Análisis de Equilibrio de la Utilidad

21.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted inició un negocio fabricando y vendiendo tapabocas. Habiendo estudiando los costos y los ingresos generados, ¿qué tanto ha valido la pena este negocio? Es decir, una vez que ha hecho una inversión, ¿ha generado dinero adicional o tiene menos dinero del que tenía antes de iniciar el negocio?

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Una vez que se ha vendido una unidad de un artículo, debemos estudiar la cantidad de dinero que se ha ganado una vez que hemos descontado los costos de producción, a esta ganancia se le conoce como utilidad y de forma general, la ganancia generada por la producción y venta de todas las unidades de un artículo se conoce como utilidad total, esta se calcula restando los costos totales de los ingresos totales. Formalmente, si identificamos los ingresos totales con la variable $I$ , los costos totales con la variable $C$ y la utilidad total con la variable $I$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$U = I - C$

A partir de la Ley de Tricotomía de los números reales, podemos estudiando esta ecuación para analizar el equilibrio entre los ingresos y los costos estableciendo tres casos:

Si $U < 0$ , esto quiere decir que los costos totales de producción exceden los ingresos totales obtenidos por las ventas, en este caso decimos que existe una pérdida.
Si $U > 0$ , esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas exceden los costos totales de producción, en este caso decimos que existe una ganancia, aunque también podemos decir que existe una utilidad.
Si $U = 0$ , esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas son iguales a los costos totales de producción, en este caso decimos que existe un equilibrio.

Si consideramos el plano cartesiano, ubicando la cantidad de unidades del artículo ( $q$ ) en el eje horizontal y la cantidad de dinero ( $p$ ) en el eje vertical; establecemos una interpretación gráfica de estos casos señalando que existe una pérdida cuando la curva de costos está por encima de la curva de ingresos, existe una ganancia cuando la curva de ingresos están por encima de la curva de costos y particularmente al punto donde ambas curvas se cortan, lo llamamos punto de equilibrio de la utilidad.

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El área roja representa la región de pérdida, es decir, cuando la utilidad es negativa y el área azul representa la región de ganancia, es decir, cuando la utilidad es positiva.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo analizar el equilibrio de las utilidades calculando el punto de equilibrio una vez que ya contamos con las ecuaciones lineales de costos totales e ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación lineal de costos totales $p = \frac{3}{10}q +40$ y la ecuación lineal de ingresos totales $p = \frac{6}{5}q$ , calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$\frac{3}{10}q +40 = \frac{6}{5}q$
$\Rightarrow \ \frac{3}{10}q -\frac{6}{5}q = 0-40$
$\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q = -40$
$\Rightarrow \ q = \frac{400}{9}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{400}{9}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ \frac{3}{10} \cdot \left( \frac{400}{9} \right) + 40$
$= \ \frac{40}{3} + 40$
$= \ \frac{160}{3}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es $\left( \frac{400}{9} , \frac{160}{3} \right)$ . Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Ejemplo 2

Considerando la ecuación lineal de costos totales $p = 6q +60$ y la ecuación lineal de ingresos totales $p = 11q$ , calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$6q +60 = 11q+0$
$\Rightarrow \ 6q -11q = 0-60$
$\Rightarrow \ -5q = -60$
$\Rightarrow \ q = 12$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=12$ en la ecuación de demanda.

$p = \ 6 \cdot \left( 12 \right) + 60$
$= \ 72 + 60$
$= \ 132$

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es $\left( 12 , 132 \right)$ . Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ejemplo 3

Considerando la ecuación lineal de costos totales $p = 20q +50$ y la ecuación lineal de ingresos totales $p = 26q$ , calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable $q$ .

$20q +50 = 26q$
$\Rightarrow \ 20q -26q = 0-50$
$\Rightarrow \ -6q = -50$
$\Rightarrow \ q = \frac{25}{3}$

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos entonces el valor $q=\frac{25}{3}$ en la ecuación de demanda.

$p = \ 20 \cdot \left( \frac{25}{3} \right) + 50$
$= \ \frac{500}{3} + 50$
$= \ \frac{650}{3}$

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es $\left( \frac{25}{3} , \frac{650}{3} \right)$ . Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

Ecuación Lineal de Ingresos Totales

21.12.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. Una vez que ha fabricado los tapabocas, usted fija el precio de venta de cada tapabocas en 100 Ps. De esta forma, si usted vende un tapabocas, habrá recibido un total de 100 Ps.; si usted vende dos tapabocas, habrá recibido un total de 200 Ps.; si usted vende tres tapabocas, habrá recibido un total de 300 Ps.; y de forma sucesiva, si vende $q$ tapabocas, habrá recibido un total de $100 \cdot q$ Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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La cantidad de dinero recibida por la venta de todas las unidades producidas de un artículo se conoce como ingreso total y de forma general, el ingreso se calcula multiplicando el precio por las cantidades vendidas. Formalmente, si identificamos el precio del artículo con la variable $p$ , las cantidades vendidas con la variable $q$ y el ingreso total con la variable $I$ , entonces podemos definir la siguiente ecuación:

$I = p \cdot q$

Aunque el precio de un artículo puede variar dependiendo de la cantidad que se oferte de esta, podemos estudiar la relación que guardan la cantidad de unidades vendidas de un artículo con el ingreso total y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por el ingreso total, $I$ ; y las cantidades producidas del bien, $q$ .

Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades vendidas, también aumenta el ingreso total. Particularmente, si el precio de un artículo es constante, el ingreso estará representado por una recta.

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A la ecuación de la recta de ingresos totales también se le conoce como la ecuación lineal de ingresos totales. Veamos en los siguientes ejemplos, cómo podemos usar la información sobre el precio un artículo para definir la ecuación lineal de ingresos totales.

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