Ecuaciones Exponenciales

18.10.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Al estudiar las propiedades de las potencias, resulta de particular interés el caso en que fijamos la base y variamos el exponente, a las expresiones que definen este tipo de situaciones las llamamos expresiones exponenciales. Formalmente, si consideramos un valor desconocido $x$ y una base $a$ , entonces

$a^{x}$

Será una expresión exponencial de base $a$ . De forma particular, si consideramos $a=2$ tendríamos una expresión exponencial de base dos expresada de la siguiente forma

$2^{x}$

Las expresiones exponenciales cumplirán con las mismas propiedades que se han definido para las potencias, pero el caso interesante resulta cuando establecemos igualdades que involucran expresiones exponenciales, pues si consideramos la siguiente ecuación

$a^x = b$

Diremos que esta es una ecuación exponencial y debemos desarrollar un método que nos permita calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Particularmente, si consideramos la ecuación

$2^x = 8$

La solución salta a la vista, pues sabiendo que dos elevado al cubo es igual a ocho, entonces concluimos que el valor de $x$ que satisface la igualdad es $x=3$ . Sin embargo, la solución no siempre será tan clara, así que debemos recurrir a las propiedades de las potencias para poder encontrar la solución.

Veamos como aplicar las propiedades de las potencias para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$3^x = 81$

Si bien, la solución de esta ecuación se puede deducir de forma inmediata, una de las técnicas para calcular este tipo de ecuaciones es descomponer los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $27$ , tenemos que

$3^x = 3^4$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$x = 4$

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$5^{x+1} = 125$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $125$ , tenemos que

$5^{x+1} = 5^3$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$x+1 = 3 \Rightarrow x = 3 -1 \Rightarrow x = 2$

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$4 \cdot 2^x = 128$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$2^2 \cdot 2^x = 2^7$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$2^{2+x} = 2^7$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$2+x = 7 \Rightarrow x = 7 - 2 \Rightarrow x = 5$

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$49^x \cdot 7^5 = 343$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

$7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$7^{2x+5} = 7^3$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1$

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$49^x \cdot 7^5 = 343$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

$7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$7^{2x+5} = 7^3$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1$

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$81^x \cdot 9^4 = 27^x \cdot 3^2$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$\left( 3^4 \right)^x \cdot \left( 3^2 \right)^4 = \left( 3^3 \right)^x \cdot 3^2$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

$3^{4x} \cdot 3^{8} = 3^{3x} \cdot 3^2$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$3^{4x+8} = 3^{3x+2}$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$4x+8 = 3x+2 \Rightarrow 4x - 3x = 2 - 8 \Rightarrow x = -6$

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Ejemplo 7

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$8^x \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{32^x} \cdot 4^5$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$, tenemos que

$\left( 2^3 \right)^x \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{1}{\left( 2^5 \right)^x} \cdot \left( 2^2 \right)^5$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes. Además, aquellos elementos que están el denominador los podemos reescribir como numeradores cambiando el signo del exponente

$2^{3x} \cdot 2^{-4} = 2^{-5x} \cdot 2^{10}$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$2^{3x-4} = 2^{-5x+10}$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$3x-4 = -5x+10 \Rightarrow 3x + 5x = 10 + 4 \Rightarrow 8x = 14 \Rightarrow x = \frac{7}{4}$

Herramientas Básicas de una Calculadora Científica

17.10.202004.04.2024 Anthonny Arias-García2 comentarios

En mis años de experiencia docente a nivel universitario, he notado que si bien, la mayoría de los estudiantes tienen acceso a una calculadora científica, el uso que se le da no es mayor del que se le puede dar a una «calculadora bodeguera», es decir, una de este tipo

MX-12B | Serie con valor agregado | HOGAR | Calculadoras | CASIO

La Calculadora CASIO fx-82MS

La calculadora más común encontrada en las aulas de clases, desde bachillerato hasta el nivel universitario, es la calculadora CASIO fx-82MS. Aunque es sencilla en comparación con otras calculadoras científicas, es muy versátil.

Aparte de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Veamos cuales son las operaciones básicas que se pueden efectuar con esta calculadora, pero además, veamos que con conocimientos matemáticos, varias de las opciones se pueden usar para hacer distintos tipos de operaciones.

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Fracciones y Decimales

Las operaciones con fracciones o con decimales pueden resultar engorrosas para calcular a mano, afortunadamente, las calculadoras tienen una opción para reescribir fracciones como números decimales y viceversa. Para esto, se debe presionar el siguiente botón:

Este botón, reescribirá los números decimales como fracciones mixtas, particularmente para poder usar la opción correspondiente a las fracciones puras, se debe presionar la tecla SHITF previamente, pues con ella se pueden usar las opciones resaltadas en amarillo sobre cada tecla.

Potencias

El caso en el que más se usa una potencia en los cursos de matemáticas es cuando debemos elevar un número al cuadrado, seguido de esto, cuando debemos elevar un número al cubo. Para esto, existen dos botones dedicados.

Sin embargo, ¿qué haremos si queremos elevar un número a la 4? ¿O a la 10? ¿Y a la 7/5? Para esto, debemos usar el circunflejo… ¿El circunqué? El circunflejo es el signo (^) y de forma general, en el lenguaje matemático compucional, se usa para denotar una potencia.

Usando esta tecla, podemos calcular distintas potencias, de forma que

Si queremos calcular 6 elevado a la 4, entonces escribimos
6^4.
Si queremos calcular 2 elevado a la 10, entonces escribimos
2^10.
Si queremos calcular 4 elevado a la 7/5, entonces escribimos
4^(7/5).

Nótese que en este último caso, se usaron paréntesis para escribir la potencia. Esto es para indicarle a la calculadora que primero debe hacer las operación que está dentro del paréntesis. El uso de los paréntesis para definir operaciones es necesario para no incurrir en errores de cálculo.

Radicales

El caso en el que más se usa un radical en los cursos de matemáticas es cuando debemos calcular la raíz cuadrada, seguido de esto, cuando debemos calcular la raíz cúbica. Para esto, existen dos botones dedicados.

Particularmente para poder usar la opción correspondiente a la raíz cúbica, se debe presionar la tecla SHITF previamente, pues con ella se pueden usar las opciones resaltadas en amarillo sobre cada tecla.

Sin embargo, ¿qué haremos si queremos calcular la raíz cuarta? ¿O a la raíz décima? ¿Y a la sétima de un número elevado a la 5? Para esto, debemos usar presionar SHIFT seguido de el circunflejo (^), pues con esto activamos la expresión $\sqrt[x]{ \ }$ .

Usando esta tecla, podemos calcular distintas raíces, de forma que

Si queremos calcular la raíz cuarta de 6, entonces escribimos
4 $\sqrt[x]{ \ }$ 6.
Si queremos calcular la raíz décima de 2, entonces escribimos
10 $\sqrt[x]{ \ }$ 2.
Si queremos calcular la raíz quinta de 4 elevado a la 7, entonces escribimos
5 $\sqrt[x]{ \ }$ (4^7).

También nos podemos fijar que la raíz quinta de 4 elevado a la 7 también se puede calcular usando 4^(7/5), esto se debe a que de acuerdo a las propiedades de las potencias y radicales, tenemos que

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Logaritmos

Los logaritmos se usan con frecuencia para estudiar cambios proporcionales o porcentuales en conjuntos de datos. Usualmente se considera el logaritmo con base 10 o el logarimo con base $\textit{\Large e}$ , este último conocido como el logaritmo neperiano o logaritmo natural. Para esto, existen dos botones dedicados.

Usando esta tecla, podemos calcular distintos logaritmos, de forma que

Si queremos el logaritmo base 10 de 6, entonces escribimos
log6.
Si queremos el logaritmo base 10 de 2 elevado a la 5, entonces escribimos
log(2^5).
Si queremos el logaritmo neperiano de 8, entonces escribimos
ln8.
Si queremos el logaritmo neperiano de la raíz cúbica de 15, entonces escribimos
ln( $\sqrt[3]{ \ }$ 15).

Calcular el logaritmo de cualquier base

Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano. Sin embargo, debemos recordar la propiedad cambio de base, que indica que

$\log_a(b) = \dfrac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$

Entonces, podemos calcular el logaritmo de cualquier base en la calculadora de la siguiente forma:

Si queremos el logaritmo base 3 de 2, entonces escribimos
log2/log3.
Si queremos el logaritmo base 9 de 13, entonces escribimos
log13/log9.
Si queremos el logaritmo base 12 de 33, entonces escribimos
log(33)/log12.
Si queremos el logaritmo base 5 de 4+7, entonces escribimos
log(4+7)/log5.

Exponenciales

Hay una potencia muy particular que debemos calcular con regularidad cuando se hacen desarrollos matemáticos y esta se presenta cuando operamos con la función exponencial. Usualmente se considera la base 10 o la base $\textit{\Large e}$ . Para esto, existen dos botones dedicados.

Para poder usar estas opciones, se debe presionar la tecla SHITF previamente, pues con ella se pueden usar las opciones resaltadas en amarillo sobre cada tecla.

Usando esta tecla, podemos calcular distintas expresiones exponciales, de forma que

Si queremos 10 elevado a la 6, entonces escribimos
$10^x$ 6.
Si queremos 10 elevado a la 2, entonces escribimos
$10^x$ 2.
Si queremos 10 elevado a la 7/3, entonces escribimos
$10^x$ (7/3).
Si queremos $\textit{\Large e}$ elevado a la 8, entonces escribimos
$\textit{\Large e}^x$ 8.
Si queremos $\textit{\Large e}$ elevado a la 15 + 5, entonces escribimos
$\textit{\Large e}^x$ (15+5).

Para definir directamente el número $\textit{\Large e}$ tenemos dos opciones, podemos escribir $\textit{\Large e}^x$ 1 o podemos presionar el siguiente botón

Para poder usar estas opciones, se debe presionar la tecla ALPHA previamente, pues con ella se pueden usar las opciones resaltadas en rojo sobre cada tecla.

Usando esta tecla, podemos calcular distintas expresiones exponciales con base $\textit{\Large e}$ , de forma que

Si queremos $\textit{\Large e}$ elevado a la 3, entonces escribimos
$\textit{\Large e}$ ^3.
Si queremos $\textit{\Large e}$ elevado a la 1/2, entonces escribimos
$\textit{\Large e}$ ^(1/2).

Guardar un número en la memoria de la calculadora

Al hacer recurrir varias veces un mismo cálculo, resulta engorroso tener que escribir la operación una y otra vez. Afortunadamente, las calculadoras cuentan una opción para guardar números o resultados de operaciones en una calculadora.

La opción STO denota la palabra en inglés storage, que se traduce como almacenamiento en español. La calculadora CASIO fx-82MS tiene seis espacios disponibles para almacenar en su memoria, estos son los correspondientes a A, B, C, D, E y F.

Almacenar un número en la memoria se efectúa en tres pasos sencillos. Supongamos que debe almacenar el número 3 en el espacio de memoria A. Entonces, debe presionar 3, seguido de STO (presionando previamente SHITF), seguido de la tecla correspondiente a A (sin presionar ALPHA):

Posteriormente, deberá aparecer en la pantalla lo siguiente:

3 $\rightarrow$ A

De esta forma, si hacemos el llamado de A (presionando previamente ALPHA), este tendrá almacenado el valor 3. Entonces, si escribimos

7 + A

El resultado será igual a 10, pues es como sumar 7+3.

Aunque no pareciera muy útil para operaciones sencillas, esto resultará de utilidad en el caso que estemos evaluando un polinomio. Supongamos que usted está calculando los máximos y mínimos del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 -x +2$ y uno de sus puntos críticos es $x_1=\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

Para evalular el polinomio en esta expresión, lo más conveniente es guardarla en la memoria. Si queremos guardarla en el espacio B, seguimos los siguientes pasos

Escribimos la operación
(2 + $\sqrt{ \ }$ 7)/3
Seguido de STO (presionando previamente SHITF)
Seguido de B (sin presionar ALPHA)

Posteriormente, deberá aparecer en la pantalla lo siguiente:

(2 + $\sqrt{ \ }$ 7)/3 $\rightarrow$ B

Una vez que hemos almacenado este valor en memoria, podemos usarlo para evalular el polinomio en ese punto crítico, de la siguiente forma.

B^3 – 2B^2 -B +2

Difference of two squares

16.10.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

When carrying out mathematical operations it is common to find subtractions between two numbers, however, when finding the subtraction of the squares of two numbers we will say that this is a difference of squares and it is of our particular interest because through the distributive property, we can express it as the product of two factors.

Formally, if $a$ and $b$ are two real numbers, then the difference of their squares will be equal to the sum of the first plus the second, multiplied by the subtraction of the first by the second, that is,

This equality can be deduced by performing the distributive property of the real numbers, let’s see then,

This type of expression is often found in the development of algebraic operations and is used mainly for factoring operations, let’s see in the following examples how to apply this operation

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Examples

Example 1

Factorize the expression $5^2 - 3^2$ . Note that in this case, we can simply apply the power of each of the summands and perform the subtraction directly.

$5^2 - 3^2 = 25 - 9$

$= 16$

Example 2

Factorize the expression $x^2 - 9$ . We notice that in this case, one of the summands is an x squared and the other one is a nine, so we cannot make the subtraction between them so we apply the difference of squares noting that nine is equal to three squared.

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2$

$= (x-3)(x+3)$

Example 3

Factorize the expression $x^2 - 2$ . We notice that in this case, one of the summands is an x-squared and the other is two, so we cannot perform the subtraction between them so we apply the difference of squares noting that two can be rewritten as $2 = \left( \sqrt{2} \right)^2$ .

$x^2 - 2 = x^2 -\left( \sqrt{2} \right)^2$

$= \left(x-\sqrt{2} \right) \left(x+\sqrt{2} \right)$

In this way, we can notice that if the square root of a number is not exact, it can be rewritten to use the difference of squares.

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Example 4

Factorize the expression $8 - x^6$ . We notice that in this case, one of the summands is 8 and the other one is x to six, so we cannot make the subtraction between them so we apply the difference of squares noting that eight can be rewritten as $8 = \left( \sqrt{8} \right)^2$ and x to six as $x^6 = \left( x^3 \right)^2$ .

$8 - x^6 = \left( \sqrt{8} \right)^2 - \left(x^3 \right)^2$

$= \left(\sqrt{8}-x^3 \right) \left(\sqrt{8}+x^3 \right)$

Example 5

Factorize the expression $36x^4 - 5x^8$ . We notice that in this case, we cannot make the subtraction between them so we apply the difference of squares using the observations exposed in the previous examples.

$36x^4 - 5x^8 = \left( 6x^2 \right)^2 - \left( \sqrt{5}x^4 \right)^2$

$= \left(6x^2-\sqrt{5}x^4 \right) \left(6x^2+\sqrt{5}x^4 \right)$

Números Decimales

15.10.202020.05.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Si bien las fracciones se usan para representar divisiones, existe otra forma de representar una divisíon, y esto es, partiendo en diez partes el espacio entre dos números enteros consecutivos. A estas partes las llamaremos décimas. La idea básica es contar las décimas que el resultado de la división ocupa.

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¿Qué son los números decimales?

Consideremos de forma particular la división uno entre dos: la fracción que la representa es $\frac{1}{2}$ y gráficamente, si dividimos el espacio entre el número cero y el número uno en diez partes iguales, esta representa cinco de estas partes, es decir, cinco décimas, de la siguiente forma:

Si una división entre dos números no es exacta, esta constará dos partes: una parte entera y una parte representada en décimas. Para denotar estas divisiones no exactas definimos los números decimales. En el ejemplo que hemos visto, la división uno entre dos se denota con el número decimal

Notemos que la parte entera se separa de la parte decimal con una coma (,).

Nota: El estándar en el inglés se usa un punto para separar decimales, hay que tomar esto en consideración al usar calculadoras configuradas en inglés.

Centésimas y Milésimas

Al definir números decimales, podemos partir aún más el espacio entre dos números enteros consecutivos. Si partimos el espacio entre dos décimas en diez partes, a estas partes las llamaremos centésimas; si partimos el espacio entre dos centésimas en diez partes, a estas partes las llamaremos milésimas e incluso podemos seguir partiendo en más partes pero en la práctica no es común referirse a ellas.

La importancia de los números decimales radica en que permite comparar números enteros y números fraccionarios con mayor facilidad. Veamos entonces, algunos ejemplos de números decimales para entenderlos con mayor claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

La división tres entre dos se representa con la fracción $\frac{3}{2}$ y con el número decimal $1,5$ ; diremos que la parte entera es igual a uno y la décima es igual a cinco. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal finita o que es un decimal exacto, pues la cantidad de números después de la coma es finito.

Ejemplo 2

La división trece entre catorce se representa con la fracción $\frac{13}{4}$ y con el número decimal $3,25$ ; diremos la parte entera es igual a tres, la décima es igual a dos y la centésima es igual a cinco. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal finita o que es un decimal exacto, pues la cantidad de números después de la coma es finito.

Ejemplo 3

La división noventa y ocho entre ciento veinticinco se representa con la fracción $\frac{98}{125}$ y con el número decimal $0,784$ ; diremos la parte entera es igual a cero, la décima es igual a siete, la centésima es igual a ocho y la milésima es igual a cuatro. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal finita o que es un decimal exacto, pues la cantidad de números después de la coma es finito.

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Ejemplo 4

La división uno entre tres se representa con la fracción $\frac{1}{3}$ y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a $0,33333333\ldots$ y este 3 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica pues la cantidad de números después de la coma se repite indefinidamente. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, $0,33\overline{3}$ .

Ejemplo 5

La división treinta y cuatro entre nueve se representa con la fracción $\frac{34}{3}$ y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a $3,777777\ldots$ y este 7 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica pues la cantidad de números después de la coma se repite indefinidamente. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, $3,77\overline{7}$ .

Ejemplo 6

La división quince entre once se representa con la fracción $\frac{15}{11}$ y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a $0.3636 3636 \ldots$ y notamos que 36 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica mixta pues no es sólo un dígito el que se repite indefinidamente si no varios. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, $1,\overline{36}$ .

Ejemplo 7

La división cinco entre siete se representa con la fracción $\frac{5}{7}$ y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a $0,714285 7142 \ldots$ y notamos que 714285 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica mixta pues no es sólo un dígito el que se repite indefinidamente si no varios. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, $0,\overline{714285}$ .

Distancia entre dos puntos

14.10.202015.10.2020 Anthonny Arias-García2 comentarios

En esta sección desarrollaremos un método que nos permitirá calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano basándonos en el Teorema de Pitágoras. Y aunque es un teorema famoso, es necesario que veamos qué es lo que se establece en este teorema para precisar ideas.

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados. Decimos que sus catetos son los lados adyacentes a este ángulo y la hipotenusa será el lado opuesto a dicho ángulo. Este teorema nos dice que si usted tiene un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Entonces, si un cateto mide $a$ , otro cateto mide $b$ y la hipotenusa mide $c$ , tendremos que:

$c^2 = a^2 + b^2$

Con este resultado podemos decir que si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4, entonces $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . Si la hipotenusa es c, tendremos que $c^2=25$ . Es decir, la hipotenusa será un número que multiplicado por él mismo nos da 25 como resultado, este será el número 5 pues $5^2=5\cdot 5 = 25$ . Por lo tanto la hipotenusa de este triángulo mide 5.

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Consideremos ahora dos puntos en el plano $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ , denotamos la distancia entre estos dos como $d(P_1,P_2)$ y la ilustramos a continuación

Pero, ¿cómo calculamos la distancia entre estos dos puntos? Lo primero que debemos notar es que estos definen un triángulo rectángulo y además, la medida de los catetos está definida por la diferencia entre $x_1$ y $x_2$ ; y la diferencia entre $y_1$ y $y_2$ , tal como sigue

Tomando esto en cuenta, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, pues la distancia $d(P_1,P_2)$ es la medida de la hipotenusa. Entonces, tenemos que \textit{el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos}, es decir,

$d(P_1,P_2)^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Finalmente, podemos aplicar la raíz cuadrada en ambos lados de esta última ecuación para obtener una fórmula para el valor de la distancia entre los puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ .

$d(P_1,P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Aunque pareciera engorrosa, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los puntos $P_1 = (1,4)$ y $P_2 = (5,1)$ , grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

$d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$\ = \ \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 1)^2}$
$\ = \ \sqrt{(4)^2 + (3)^2}$
$\ = \ \sqrt{16 + 9}$
$\ = \ \sqrt{25}$
$\ = \ 5$

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es igual a $5$ .

Ejemplo 2

Considerando los puntos $P_1 = (2,-2)$ y $P_2 = (-2,-4)$ , grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

$d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$\ = \ \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-4 - (-2))^2}$
$\ = \ \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-4 + 2)^2}$
$\ = \ \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}$
$\ = \ \sqrt{16 + 4}$
$\ = \ \sqrt{20}$
$\ \approx \ 4.4721$

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es aproximadamente $4.4721$ .

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Ejemplo 3

Considerando los puntos $P_1 = (-1,1)$ y $P_2 = (2,-3)$ , grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

$d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$\ = \ \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2}$
$\ = \ \sqrt{(2 + 1)^2 + (-3 - 1)^2}$
$\ = \ \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$\ = \ \sqrt{9 + 16}$
$\ = \ \sqrt{25}$
$\ = \ 5$

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es igual a $5$ .

Ejemplo 4

Considerando los puntos $P_1 = (3,4)$ y $P_2 = (-2,-1)$ , grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

$d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$\ = \ \sqrt{(-2 - 3)^2 + (-1 - 4)^2}$
$\ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2}$
$\ = \ \sqrt{25 + 25}$
$\ = \ \sqrt{50}$
$\ \approx \ 7.0710$

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es aproximadamente $7.0710$ .

Ejemplos

Ejemplo 1

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La Calculadora CASIO fx-82MS

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Calcular el logaritmo de cualquier base

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Guardar un número en la memoria de la calculadora

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¿Qué son los números decimales?

Centésimas y Milésimas

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