Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes

10.04.202110.04.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas de segundo orden determinando la ecuación auxiliar.

$10 y'' + 50 y'+ 60y = 0$
$y'' + 5 y'+ 6y = 0$
$2 y'' - 12 y'+ 10y = 0$
$- 5 y'' - 45 y'- 100y = 0$

$4 y''' - 12 y'' + 12 y'- 4y = 0$
$3 y''' + 12 y'' = 0$
$9 y''' + 108 y'' + 405 y'+ 450y = 0$
$5 y''' + 15 y'' - 5 y'- 15y = 0$

$- 6 y^{(4)} + 6 y''' + 84 y'' - 144 y' = 0$
$3 y^{(4)} + 21 y''' + 18 y'' - 96 y'- 96y = 0$
$- 3 y^{(4)} - 6 y''' + 9 y'' + 24 y'+ 12y = 0$
$5 y^{(4)} - 10 y''' - 15 y'' + 40 y'- 20y = 0$

$2 y^{(5)} + 8 y^{(4)} - 44 y''' - 200 y'' - 150 y' = 0$
$5 y^{(5)} - 145 y''' + 500 y' = 0$
$2 y^{(5)} - 6 y^{(4)} - 50 y''' + 166 y'' + 48 y'- 160y = 0$
$- 10 y^{(5)} - 40 y^{(4)} + 130 y''' + 520 y'' - 360 y'- 1440y = 0$

También pudiera interesarte

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas con una solución conocida

10.04.202128.05.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo orden tomando en cuenta la solución particular $y_1$ indicada.

$8 x^{2} y'' + 4 x y' - 24 y = 0$ con solución particular $y_1 = - 9 x^{2}$
$10 x^{2} y'' - 20 y = 0$ con solución particular $y_1 = - 5 x^{2}$
$- 9 x^{2} y'' + 6 x y' + 6 y = 0$ con solución particular $y_1 = - 7 x^{2}$
$- 2 x^{2} y'' + 7 x y' - 10 y = 0$ con solución particular $y_1 = 2 x^{2}$

$5 x^{2} y'' + 3 x y' - 16 y = 0$ con solución particular $y_1 = 5 x^{2}$
$- 3 x^{2} y'' + 3 x y' = 0$ con solución particular $y_1 = 6 x^{2}$
$4 x^{2} y'' - 4 x y' = 0$ con solución particular $y_1 = - 5 x^{2}$
$2 x^{2} y'' - 2 x y' = 0$ con solución particular $y_1 = - 6 x^{2}$

$- 126 y - 2 y' + y'' = 0$ con solución particular $y_1 = - \textit{\Large e}^{9 x}$
$- 280 y + y' + 9 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 4 \textit{\Large e}^{- 4 x}$
$- 800 y - 2 y' + 6 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 8 x}$
$20 y - 9 y' - 7 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- 2 x}$

$- 8 y' + 4 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 6 \textit{\Large e}^{2 x}$
$- 36 y + 9 y' + 9 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 2 x}$
$- 2 y - 9 y' - 8 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- x}$
$72 y - 6 y' - 6 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = - 4 \textit{\Large e}^{- 3 x}$

También pudiera interesarte

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

10.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Una ecuación de la forma

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

es homogénea si $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones homogéneas del mismo grado, es decir,

$M(tx,ty) = t^\alpha M(x,y) \text{ y } N(tx,ty) = t^\alpha N(x,y), \, \alpha \in \mathbb{R}$

En este caso, las sustituciones $y=ux$ o $x=vy$ reducen la ecuación diferencial homogénea de grado $\alpha$ a una Ecuación Diferencial de Variables Separables.

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$\left(- 65 x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3}\right) dx + \left(210 x^{5} + 4 x^{3} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(5 x^{2} y^{4} - 24 y^{6}\right) dx + \left(- 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}\right) dy = 0$
$\left(4 x^{2} y^{3} - 18 y^{5}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$
$\left(- 6 x^{8} y^{2} - 15 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(36 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(5 x^{2} y^{4} + 8 y^{6}\right) dx + \left(- x^{3} y^{3} - 12 x^{2} y^{4}\right) dy = 0$
$\left(40 x^{5} y^{2} - 14 x^{4} y^{3}\right) dx + \left(- 48 x^{7} + 6 x^{5} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(9 x^{2} y^{8} - 84 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} + 54 x^{2} y^{8}\right) dy = 0$
$\left(80 x^{6} y^{2} + x^{5} y^{3}\right) dx + \left(168 x^{8} + 7 x^{6} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(6 x^{2} y^{5} - 72 y^{7}\right) dx + \left(- 2 x^{3} y^{4} - 28 x^{2} y^{5}\right) dy = 0$
$\left(- 8 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3}\right) dx + \left(- 16 x^{6} + 5 x^{4} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(9 x^{2} y^{8} + 48 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} - 42 x^{2} y^{8}\right) dy = 0$
$\left(2 x^{7} y^{2} - 9 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(24 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(4 x^{2} y^{3} + 81 y^{5}\right) dx + \left(- 7 x^{3} y^{2} + 18 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$
$\left(52 x^{7} y^{2} - 4 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(144 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(9 x^{2} y^{8} - 36 y^{10}\right) dx + \left(- 18 x^{3} y^{7} - 45 x^{2} y^{8}\right) dy = 0$
$\left(77 x^{8} y^{2} - 16 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(- 168 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(51 x y^{7} - 3 y^{8}\right) dx + \left(324 x^{4} y^{4} - 252 x^{3} y^{5}\right) dy = 0$
$\left(- 46 x y^{3} + 70 y^{4}\right) dx + \left(- 2 x^{4} - 22 x^{3} y\right) dy = 0$
$\left(- 120 x^{6} y^{3} - 6 x^{5} y^{4}\right) dx + \left(- 1296 x^{9} - 738 x^{8} y\right) dy = 0$
$\left(531 y^{5} - \frac{630 y^{6}}{x}\right) dx + \left(9 x^{3} y^{2} - 126 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$

$\left(4 x^{6} y^{2} - 2 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(- \frac{120 x^{9}}{y} + 46 x^{8}\right) dy = 0$
$\left(27 y^{4} - \frac{54 y^{5}}{x}\right) dx + \left(3 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(55 x^{6} y^{2} - 5 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(\frac{80 x^{9}}{y} - 130 x^{8}\right) dy = 0$
$\left(- 795 y^{5} + \frac{1890 y^{6}}{x}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 110 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$

También pudiera interesarte

Cómo escanear documentos con el teléfono

09.04.202118.07.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

En ocasiones es necesario escanear un documento pero no se cuenta con un dispositivo especializado para escanear documentos, afortunadamente existen aplicaciones para teléfonos que permiten escanear documentos con el uso de la cámara. Una de estas aplicaciones es la de Google Drive, que está disponible para Android y iOS; a continuación se presentan las instrucciones para escanear documento con esta aplicación.

También pudiera interesarte

Una vez que han descargado la aplicación, pueden seguir los siguientes pasos para escanear cualquier documento:

Pulsamos el ícono + para crear un nuevo archivo.

Cómo escanear documentos con el teléfono | totumat.com

Se pueden crear varios tipos de archivos pero se selecciona la opción escanear.

En seguida se abrirá una interfaz para tomar una fotografía, encuadramos el documento a escanear y pulsamos el botón para tomar la foto.

Una vez que se ha tomado la fotografía se confirma si está bien el encuadre.

Anuncios

Con esto ya se ha escaneado el documento por lo que aparecerá con alto contraste entre los colores oscuros y los claros, aunque esto se puede cambiar de ser necesario.
Si desea, puede agregar otra página del documento pulsando el + encerrado en los cuadros y se siguen los mismos pasos vistos antes.

Puede cambiar el nombre del archivo pulsando el nombre que está en la parte superior del documento escaneado.

Una vez que se han escaneado todas las páginas del documento, se guarda el archivo pulsando el botón de guardar. Seleccionamos la carpeta (dentro de nuestro Google Drive) donde lo queremos guardar y seleccionamos nuevamente guardar.

Ecuaciones Diferenciales – Dinámica del precio de un producto

08.04.202131.05.2025 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, particularmente, el caso no-homogéneo con coeficiente constante de la forma

$x' + ax = w(t)$

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación entre la oferta y la demanda en una economía.

Considerando que el equilibrio del mercado se consigue cuando las oferta es igual a la demanda, nos propondremos determinar la trayectoria que debe seguir el precio a través del tiempo para que el mercado se mantenga siempre en equilibrio.

También pudiera interesarte

Suponga que las funciones de demanda y oferta de un producto son las siguientes:

$Q_d = a_1 - b_1 P \text{ y } Q_o = - a_2 + b_2 P \text{ donde } a_i,b_i>0$

Sabiendo que el equilibrio de mercado se consigue cuando $Q_d = Q_o$ , entonces

$a_1 - b_1 P = -a_2 + b_2 P$

$\Rightarrow -b_1 P -b_2 P = -a_1-a_2$

$\Rightarrow P(- b_1 - b_2) = -a_1-a_2$

$\Rightarrow P = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}$

Es decir, si $P_e = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}$ , entonces el mercado estará en equilibrio. Sin embargo, cuando el precio $P$ se desvía de este valor $P_e$ , la demanda excede la oferta o la oferta excede la demanda.

Consideraremos que el precio en un mercado cambia de acuerdo a las fuerzas relativas de demanda y para simplicidad, supongamos que la tasa de cambio de precios con respecto al tiempo $t$ es proporcional al exceso en la demanda, formalmente tenemos que si $Q_d-Q_o$ es el exceso en la demanda, entonces

$P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big), m>0$

Sustituyendo las funciones $Q_d$ y $Q_o$ en esta última ecuación, tenemos

$P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big)$

$\Rightarrow P'(t) = m \cdot \big( a_1 - b_1 P - ( - a_2 + b_2 P) \big)$

$\Rightarrow P'(t) = m \cdot ( a_1 - b_1 P + a_2 - b_2 P )$

$\Rightarrow P'(t) = m a_1 - m b_1 P + m a_2 - m b_2 P$

$\Rightarrow P'(t) = -m P( b_1 + b_2) + m (a_1 + a_2)$

$\Rightarrow P'(t) + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2)$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden que se puede calcular usando el factor integrante $\mu(t) = \textit{\Large e}^{\int m(b_1+b_2)dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t}$ , así, tenemos que

$\displaystyle \frac{dP}{dt} + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2 )$

$\displaystyle \Rightarrow \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} \frac{dP}{dt} + \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} m ( b_1 + b_2) = \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{\textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} = \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )$

$\displaystyle \Rightarrow \int \frac{d(\textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} dt = \int \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 ) dt$

$\displaystyle \Rightarrow \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} P = \frac{m(a_1+a_2)}{m(b_1+b_2)}\textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} + C$

$\displaystyle \Rightarrow \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} P = P_e \textbf{\textit{\Large e}}^{m(b_1+b_2)t} + C$

$\displaystyle \Rightarrow P = P_e + C \textbf{\textit{\Large e}}^{-m(b_1+b_2)t}$

Si consideremos la condición inicial $P(0)$ , entonces tenemos que

$P(0) = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2) \cdot 0} = P_e + C \Rightarrow C = P(0) - P_e$

Por lo tanto, la solución que estamos buscando viene dada por

$P(t) = ( P(0) - P_e) \textit{\Large e}^{-m_0 t} + P_e, \text{ donde } m_0 = m(b_1+b_2)$

Notemos ahora que $m_0>0$ , así que si $t \rightarrow \infty$ , entonces $P(t) \rightarrow P_e$ . Es decir, en el largo plazo, el mecanismo del mercado llevará la dinámica del mercado a su punto de equilibrio.

Referencias

Zhang, W.-B. (2005). DIFFERENTIAL EQUATIONS, BIFURCATIONS, AND CHAOS IN ECONOMICS (Vol. 68). World Scientific.

totumat

¡Tu guía de matemáticas!

Autor: Anthonny Arias-García

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas con una solución conocida

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Cómo escanear documentos con el teléfono

Ecuaciones Diferenciales – Dinámica del precio de un producto

Comparte

Comparte

Comparte

Comparte

Comparte