Curvas de Indiferencia y TMS

20.04.202007.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

En la economía, la utilidad estudia el nivel de satisfacción de un individuo respecto a la forma en que este clasifica distintas situaciones, sin embargo, este tipo de funciones no se pueden cuantificar de forma rigurosa pues la satisfacción es algo muy subjetivo ya que la utilidad de una persona no sólo depende de los bienes materiales que consume, sino también de sus actitudes psicológicas, de las presiones de su grupo social, de sus experiencias personales y del entorno cultural en general según Walter Nicholson en su libro de Teoría Microeconómica, Principios básicos y ampliaciones, es por esto que se restringe el estudio de este tipo de funciones a variables que se puedan medir como las cantidades relativas de alimento, horas de trabajo semanales o tasas fiscales, las variables que no podemos medir se suponen como constantes, esto se le llama en los libros de texto económicos ceteris paribus.

También pudiera interesarte

Consideremos el caso particular en que una vez presentados $n$ bienes distintos, un individuo debe escoger cantidades $x_1, x_2, \ldots, x_n$ de dichos bienes. Entonces, representaremos la forma en que este individuo clasifica estos bienes definiendo una función de utilidad de la siguiente forma:

$U(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

Cuando sólo se toman en consideración dos bienes, entonces la función de utilidad se expresa sólo para la cantidad de estos dos bienes $x$ y $y$ :

$U(x,y)$

La curva de nivel $U(x,y) = U_0$ representa todas las combinaciones de $x$ y $y$ que proveen al individuo un nivel de satisfacción igual a $U_0$ . Esta curva de nivel se llama curva de indiferencia pues al ellas representar todas las combinaciones de las canastas del mercado que proveen al individuo el mismo nivel de satisfacción, este se mostrará indiferente entre una canasta y otra. De forma general, si la función $U(x,y)$ es una función de Cobb-Douglas, su gráfica estará representada de la siguiente forma:

La curva de indiferencia además de mostrar las combinaciones de los bienes $x$ y $y$ , nos permiten observar que en que medida un individuo está dispuesto a intercambiar los bienes para obtener el mismo nivel de satisfacción. De forma que si tiene las cantidades $x_0$ y $y_0$ de un bien, la cantidad de unidades de $y$ que intercambia para obtener una unidad de $x$ está definida como la tasa marginal de sustitución (TMS) y está determinada por la pendiente negativa de la curva $U_0$ en el punto $(x_0,y_0)$ , es decir,

$TMS = -\frac{dy}{dx}$

Calculada a partir de la función implícita $U(x,y)=U_0$ .

¿Cómo calcular la TMS?

Es posible determinar la tasa marginal de sustitución calculando derivadas parciales pues si tomamos en cuenta que el diferencial de la función de utilidad está dada por $dU = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy$ , entonces el diferencial de la curva de nivel $U_0$ será

$\frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{\partial U}{\partial y} dy = -\frac{\partial U}{\partial x} dx$

A partir de esta igualdad, podemos obtener la derivada $\frac{dy}{dx}$ haciendo un abuso de la notación para despejar los diferenciales de $x$ y $y$ de la siguiente forma

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}} \ \Longrightarrow \ -\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}} \ \Longrightarrow \ TMS = \dfrac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}$

Ejemplos

Reduzcamos una situación en la que un individuo de la sociedad sólo puede dedicar su tiempo a dos usos respecto al mercado: horas de trabajo y horas de no trabajo.

Denotaremos las horas de trabajo con la variable $l$ (labor en inglés) y si por cada hora de trabajo obtiene un ingreso de $w$ , entonces, considerando que este individuo puede adquirir bienes si trabaja, definimos la variable consumo $c = l \cdot w$ .

Definiremos las horas de no trabajo como horas de ocio y las denotaremos con la variable $h$ , estas representan las horas que dedica a trabajar en casa (no en el mercado), ver televisión o navegar en las redes sociales.

Suponga que las preferencias de este individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

$U(C,H)=3\sqrt[5]{C^2} \cdot \sqrt[5]{H^3}$

Para determinar la TMS. Debemos calcular ambas funciones de utilidad marginal. Previamente, debemos notar que $U(C,H)=3\sqrt[5]{C^2} \cdot \sqrt[5]{H^3} = 3 C^{\frac{2}{5}} \cdot H^{\frac{3}{5}}$ , por lo tanto

$\frac{\partial U}{\partial C} = 3 \cdot \frac{2}{5} \cdot C^{-\frac{3}{5}} \cdot H^{\frac{3}{5}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{H^{\frac{3}{5}}}{C^{\frac{3}{5}}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{\sqrt[5]{H^3}}{\sqrt[5]{C^3}}$

$\frac{\partial U}{\partial H} = 3 \cdot \frac{3}{5} \cdot H^{-\frac{2}{5}} \cdot C^{\frac{2}{5}} = \frac{9}{5} \cdot \frac{C^{\frac{2}{5}}}{H^{\frac{2}{5}}} = \frac{9}{5} \cdot \frac{\sqrt[5]{C^2}}{\sqrt[5]{H^2}}$

Luego,

$TTS = \dfrac{\frac{\partial U}{\partial C}}{\frac{\partial U}{\partial H}} = \frac{ \frac{6}{5} \cdot \frac{\sqrt[5]{H^3}}{\sqrt[5]{C^3}}}{\frac{9}{5} \cdot \frac{\sqrt[5]{C^2}}{\sqrt[5]{H^2}}} = \frac{2}{3}\frac{H}{C}$

Función de Producción Conjunta

10.04.202020.02.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

La cantidad de unidades fabricadas de un producto depende de muchos factores de producción. Entre estos se encuentran la mano de obra, el capital, el terreno, la maquinaria, etcétera. Por simplicidad, se supondrá que la producción sólo depende del trabajo y del capital.

También pudiera interesarte

Si la función $P(L,K)$ proporciona la producción $P$ cuando el productor emplea $L$ unidades de trabajo (que usualmente la expresaremos como horas de trabajo semanal) y $K$ unidades de capital, entonces esta función de producción, que depende de dos variables, se llama Función de Producción Conjunta.

Una vez fijadas las unidades de capital $K$ invertidas, podemos calcular la variación de la producción respecto a la cantidad horas de trabajo, es decir, la función de producción marginal respecto a la variable $L$

$\dfrac{\partial P}{\partial L}$

Por ejemplo, si $\frac{\partial P}{\partial L} = 10$ , entonces al aumentar en una hora la cantidad de horas de trabajo $L$ cuando se fija el capital invertido en $K$ , la producción aumentará en 10 unidades.

Por otra parte, una vez fijada la cantidad de horas a trabajar en una semana, podemos calcular la variación de la producción respecto al capital, es decir, la función de producción marginal respecto a la variable $K$

$\dfrac{\partial P}{\partial K}$

Por ejemplo, si $\frac{\partial P}{\partial K} = 50$ , entonces al aumentar en una unidad el capital $K$ cuando se fija la cantidad de horas trabajadas en $L$ , la producción aumentará en 50 unidades.

Anuncios

Ejemplo

Considerando una fábrica de plátano chips, ésta ha determinado que la función de producción es $P(L,K)=\sqrt{L \cdot K}$ , donde $L$ es el número de horas de trabajo por semana y $K$ es el capital (expresado en miles de perolitos por semana) requerido para la producción semanal de $P$ gruesas de plátano chips (Una gruesa es una cantidad de artículos equivalente a doce docenas, es decir, 144 artículos). Determine las funciones de producción marginal respecto a $L$ y respecto a $K$ ; evalúelas en $(400,16)$ e interprete los resultados.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Para esto, debemos notar que $P(L,K)=\sqrt{L\cdot K} = (L \cdot K)^{1/2}$ , por lo tanto

$\dfrac{\partial P}{\partial L} = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{1/2-1} \cdot K = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{-1/2} \cdot K = \dfrac{K}{2\sqrt{L\cdot K}}$

Luego,

$\left. \dfrac{\partial P}{\partial L} \right|_{(400,16)} = \dfrac{16}{12\sqrt{(400)\cdot(16)}} = \dfrac{1}{10}$

Así, si mantenemos el capital en 16 mil Ps. y aumentamos la cantidad de horas de trabajo de 400 a 401 horas semanales, la producción aumentará en $\dfrac{1}{10}$ gruesas, es decir, en 14,4 empaques de plátano chips.

Por otra parte,

$\dfrac{\partial P}{\partial K} = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{1/2-1} \cdot L = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{-1/2} \cdot L = \dfrac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}$

Luego,

$\left. \dfrac{\partial P}{\partial K} \right|_{(400,16)} = \dfrac{400}{2\sqrt{(400)\cdot(16)}} = \dfrac{5}{2}$

Así, si fijamos la cantidad de horas de trabajo semanales en 400 y aumentamos el capital de 16 mil a 17 mil Ps., la producción aumentará en $\dfrac{5}{2}$ gruesas, es decir, en 360 empaques de plátano chips.

Anuncios

Funciones de Producción Cobb-Douglas

Un grupo importante de funciones de producción, son las Funciones de Producción Cobb-Douglas que se expresan como

$P(L,K) = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{\beta}$

La suma $(\alpha + \beta)$ da información sobre los rendimientos a escala, es decir, la respuesta de la producción a un cambio proporcional en los insumos.

Si esta suma es 1, existen rendimientos constantes a escala, es decir, la duplicación de los insumos duplica la producción, la triplicación de los insumos la triplica, y así sucesivamente.
Si la suma es menor que 1, existen rendimientos decrecientes a escala: al duplicar los insumos, la producción crece en menos del doble.
Si la suma es mayor que 1, hay rendimientos crecientes a escala; la duplicación de los insumos aumenta la producción en más del doble.

Particularmente nos interesará el caso $\alpha + \beta = 1$ . La importancia de este radica en que la función se expresar en función sus incrementos de la siguiente forma:

$P(L,K) = L \cdot \dfrac{\partial P}{\partial L} + K \cdot \dfrac{\partial P}{\partial K}$

Si consideramos la función de producción de nuestro ejemplo, tendremos que sus derivadas parciales son $\frac{\partial P}{\partial L} = \frac{K}{2\sqrt{L\cdot K}}$ y $\frac{\partial P}{\partial K} = \frac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}$ , por lo tanto

$L \cdot \dfrac{\partial P}{\partial L} + K \cdot \dfrac{\partial P}{\partial K}$

$\; = \; L \dfrac{K}{2\sqrt{L\cdot K}} + K \dfrac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}$

$\; = \; L \dfrac{K}{2\sqrt{L} \sqrt{K}} + K \dfrac{L}{2\sqrt{L} \sqrt{K}}$

$\; = \; \dfrac{1}{2} \dfrac{L}{\sqrt{L}} \dfrac{K}{\sqrt{K}} + \dfrac{1}{2} \dfrac{K}{\sqrt{K}} \dfrac{L}{\sqrt{L}}$

$\; = \; \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K} + \dfrac{1}{2} \sqrt{K}\sqrt{L}$

$\; = \; \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K} + \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K}$

$\; = \; \sqrt{L}\sqrt{K}$

$\; = \; \sqrt{LK}$