – Cramer

30.07.202007.03.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ un conjunto de $n$ incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con $n$ incógnitas y $m$ ecuaciones, de la siguiente forma:

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Podemos definir varios elementos que nos permitan calcular la solución del sistema de ecuaciones usando determinantes de matrices, así que empezaremos definiendo

$\Delta = |A|$

Si $\Delta \neq 0$ , podemos garantizar que existe una única solución para el sistema de ecuaciones, por lo tanto

Definimos $\Delta_{x_1}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la primera columna por la matriz $C$ , es decir,

Definimos $\Delta_{x_2}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la segunda columna por la matriz $C$ , es decir,

Continuando así, definimos $\Delta_{x_j}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{j-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Finalmente, definimos $\Delta_{x_n}$ como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{n-ésima} columna por la matriz $C$ , es decir,

Una vez que hemos definido esta serie de elementos, podemos definir los valores que dan solución al sistema de ecuaciones planteando los siguientes cocientes:

$x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}, \ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}, \ \ldots , \ x_n = \frac{\Delta_{x_n}}{\Delta}.$

Este método es conocido como la Regla de Cramer, veamos entonces con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{15}{16}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{71}{32}$

Ejemplo 2

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{400}{133}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{270}{133}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{41}{133}$

Ejemplo 3

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-355}{257}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{-145}{257}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{133}{257}$

Ejemplo 4

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos $\Delta$ que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

$x = \frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-109}{235}, \ y = \frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{213}{235}, \ z = \frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{34}{47}, \ w = \frac{\Delta_{ w }}{\Delta} = \frac{354}{235}$

Sistemas de Ecuaciones Lineales

30.07.202012.04.2026 Anthonny Arias-García4 comentarios

Al definir una ecuación, de forma básica, se establece la relación entre un número desconocido y números conocidos a partir de una igualdad, también hemos visto que es posible establecer relaciones entre más números desconocidos tal como cuando se define una recta de la forma $ax + by + c = 0$ y calcular el punto de intersección entre dos rectas, se determinan los valores de $x$ y $y$ que satisfacen ambas ecuaciones; generalizando así, nuestra definición de ecuación.

La solución de este sistema es un conjunto de números reales que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, y para determinar si un sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución, debemos tomar ciertas consideraciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede ver como una ecuación donde los elementos involucrados son matrices pues las expresiones que están del lado izquierdo de la igualdad se pueden escribir como un producto de matrices y los elementos que están del lado derecho se pueden escribir como una matriz de una sola columna, de la siguiente manera:

Identificando las matrices $A$ , $X$ y $C$ ; podemos asegurar que el sistema de ecuaciones tendrá exactamente una solución si la matriz $A$ es una matriz cuadrada y si esta es una matriz no-singular, es decir, si $|A| \neq 0$ . Existen diversos métodos para calcular esta única solución de un sistema de ecuaciones.

Cotas Superiores

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Cotas Inferiores

Ejemplos

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Sucesiones Acotadas

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Sucesión Creciente

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sucesión Decreciente

Ejemplos

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Caso especial

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Definición de Sucesión

Ejemplos

Ejemplo 1: Sucesión Constante

Ejemplo 2: Sucesión de los Números Naturales

Ejemplo 3: Sucesión de Proporcionalidad Inversa

Ejemplo 4

Ejemplo 5: Sucesión de los Números Pares

Ejemplo 6: Sucesión de los Números Impares

Ejemplo 7: Sucesión Alternante

Ejemplo 8: Sucesión Recursiva

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Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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