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Varianza y Error estándar

R: El error estándar

Anthonny Arias García2 comentarios

El Método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) nos provee una forma estimar los parámetros \hat{\beta}_2 y \hat{\beta}_1, sin embargo, al estar estos valores condicionados a la muestra que se tome, es probable que entre una muestra y otra, estos valores presenten variaciones. Entonces, surge la pregunta: ¿de qué forma podemos garantizar precisión en las estimaciones? O al menos, ¿podemos medir la imprecisión de estas?

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La varianza muestral y el error estándar

La teoría estadística provee una forma de medir la precisión de un valor estimado, esto es, el error estándar (ee) que está definido como la desviación estándar de la distribución muestral del estimador. Es importante recalcar que al hablar sólo de desviación estándar, hacemos referencia a la población, en cambio, al hablar del error estándar, hacemos referencia a la muestra de dicha población.

Considerando la varianza muestral, que mide la variabilidad de los datos respecto a su media; podemos calcular el error estándar al tomar la raíz cuadrada de esta. Entonces, si \sigma es la desviación estándar:

Calculamos la varianza y el error estándar del parámetro \hat{\beta}_2 usando las siguientes fórmulas respectivamente,

var(\hat{\beta}_2) = \dfrac{\sigma^2}{\sum x_i^2}

ee(\hat{\beta}_2) = \dfrac{\sigma}{ \sqrt{\sum x_i^2} }

Podemos calcular la varianza y el error estándar del parámetro \hat{\beta}_2 en R usando la siguiente sintaxis:

var.beta2 <- sigma2.e/sum( (Yd-m.Yd)^2 )
ee.beta2 <- sqrt(v.beta2)

Por otra parte calculamos la varianza y el error estándar del parámetro \hat{\beta}_1 usando las siguientes fórmulas respectivamente,

var(\hat{\beta}_1) = \dfrac{ \sum X_i^2 }{n \sum x_i^2} \cdot \sigma^2

ee(\hat{\beta}_1) = \sqrt{ \dfrac{ \sum X_i^2 }{n \sum x_i^2} } \cdot \sigma

Podemos calcular la varianza y el error estándar del parámetro \hat{\beta}_1 en R usando la siguiente sintaxis:

var.beta1 <- sigma2.e*sum( Yd^2 )/(length(Yd)*sum( (Yd-m.Yd)^2 ))
ee.beta1 <- sqrt(v.beta1)

La desviación estándar estimada y el error estándar de estimación

Si bien contamos con los datos para calcular parte de estas expresiones, aún desconocemos el valor de \sigma^2, pues este valor se obtiene a partir de la población pero sólo contamos con una muestra, afortunadamente, podemos definir una fórmula que nos estima a través de del Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios a la verdadera pero desconocida \sigma^2, esta fórmula es

\hat{\sigma}^2 = \dfrac{\sum \hat{u}_i^2}{n-2}

Podemos calcular la desviación estándar estimada en R usando la siguiente sintaxis:

sigma2.e <- sum(res^2)/(lenght(X)-2)

Vale la pena destacar que la raíz cuadrada de \hat{\sigma}^2 se conoce como el error estándar de estimación o el error estándar de la regresión (eee). No es más que la desviación estándar de los valores Y alrededor de la línea de regresión estimada, la cual suele servir como medida para resumir la bondad del ajuste de dicha línea. Se calcula de la siguiente manera

\hat{\sigma} = \sqrt{\dfrac{\sum \hat{u}_i^2}{n-2}}

Podemos calcular este valor en R usando la siguiente sintaxis:

ee.e <- sqrt(sigma2.e)

Ejemplo

Consideremos un pequeño conjunto de datos, particularmente, los datos que se encuentran en la Tabla 3.2 del libro de Econometría de Damodar N. Gujarati and Dawn Porter en su quinta edición. Este conjunto de datos proporciona los datos primarios que se necesitan para estimar el efecto cuantitativo de la escolaridad en los salarios:

ObservaciónSalarioEscolaridad
14.45676
25.777
35.97878
47.33179
57.318210
66.584411
77.818212
87.835113
911.022314
1010.673815
1110.836116
1213.61517
1313.53118
Tabla 3.2

Una vez que hemos calculado el modelo lineal que define este conjunto de datos, podemos determinar el error estándar de los parámetros estimados, pero primero debemos estimar la desviación estándar usando la siguiente sintaxis:

sigma2.e <- sum( (residuos)^2 )/(length(salario)-2)

Podemos calcular la varianza y el error estándar del parámetro \hat{\beta}_2 en R usando la siguiente sintaxis:

var.beta2 <- sigma2.e/sum( (escolaridad-m.escolaridad)^2 )
ee.beta2 <- sqrt(var.beta2)

Al ejecutar estas instrucciones obtenemos error estándar del parámetro \hat{\beta}_2, que en este caso es igual a 0.06958134.

Podemos calcular la varianza y el error estándar del parámetro \hat{\beta}_1 en R usando la siguiente sintaxis:

var.beta1 <- sigma2.e*sum( escolaridad^2 )/(length(escolaridad)*sum( (escolaridad-m.escolaridad)^2 ))
ee.beta1 <- sqrt(var.beta1)

Al ejecutar estas instrucciones obtenemos error estándar del parámetro \hat{\beta}_1, que en este caso es igual a 0.8746239.

En su pantalla debería aparecer:

Varianza y Error Estándar de los parámetros en R. | totumat.com

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