It is necessary to understand that when considering mixed operations, there is an established order among the operations. First all the products must be made, then all the divisions, then all the additions and finally all the subtractions. Also consider that if there are signs of grouping you must first solve the contents between parentheses ( ), then brackets [ ] and then braces { }; you must make the operations that are within them considering the original hierarchy between operations. This is what people call BODMAS.

Anuncios

Does calculators lie?

When calculating this operation in a calculator, the results will differ depending on how they have been programmed because some have been programmed to prioritize the order of operations and others have been programmed to prioritize the order of appearance of the operations.

Anuncios

Write it better…

In my opinion, the problem with that specific case is that the person who originally raised it does not have the slightest idea of how to use the grouping signs because when operations between numbers are proposed, they always come from a real problem, so that kind of problems will always be well proposed if they are written correctly. Ambiguity in mathematics should have no place.

This operation defined as it is, is like asking a question without question marks, commas, colons or semicolons.

Anuncios

How to propose the problem?

Case 1

Suppose that you work for a party agency and at a party you have been asked to distribute six pieces of cake to a pair of children, this situation is described with the operation 6÷2. Suppose furthermore that you have to do this twice more, then this situation is described with the following operation (6÷2)×2. If again you are told to do this one more times, then at the end you will describe this with the following operation

(6÷2)×(2+1)
= 3×3
= 9

This means that in the end you will have to distribute 9 pieces of cake.

Case 2

Suppose again that you work at a party agency and you have been given six pieces of cake to distribute to a pair children, this situation is described with operation 6÷2. However, you are being told that now it is not a pair of children but rather two pairs of children, this situation is described with the operation 6÷[2×2]. Finally, you are told that one more pair of children have arrived, so in the end you will describe this with the following operation

6÷[2×(2+1)]
= 6÷[2×3]
= 6÷6
= 1

This means that at the end you will have to give a piece of cake to each child.

In conclusion…

Considering these two cases, we notice that each one has its own approach and interpretation. Always specifying which operations have to be grouped together and always specifying which operations should be carried out first.

What is 8÷2(2+2)?

14.11.202014.11.2020 Anthonny Arias-García1 comentario

In 2019 a debate went viral, discussing on what is the result of the operation 8÷2(2+2), I thought that it had been forgotten and that the situation had already been clarified. However, I was asked what the result of this operation was, quoting me on a tweet, and even today, the people who responded are still deciding between 1 and 16.

It is necessary to understand that when considering mixed operations, there is an established order among the operations. First all the products must be made, then all the divisions, then all the additions and finally all the subtractions. Also consider that if there are signs of grouping you must first solve the contents between parentheses (), then brackets [] and then braces {}; you must make the operations that are within them considering the original hierarchy between operations. This is what people call BODMAS.

Anuncios

Does calculators lie?

When calculating this operation in a calculator, the results will differ depending on how they have been programmed because some have been programmed to prioritize the hierarchy between operations and others have been programmed to prioritize the order of appearance of the operations.

Anuncios

Write it better…

This operation defined as it is, is like asking a question without question marks, commas, colons or semicolons.

Anuncios

How to propose the problem?

Case 1

Suppose that you work for a party agency and at a party you have been asked to distribute eight pieces of cake to a couple of children, this situation is described with the operation 8÷2. Suppose furthermore that you have to do this twice more, then this situation is described with the following operation (8÷2)×2. If again you are told to do this two more times, then at the end you will describe this with the following operation

(8÷2)×(2+2)
= 4×4
= 16

This means that in the end you will have to distribute 16 pieces of cake.

Case 2

Suppose again that you work at a party agency and you have been given eight pieces of cake to distribute to a couple of children, this situation is described with operation 8÷2. However, you are being told that now it is not a pair of children but rather two pairs of children, this situation is described with the operation 8÷(2×2). Finally, you are told that two more pairs of children have arrived, so in the end you will describe this with the following operation

8÷[2×(2+2)]
= 8÷[2×4]
= 8÷8
= 1

This means that at the end you will have to give a piece of cake to each child.

In conclusion…

Operaciones entre filas y columnas de una matriz

13.11.202008.05.2024 Anthonny Arias-García4 comentarios

Si bien hemos podido definir operaciones entre matrices, es posible definir operaciones entre y sobre las filas de una matriz y de igual manera, es posible definir operaciones entre y sobre las columnas de una matriz. Veremos además, que al aplicar estas operaciones, podemos deducir el determinante de la nueva matriz a partir de la matriz original.

También pudiera interesarte

Operaciones elementales por fila

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos filas usando la notación $f_i \longleftrightarrow f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 2

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 3

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la fila $3$ por la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 4

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la fila $1$ por la fila $3$ , entonces,

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

Suma de filas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Ejemplo 6

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ , entonces,

Ejemplo 7

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{31}$ es igual a $-3$ .

Ejemplo 8

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ , entonces,

Fe de erratas: El elemento resultante $a_{51}$ es igual a $11$ .

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Si $i$ es una fila de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la fila $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow k \cdot f_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 9

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la fila $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 10

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la fila $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 11

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la fila $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 12

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la fila $5$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos filas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la fila $i$ y sumarle la fila $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $f_i \longrightarrow f_i + k \cdot f_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 13

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 14

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la fila $1$ le sumamos la fila $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 15

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la fila $3$ le sumamos la fila $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de filas de una matriz.

Ejemplo 16

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la fila $5$ le sumamos la fila $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

Matrices equivalentes por filas

Una vez que se ha hecho una operación elemental por fila a una matriz, se pueden seguir haciendo operaciones elementales por fila a las matrices resultantes de forma sucesiva. Diremos que si una matriz $B$ se obtiene a partir de una matriz $A$ a través de una sucesión finita de operaciones elementales por filas, entonces diremos que las matrices $A$ y $B$ son matrices equivalentes por filas y esta relación la denotaremos por

$A \stackrel{f}{\sim} B$

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplo

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ , haciendo operaciones elementales por fila de forma sucesiva, veamos que esta es equivalente a la matriz identidad $\mathbf{I}$ .

Método de Reducción Gaussiana | totumat.com

Operaciones elementales por columna

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de columnas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ , denotamos el intercambio de estas dos columnas usando la notación $c_i \longleftrightarrow c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 17

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 18

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 19

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ e intercambiemos la columna $3$ por la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 20

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ e intercambiemos la columna $1$ por la columna $2$ , entonces,

Suma de columnas de una matriz

Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ , es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 21

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 22

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ , entonces,

Ejemplo 23

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ , entonces,

Ejemplo 24

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ , entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Si $i$ es una columna de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ . Podemos considerar la columna $i$ y multiplicarla por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow k \cdot c_i$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 25

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $5$ , entonces,

Ejemplo 26

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y multipliquemos la columna $3$ por el escalar $-1$ , entonces,

Ejemplo 27

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y multipliquemos la columna $2$ por el escalar $10$ , entonces,

Ejemplo 28

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y multipliquemos la columna $1$ por el escalar $-4$ , entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si $i$ y $j$ son dos columnas de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ , tales que $i < j$ . Podemos considerar la columna $i$ y sumarle la columna $j$ multiplicada por un escalar $k$ , para esto usamos la notación $c_i \longrightarrow c_i + k \cdot c_j$ y la expresamos de la siguiente manera:

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

Ejemplos

Ejemplo 29

Consideremos una matriz de tamaño $2 \times 2$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $5$ , entonces,

Ejemplo 30

Consideremos una matriz de tamaño $3 \times 3$ y a la columna $1$ le sumamos la columna $3$ multiplicada por $2$ , entonces,

Ejemplo 31

Consideremos una matriz de tamaño $4 \times 4$ y a la columna $3$ le sumamos la columna $2$ multiplicada por $-1$ , entonces,

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de columnas.

Ejemplo 32

Consideremos una matriz de tamaño $6 \times 3$ y a la columna $2$ le sumamos la columna $1$ multiplicada por $10$ , entonces,

Fractions

04.11.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Fractions are an alternative way to denote division between two numbers and are generally used to express proportions, for example, to express three-quarters of a quantity we write $\frac{3}{4}$ or to denote half of a cake we simply write $\frac{1}{2}$ . It is possible to represent the fractions graphically to make them easier to understand.

Formally, if we consider two integers $a$ and $b neq 0$ , then we will say that $a$ is the numerator of the fraction and $b$ is the denominator of the fraction, and so, the division $a div b$ will be represented by the following expression

$\frac{a}{b}$

The number above is called numerator and the number below is called denominator.

Anuncios

Fraction properties

When we work with fractions, we will find very particular expressions that we can identify when we want to simplify mathematical operations. Let’s consider $a$ an non-zero integer and see below what these fractions are.

One divided by one equals one. In general, if we consider any non-zero real, the division of this number by itself, is equal to one, then,

$\dfrac{1}{1} = 1$ .

$\dfrac{a}{a} = 1$ .

Any integer number can be expressed as the division of itself with one, this information will be useful when we are presented with operations between numbers expressed in fractions and integers.

$\dfrac{a}{1} = a$ .

When dividing zero by any non-zero real number, the result will always be the same, zero.

$\dfrac{0}{a} = 0$

On the contrary, if we take any real number, it cannot be divided by zero because this operation is not defined, that is, division by zero is not defined.

$\dfrac{a}{0}$

not defined.

Anuncios

The Law of Signs for Fractions

Since fractions represent divisions, we can also establish the law of signs for division, if $a$ and $b$ are integers such that $b$ is non-zero, then

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}$ .

$\dfrac{-a}{b} = -\dfrac{a}{b}$ .

$\dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}$ .

$\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}$ .

The advantage in the use of fractions is that they provide rigidity in the results and thus avoid approximation or rounding errors when making divisions, which is why it is necessary to master the operations of sum, subtraction, multiplication and division between the fractions.

Anuncios

Proper and improper fractions

One way to classify fractions is by considering the size of their numerator and denominator, because these will determine the portion they really represent. If $a$ and $b$ are two integers such that $b neq 0$ , we have to

If $a < b$ , we will say that the fraction is $\frac{a}{b}$ is proper, that is, if the numerator is smaller than the denominator.
If $a \geq b$ , we will say that the fraction is $\frac{a}{b}$ is improper, that is, if the numerator is greater or equal than the denominator.

To clarify this idea, let’s see some examples.

Examples

Example 1

The fraction $\frac{1}{2}$ , is a proper fraction, because its numerator is less than its denominator.

Example 2

The fraction $\frac{7}{15}$ , is an proper fraction, because its numerator is smaller than its denominator.

Example 3

The fraction $\frac{4}{9}$ , is an proper fraction, because its numerator is smaller than its denominator.

Example 4

The fraction $\frac{6}{20}$ , is an proper fraction, because its numerator is smaller than its denominator.

Example 5

The fraction $\frac{5}{3}$ , is an improper fraction, because its numerator is greater than its denominator.

Example 6

The fraction $\frac{10}{4}$ , is an improper fraction, because its numerator is bigger than its denominator.

Example 7

The fraction $\frac{20}{12}$ , is an improper fraction, because its numerator is bigger than its denominator.

Example 8

The fraction $\frac{75}{44}$ , is an improper fraction, because its numerator is bigger than its denominator.

Anuncios

Mixed fractions

When reading a recipe it is common to find measurements for ingredients such as one and a half cup of sugar or, that is why we can find containers with measurements of $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ or $\frac{1}{8}$ . This also occurs when buying foods that must be weighed, such as one kilograms and a quarter cheese or three and a half kilograms of meat.

Fractions are ideal to express this type of measurements, they are designed to measure portions, for example, to write a cup and a half you can write $1 + \frac{1}{2}$ which in turn is equal to $\frac{3}{2}$ . However, the way they are written may not present comfort or clarity in practice, that is why the mixed fractions (or mixed numbers) are defined, then, that instead of writing $1 + \frac{1}{2}$ , one writes

$1 \tfrac{1}{2}$

In this way, we define mixed fractions to separate the whole part from its non-integer part, the latter usually represented with a fraction of its own. Any mixed fraction can be rewritten as an improper fraction, because if $a$ , $b$ and $c$ are positive integers, then the following mixed fraction

$a \tfrac{b}{c}$

is rewritten as an improper fraction adding $a$ with $\frac{b}{c}$ , that is,

$a + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$

Let’s see some examples of how to rewrite mixed fractions.

Anuncios

Examples

Example 9

Rewrite the mixed fraction $1 \tfrac{1}{2}$ as an improper fraction.

$1 \tfrac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Example 10

Rewrite the mixed fraction $1 \tfrac{1}{8}$ as an improper fraction.

$1 \tfrac{1}{8} = 1 + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{2} = \frac{9}{2}$

Example 11

Rewrite the mixed fraction $2 \tfrac{3}{4}$ as an improper fraction.

$2 \tfrac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Example 12

Rewrite the mixed fraction $2 \tfrac{3}{4}$ as an improper fraction.

$3 \tfrac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Example 13

Rewrite the mixed fraction $5 \tfrac{9}{16}$ as an improper fraction.

$5 \tfrac{9}{16} = 5 + \frac{9}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{89}{16}$

Desigualdades

02.11.202020.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Tipos de Desigualdades

Al estudiar la Ley de Tricotomía en los números reales, pudimos establecer tres tipos de relaciones entre un par de números reales, con las ecuaciones estudiamos la relación que existe cuando dos números eran iguales. Ahora, ¿qué relación existe cuando dos números no son iguales? Cuando dos números no iguales, podemos decir que estos son desiguales. Veamos entonces los tipos de desigualdad que podemos encontrar:

También pudiera interesarte

Tipos de Desigualdades

Mayor que

La desigualdad mayor que se denota con el símbolo $>$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo. Por ejemplo:

$10 > 8$ , se lee diez es mayor que ocho.
$3 > -9$ , se lee tres es mayor que menos nueve.
$-5 > -16$ , se lee menos quince es mayor que menos dieciséis.

Mayor o igual que

La desigualdad mayor o igual que se denota con el símbolo $\geq$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

$7 \geq 4$ , se lee siete es mayor o igual que cuatro.
$10 \geq -7$ , se lee diez es mayor o igual que menos siete.
$-1 \geq -4$ , se lee menos uno es mayor o igual que menos cuatro.
$3 \geq 3$ , se lee tres es mayor o igual que tres.
$-8 \geq -8$ , se lee menos ocho es mayor o igual que menos ocho.

Menor que

La desigualdad menor que se denota con el símbolo $<$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo. Por ejemplo:

$2 < 5$ , se lee dos es menor que 5.
$-13 < 0$ , se lee menos trece es menor que cero.
$-6 < -2$ , se lee menos seis es menor que menos dos.

Menor o igual que

La desigualdad menor o igual que se denota con el símbolo $\leq$ y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

$11 \leq 20$ , se lee diez es menor o igual que veinte.
$-3 \leq 14$ , se lee menos tres es menor o igual que catorce.
$-22 \leq -9$ , se lee menos veintidós es menor o igual que menos nueve.
$6 \leq 6$ , se lee seis es menor o igual que seis.
$-10 \leq -10$ , se lee menos diez es menor o igual que menos diez.

Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, podemos ir más allá y establecer relaciones entre números representados con una incógnita, esto lo haremos planteando inecuaciones.

Does calculators lie?

Write it better…

How to propose the problem?

Case 1

Case 2

In conclusion…

Comparte

Does calculators lie?

Write it better…

How to propose the problem?

Case 1

Case 2

In conclusion…

Comparte

Operaciones elementales por fila

Intercambio de filas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Suma de filas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 13

Ejemplo 14

Ejemplo 15

Ejemplo 16

Matrices equivalentes por filas

Ejemplo

Operaciones elementales por columna

Intercambio de columnas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 17

Ejemplo 18

Ejemplo 19

Ejemplo 20

Suma de columnas de una matriz

Ejemplos

Ejemplo 21

Ejemplo 22

Ejemplo 23

Ejemplo 24

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 25

Ejemplo 26

Ejemplo 27

Ejemplo 28

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 29

Ejemplo 30

Ejemplo 31

Ejemplo 32

Comparte

Fraction properties

The Law of Signs for Fractions

Proper and improper fractions

Examples

Example 1

Example 2

Example 3

Example 4

Example 5

Example 6

Example 7

Example 8

Mixed fractions