Ejercicios Propuestos de Ecuaciones e Inecuaciones

02.10.202001.08.2023 Anthonny Arias-García1 comentario

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Ecuaciones Lineales

Calcule el valor de x que satisface las siguientes ecuaciones, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

$x + 6 = 9$
$x - 9 = 6$
$7x + 1 = 10$
$5x - 4 = 5$

$2 + 1x = 3$
$7 - 6x = 10$
$3 + 1x = 8$
$2 - 8x = 9$

$1 + 1x = 8 + 8x$
$2 - 8x = 2 + 2x$

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Ecuaciones con Valor Absoluto

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones con valor absoluto, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

$| x + 9 | = 7$
$| x - 9 | = 4$
$| 8x + 1 | = 5$
$| 5x - 10 | = 2$

$| 3 + 5x | = 7$
$| 5 - 4x | = 7$
$| 7 - 4x | = 5x$
$| -7 + 4x | = -7x$

$| 3 + 8x | = 8 + 4x$
$| 5 - 9x | = 10 + 10x$

Inecuaciones Lineales

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real y de forma compresiva como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

$x + 6 < 5$
$x + 1 < 7$
$x - 2 > 4$
$x - 3 > 8$

$11 - x \geq 54$
$25 - x \geq 12$
$32 - x \leq 71$
$41 - x \leq 96$

$2x + 6 < 15$
$8x + 1 < 27$
$32 - 5x \leq -71$
$41 - 6x \leq -96$

$25 < x + 102 < 300$
$45 < x + 65 < 78$
$78 \geq x + 45 > -255$
$12 \geq x + 20 > -39$

$45 < -x + 10 \leq 50$
$10 < -x + 2 \leq 21$
$-78 \geq 2x + 45 \geq -255$
$-12 \geq 5x + 20 \geq -39$

$45 \leq 4 - 3x \leq 50$
$10 \leq 5 - 5x \leq 21$

Inecuaciones con Valor Abosluto

$|x + 3| < 8$
$|x + 2| < 4$
$|x - 7| > 1+x$
$|x - 6| > 5-x$

$|41 - x| \geq x+96$
$|32 - x| \geq x-71$
$|25 - x| \leq 12x+4$
$|11 - x| \leq 54x+3$

$|6x + 3| < 88+45x$
$|10x + 2| > 74+13x$
$|25 - 7x| \leq 12x-12$
$|11 - 8x| \geq 23x-54$

Inecuaciones de grado mayor que dos

Calcule los valores de $x$ que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real, de forma comprensiva y como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones. Factorice los polinomios utilizando el método que sea más adecuado.

$x \left(x + 9\right) > 0$
$\left(x - 5\right) \left(x - 1\right) \leq 0$
$x \left(x - 4\right) \left(x + 4\right) < 0$
$\left(x - 5\right) \left(x - 3\right) \left(x + 5\right) > 0$

$\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 5\right) > 0$
$\left(x - 2\right) \left(x + 7\right) \left(x + 9\right)^{2} \geq 0$
$x^{2} - 9 x < 0$
$x^{2} - 5 x + 4 > 0$

$x^{3} - x^{2} - 20 x < 0$
$x^{3} - 12 x^{2} - x + 252 \geq 0$
$x^{4} + x^{3} - 24 x^{2} + 36 x \geq 0$
$x^{4} - 11 x^{3} - x^{2} + 275 x - 600 \leq 0$

Aplicaciones a la Economía

Utilidad

Una charcutería produce carne de res para el cual el costo variable por unidad es de 14 Ps. y el costo fijo de 67782 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 92 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 66936 Ps.
Una panadería produce pan canilla para el cual el costo variable por unidad es de 29 Ps. y el costo fijo de 68046 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 43 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 50077 Ps.
Una Fábrica de Cerámica produce porcelanato para el cual el costo variable por unidad es de 19 Ps. y el costo fijo de 63023 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 63 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 83250 Ps.
Una confitería produce chupetas de cereza para el cual el costo variable por unidad es de 21 Ps. y el costo fijo de 98393 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 33 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 90355 Ps.

Precio

Una tienda de deportes produce zapatos para correr y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 11 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de deportes fijará el precio de cada unidad de zapatos para correr previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 2% durante una venta y aún obtener una ganancia de 68% sobre el costo?
Una compañía de telefónica produce teléfonos Android y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 19 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la compañía de telefónica fijará el precio de cada unidad de teléfonos Android previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 5% durante una venta y aún obtener una ganancia de 99% sobre el costo?
Una tienda de electrodomésticos produce licuadoras y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 36 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de electrodomésticos fijará el precio de cada unidad de licuadoras previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 27% durante una venta y aún obtener una ganancia de 78% sobre el costo?
Una confitería produce caramelos de anís y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 31 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la confitería fijará el precio de cada unidad de caramelos de anís previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 33% durante una venta y aún obtener una ganancia de 51% sobre el costo?

Inversión

Se invirtió un total de 14205 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 2%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 486 Ps.?
Se invirtió un total de 34120 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 9%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 321 Ps.?
Se invirtió un total de 28526 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 3% y 6%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 801 Ps.?
Se invirtió un total de 30472 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 6% y 1%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 155 Ps.?

Ejercicios Propuestos de Rectas

02.10.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Sean $P_1=(0,5)$ , $P_2=(-2,0)$ , $P_3=(5,1)$ , $P_4=(-6,2)$ , $P_5=(4,-8)$ , $P_6=(-1,-7)$ , $P_7=(1,9)$ y $P_8=(-6,-3)$ puntos del plano cartesiano.

Ecuación Punto-Pendiente

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por el punto indicado y tiene pendiente $m$ ; grafíquela.

$P_1$ y $m=2$ , llámela $l_1$ .
$P_2$ y $m=2$ , llámela $l_2$ .
$P_3$ y $m=2$ , llámela $l_3$ .
$P_4$ y $m=2$ , llámela $l_4$ .
$P_5$ y $m=-\frac{1}{2}$ , llámela $l_5$ .
$P_6$ y $m=-\frac{1}{2}$ , llámela $l_6$ .
$P_7$ y $m=-\frac{1}{2}$ , llámela $l_7$ .
$P_8$ y $m=-\frac{1}{2}$ , llámela $l_8$ .
$P_8$ y $m=3$ , llámela $l_9$ .
$P_7$ y $m=4$ , llámela $l_{10}$ .
$P_6$ y $m=5$ , llámela $l_{11}$ .
$P_5$ y $m=6$ , llámela $l_{12}$ .
$P_4$ y $m=-\frac{1}{9}$ , llámela $l_{13}$ .
$P_3$ y $m=-\frac{2}{8}$ , llámela $l_{14}$ .
$P_2$ y $m=-\frac{3}{7}$ , llámela $l_{15}$ .
$P_1$ y $m=-\frac{4}{6}$ , llámela $l_{16}$ .

Punto de Intersección

Basado en los resultados del ejercicio anterior. Verifique si las siguientes rectas son paralelas o no. En caso de intersectarse, verifique si son perpendiculares, calcule el punto de intersección y grafíquelo.

$l_1$ y $l_2$
$l_3$ y $l_4$
$l_5$ y $l_6$
$l_7$ y $l_8$
$l_9$ y $l_{10}$
$l_{11}$ y $l_{12}$
$l_{13}$ y $l_{14}$
$l_{15}$ y $l_{16}$
$l_1$ y $l_5$
$l_2$ y $l_6$
$l_3$ y $l_7$
$l_4$ y $l_8$
$l_9$ y $l_{13}$
$l_{10}$ y $l_{14}$
$l_{11}$ y $l_{15}$
$l_{12}$ y $l_{16}$

Paralelismo y Perpendicularidad

Basado en los resultados del ejercicio anterior. Calcule la ecuación general de la recta que cumple con las condiciones dadas y grafíquela.

Pasa por $P_1$ , es paralela a $l_5$
Pasa por $P_2$ , es paralela a $l_6$
Pasa por $P_3$ , es paralela a $l_7$
Pasa por $P_4$ , es paralela a $l_8$
Pasa por $P_5$ , es paralela a $l_9$
Pasa por $P_6$ , es paralela a $l_{10}$
Pasa por $P_7$ , es paralela a $l_{11}$
Pasa por $P_8$ , es paralela a $l_{12}$
Pasa por $P_1$ , es perpendicular a $l_{13}$
Pasa por $P_2$ , es perpendicular a $l_{14}$
Pasa por $P_3$ , es perpendicular a $l_{15}$
Pasa por $P_4$ , es perpendicular a $l_{16}$
Pasa por $P_5$ , es perpendicular a $l_{1}$
Pasa por $P_6$ , es perpendicular a $l_{2}$
Pasa por $P_7$ , es perpendicular a $l_{3}$
Pasa por $P_8$ , es perpendicular a $l_{4}$

Ecuación Punto-Punto

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los siguientes puntos y grafíquela.

$P_1$ y $P_2$ , llámela $l_1$ .
$P_2$ y $P_3$ , llámela $l_2$ .
$P_3$ y $P_4$ , llámela $l_3$ .
$P_4$ y $P_5$ , llámela $l_4$ .
$P_5$ y $P_6$ , llámela $l_5$ .
$P_6$ y $P_7$ , llámela $l_6$ .
$P_8$ y $P_9$ , llámela $l_7$ .
$P_9$ y $P_{10}$ , llámela $l_8$ .
$P_1$ y $P_3$ , llámela $l_9$ .
$P_2$ y $P_4$ , llámela $l_{10}$ .
$P_5$ y $P_7$ , llámela $l_{11}$ .
$P_6$ y $P_8$ , llámela $l_{12}$ .
$P_1$ y $P_5$ , llámela $l_{13}$ .
$P_2$ y $P_6$ , llámela $l_{14}$ .
$P_3$ y $P_7$ , llámela $l_{15}$ .
$P_4$ y $P_8$ , llámela $l_{16}$ .

Punto de Intersección

$l_1$ y $l_2$
$l_3$ y $l_4$
$l_5$ y $l_6$
$l_7$ y $l_8$
$l_9$ y $l_{10}$
$l_{11}$ y $l_{12}$
$l_{13}$ y $l_{14}$
$l_{15}$ y $l_{16}$
$l_1$ y $l_3$
$l_2$ y $l_4$
$l_5$ y $l_7$
$l_6$ y $l_8$
$l_9$ y $l_{11}$
$l_{10}$ y $l_{12}$
$l_{13}$ y $l_{15}$
$l_{14}$ y $l_{16}$

Expresión lineal compuesta con una ecuación diferencial

02.10.202015.05.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Forma General
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1

Al observar la forma en que está definida una ecuación diferencial, puede resultar útil identificar los elementos que la componen. Veremos en esta ocasión, el caso en que podemos identificar una expresión lineal que compone la ecuación diferencial.

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Forma General

Veremos que recurriendo a una variable auxiliar, es posible reducir la ecuación diferencial a una ecuación de variables separables. Formalmente, si $A$ , $B$ y $C$ son números reales con $B \neq 0$ , consideraremos ecuaciones diferenciales de la forma

$\frac{dy}{dx} = f(Ax + By + C)$

Y para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, recurrimos a la variable auxiliar $u = Ax + By + C$ . Veamos entonces con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$\frac{dy}{dx} = (7x + y + 2)^2 - 11$

Podemos notar que la expresión $7x + y + 2$ compone a esta ecuación. Entonces, definimos la variable auxiliar que utilizaremos, calculamos $\frac{du}{dx}$ y posteriormente, despejamos $\frac{dy}{dx}$

$u=7x + y + 2 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 7 + \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 7$

De esta forma, al sustituirlas en nuestra ecuación diferencial, obtenemos que

$\frac{du}{dx} - 7 = u^2 - 11$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} - 7 = u^2 - 11$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} = u^2 - 4$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} = (u-2)(u+2)$

Esta última igualdad representa una ecuación diferencial de variables separables, así que procedemos a separar las variables.

$\frac{du}{dx} = (u-2)(u+2)$

$\Rightarrow \frac{du}{(u-2)(u+2)} = dx$

Una vez separadas las variables, integramos en ambos lados de la ecuación.

$\Rightarrow \int \frac{du}{(u-2)(u+2)} = \int dx$

$\Rightarrow \frac{1}{4} \ln(u-2) - \frac{1}{4} \ln(u+2) = x + C$

Ya que hemos calculado las integrales, debemos despejar al variable $u$ .

$\Rightarrow \frac{1}{4} \left( \ln(u-2) - \ln(u+2) \right) = x + C$

$\Rightarrow \frac{1}{4} \ln \left(\frac{u-2}{u+2} \right) = x + C$

$\Rightarrow \ln \left(\frac{u-2}{u+2} \right) = 4x + C$

$\Rightarrow \frac{u-2}{u+2} = C \textit{\Large e}^{4x}$

$\Rightarrow u-2 = C \textit{\Large e}^{4x}(u+2)$

$\Rightarrow u-2 = C \textit{\Large e}^{4x}u+2C \textit{\Large e}^{4x}$

$\Rightarrow u- C \textit{\Large e}^{4x}u = 2+2C \textit{\Large e}^{4x}$

$\Rightarrow u \left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right) = 2 (C \textit{\Large e}^{4x} + 1)$

$\Rightarrow u = \frac{2 \left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)}$

Finalmente, sustituimos la variable auxiliar $u$ y despejamos la variable $y$ .

$u = 2 \frac{\left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)}$

$\Rightarrow 7x + y + 2 = 2\frac{\left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right) }$

$\Rightarrow y = 2\frac{\left((1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left(1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)} -7x - 2$

Ecuaciones de Bernoulli

29.09.202008.10.2024 Anthonny Arias-García7 comentarios

Forma General de una Ecuación de Bernoulli
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1

Hemos visto que una ecuación expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no-homogénea y la solución de este tipo de ecuaciones se puede calcular usando el factor integrante.

También podemos notar que si la ecuación diferencial está expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y$ , se puede reescribir como una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea $\frac{dy}{dx} + \big( P(x) - f(x) \big) y= 0$ y en consecuencia se puede calcular su solución separando las variables.

Veamos a continuación, que este tipo de ecuaciones diferenciales se puede generalizar con el fin de desarrollar un método que nos permita calcular la solución.

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Forma General de una Ecuación de Bernoulli

Para cualquier número natural $n$ , diremos que una Ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal expresada de la siguiente forma

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y^n$

Los casos para los cuales $n=0$ y $n=1$ fueron los nombrados en la introducción de esta sección. Así que veremos a continuación, el caso en el que $n \geq 2$ . Podemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando recurriendo a la variable auxiliar

$u=y^{1-n}$

De esta forma reducimos la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea. Veamos con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$3x\frac{dy}{dx} + 6y = 12xy^2$

Lo primero que debemos hacer es estandarizar la ecuación diferencial y para esto dividimos cada uno de los sumandos involucrados por $3x$ para obtener

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

Una vez estandarizada la ecuación diferencial, recurrimos a la variable auxiliar $u=y^{1-n}$ que en este caso, $n=2$ , por lo tango estará expresada como $u=y^{-1}$ de donde podemos despejar $y$ elevando a $-1$ y de forma general, para hacer este despeje, se eleva a $\frac{1}{1-n}$ ambos lados de la ecuación para obtener que

$y=u^{-1}$

Será necesario calcular el diferencial de $y$ , así que usando la regla de la cadena concluimos que

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2} \frac{du}{dx}$

Entonces, sustituimos $y$ y $\frac{dy}{dx}$ en la ecuación diferencial

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

$\; \Rightarrow \; \left( -u^{-2} \frac{du}{dx} \right) + \frac{2}{x} \left( u^{-1} \right) = 4 \left( u^{-1} \right)^2$

$\; \Rightarrow \; -u^{-2} \frac{du}{dx} + \frac{2}{x}u^{-1} = 4u^{-2}$

Posteriormente, estandarizamos esta nueva expresión dividiendo cada uno de los sumandos por $-u^{-2}$ y así, reescribimos la nueva ecuación como una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4$

Identificamos la función $P(x)$ que nos permite calcular el factor integrante de la siguiente manera

$P(x) = - \frac{2}{x} \Rightarrow \rho(x) = \textit{\Large e}^{\int - \frac{2}{x}} = x^{-2}$

Entonces, calculamos la solución de la ecuación diferencial

$\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4$

$\; \Rightarrow \; x^{-2}\frac{du}{dx} - x^{-2}\frac{2}{x}u = -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; \frac{x^{-2} u}{dx} = -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; \int \frac{x^{-2} u}{dx} = \int -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; x^{-2} u = \frac{4}{x} + C$

$\; \Rightarrow \; u = 4x + Cx^2$

Finalmente, ya que hemos expresado la variable auxiliar $u$ en función de $x$ , volvemos a sustituirla para obtener $y$

$y^{-1} = 4x + Cx^2 \Rightarrow y = \frac{1}{4x + Cx^2}$

Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

24.09.202012.05.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Funciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Las ecuaciones diferenciales que veremos a continuación se pueden reescribir como ecuaciones diferenciales de variables separables luego de recurrir a una variable auxiliar, sin embargo, debemos verificar primero que cumplan con una condición. Definamos entonces los elementos que determinarán el criterio para poder calcular su solución.

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Decimos que una función $f(x,y)$ es una función homogénea de grado $\alpha$ si para algún número real $\alpha$ se satisface las siguiente igualdad:

$f(t \cdot x,t \cdot y)=t^{\alpha} \cdot f(x,y)$

Veamos algunos ejemplos de este tipo de funciones para entender esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 1

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = x^2 - y^2$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; (tx)^2 - (ty)^2$
$\; = \; t^2x^2 - t^2y^2$
$\; = \; t^2(x^2 - y^2)$
$\; = \; t^2 f(x,y)$

En este caso, decimos que la función $f$ es una función homogénea de grado $2$ .

Ejemplo 2

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = x^2 + xy$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; (tx)^2 + (tx)(ty)$
$\; = \; t^2x^2 + t^2xy$
$\; = \; t^2(x^2 + xy)$
$\; = \; t^2 f(x,y)$

En este caso, decimos que la función $f$ es una función homogénea de grado $2$ .

Ejemplo 3

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = 4 x^2y^5 - 9x^4y^3$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; 4 (tx)^2(ty)^5 - 9(tx)^4(ty)^3$
$\; = \; 4(t^2x^2)(t^5y^5) - 9(t^4x^4)(t^3y^3)$
$\; = \; 4t^7x^2y^5 - 9t^7x^4y^3$
$\; = \; t^7(4x^2y^5 - 9x^4y^3)$
$\; = \; t^7 f(x,y)$

En este caso, decimos que la función $f$ es una función homogénea de grado $7$ .

Ejemplo 4

Verifique si la función que se presenta a continuación es una función homogénea de grado $\alpha$ :

$f(x,y) = 6 xy^3 + 5x^4 + 17$

Para esto, evaluamos la función $f$ en el punto $(tx,ty)$ y manipulamos algebraicamente con el fin de sacar la forma $t^{\alpha}$ como un factor común.

$f(tx,ty)$

$\; = \; 6 (tx)(ty)^3 + 5(tx)^4 + 17$
$\; = \; 6 (tx)(t^3y^3) + 5(t^4x^4) + 17$
$\; = \; 6 t^4xy^3 + 5 t^4x^4 + 17$

En este caso, no es posible sacar $t^4$ como un factor común y en consecuencia, la función $f$ no se puede expresar de la forma $t^{\alpha} f(x,y)$ , por lo tango, no es una función homogénea de grado $\alpha$ .

Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Al considerar la ecuación diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ , hemos podido clasificar algunas ecuaciones de esta forma como Ecuaciones Exactas y aunque hemos encontrado otras no exactas, se han podido reducir a ecuaciones exactas, sin embargo, no siempre podemos aplicar ese método establecido en estos casos.

Entonces, debemos establecer una nueva forma de clasificar este tipo de ecuaciones. Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial expresada de la siguiente forma:

$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$

Decimos que esta es una ecuación homogénea de grado $\alpha$ si las funciones $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones de homogéneas de grado $\alpha$ .

Si $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria homogénea de grado $\alpha$ , será posible reducir esta ecuación a una ecuación diferencial homogénea de variables separables recurriendo a una de las siguientes variables auxiliares para efectuar una sustitución de variable

$u=\frac{y}{x} \ \text{ o } \ v=\frac{x}{y}$

Notando que podemos reescribir estas dos expresiones respectivamente de la siguiente forma:

$y = ux \ \text{ o } \ x = vy$

Veamos entonces con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$(x^2-2y^2)dx + (2x^2+3xy)dy = 0$

Debemos recurrir a una sustitución de variable para reducirla a una ecuación diferencial de variables separables, pero antes es necesario verificar que las funciones $M(x,y) = (x^2-2y^2)$ y $N(x,y) = (2x^2+3xy)$ son ambas funciones homogéneas de grado $\alpha$ .

$M(tx,ty)$

$\; = \; (tx)^2-2(ty)^2$
$\; = \; t^2x^2-2t^2y^2$
$\; = \; t^2(x^2-2y^2)$
$\; = \; t^2 M(x,y)$

$N(tx,ty)$

$\; = \; 2(tx)^2+3(tx)(ty)$
$\; = \; 2t^2x^2+3t^2xy$
$\; = \; t^2(2x^2+3xy)$
$\; = \; t^2 N(x,y)$

Habiendo verificado que $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son ambas funciones homogéneas de grado $2$ , podemos recurrir a la siguiente variable auxiliar

$u=\frac{y}{x} \Rightarrow y=ux$

De esta forma, podemos sustituirla en nuestra ecuación diferencial. Notemos también, que si queremos hacer esta sustitución, debemos calcular el diferencial $dy$

$dy = udx + xdu$

Entonces, sustituimos los elementos $y$ y $dy$ en la ecuación diferencial.

$(x^2-2y^2)dx + (2x^2+3xy)dy = 0$

$\Rightarrow \big( x^2-2(ux)^2 \big)dx + \big( 2x^2+3x(ux) \big)( udx + xdu) = 0$

Una vez que hemos hecho la sustitución de las variables, manipulamos algebraicamente las expresiones que definen la ecuación diferencial con el fin de separar las variables.

$( x^2-2u^2x^2 )dx + ( 2x^2+3x^2u)( udx + xdu) = 0$

$\; \Rightarrow \; ( x^2-2u^2x^2 )dx + ( 2x^2+3x^2u )udx + \big( 2x^2+3x^2u \big)xdu = 0$

$\; \Rightarrow \; ( x^2-2u^2x^2 )dx + ( 2x^2u+3x^2u^2 )dx + ( 2x^3+3x^3u )du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( x^2-2u^2x^2 + 2x^2u+3x^2u^2 )dx + (2+3u ) x^3 du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( 1 -2u^2 + 2u + 3u^2 ) x^2 dx + (2+3u ) x^3 du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( 1 + 2u + u^2 ) x^2 dx + (2+3u ) x^3 du = 0$

$\; \Rightarrow \; ( 1 + 2u + u^2 ) x^2 dx = - (2+3u ) x^3 du$

$\; \Rightarrow \; \frac{x^2}{x^3}dx = -\frac{(2+3u )}{( 1 + 2u + u^2 )} du$

$\; \Rightarrow \; \frac{1}{x}dx = -\frac{(2+3u )}{( 1 + u )^2} du$

Ya que las variables están separadas, procedemos a calcular las respectivas integrales notando que la integral del lado derecho, es decir, $-\frac{(2+3u )}{( 1 + u )^2}$ ; debe calcularse usando el método de las fracciones simples. Entonces,

$\int -\frac{(2+3u )}{( 1 + u )^2} du = \int \frac{1}{x}dx$

$\; \Rightarrow \; -\frac{1}{1+u} - 3\ln(1+u) = ln(x) + c$

$\; \Rightarrow \; \frac{1}{1+u} + 3\ln(1+u) + ln(x) = c$

Finalmente, sustituimos la variable $u$ y obtenemos la solución general de la ecuación diferencial que viene expresada de forma implícita como

$\frac{1}{1+\frac{y}{x}} + 3\ln \left(1+\frac{y}{x} \right) + \ln(x) = c$

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