Indeterminación infinito menos infinito ∞-∞

02.02.202007.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando $x$ tiende al infinito, entonces el límite de la resta entre estas dos funciones presenta una indeterminación. Para entender como determinar este tipo de límites debemos considerar el grado de las funciones involucradas pues el crecimiento de la función de mayor grado predominará sobre el crecimiento de las funciones de menor grado en el infinito, de esta forma determinamos este tipo de límite de la siguiente manera

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} x^2 - x = \infty - \infty$ , este presenta una indeterminación pero al ser $2$ el mayor grado, entonces tenemos que

$\lim_{x \to \infty} x^2 - x = \infty$

Ejemplo 2

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} 6\sqrt[3]{x+1} - 7x^5 + 6 = \infty - \infty$ , este presenta una indeterminación pero al ser $5$ el mayor grado, entonces tenemos que

$\lim_{x \to \infty} 6\sqrt[3]{x+1} - 7x^5 + 6 = -\infty$

Ejemplo 3

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^7 - 3} - \ln(x) + 9 = \infty - \infty$ , este presenta una indeterminación pero al ser $\frac{7}{5}$ el mayor grado, entonces tenemos que

$\lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x^7 - 3} - \ln(x) + 9 = \infty$

Ejemplo 4

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^x - 8x^{20} - 15 = \infty - \infty$ , este presenta una indeterminación pero al ser función exponencial de mayor grado, entonces tenemos que

$\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^x - 8x^{20} - 15 = \infty$

Ejemplo 5

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x} - x^3 - 3 = \infty - \infty$ , este presenta una indeterminación pero al ser $3$ el mayor grado, entonces tenemos que

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 + 1}{x} - x^2 - 3 = -\infty$

Estos ejemplos no presentan mayor dificultad para determinarlos debido a que la diferencia entre los grados es clara, así que consideraremos otros ejemplos en los que el grado de las funciones es el mismo. Veamos cuales son las técnicas para determinarlos.

Límite que involucra una función radical

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = \infty - \infty$ , este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos notar que el \emph{conflicto} es generado por la resta entre cada elemento de la función. Consideremos el conjugado de esta expresión $\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)$ para multiplicar y dividir por la función, entonces

$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} \right) \cdot \frac{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}$

Al multiplicar la expresión $\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)$ por su conjugado obtenemos una diferencia de cuadrados, así que el límite se reescribe de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt{x-1} \right)^2 - \left( \sqrt{x+1} \right)^2}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}$

Posteriormente simplificamos y efectuamos las operaciones en el numerador para obtener

$\lim_{x \to \infty} \frac{\left( x-1 \right) - \left( x+1 \right)}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\left( \sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} \right)}$

Una vez que evaluamos el límite tenemos que

$\frac{-2}{\infty + \infty} = \frac{-2}{\infty} = 0$

Por lo tanto, concluimos que $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = 0$

Límite que involucra una función exponencial

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x+7} - \text{\large e}^{2x-3} = \infty - \infty$ , este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos recurrir a las propiedades de las potencias y notar que $\text{\large e}^{5x+7} = \text{\large e}^{5x} \cdot \text{\large e}^{7}$ y $\text{\large e}^{2x-3} = \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3}$ , de esta el límite será igual a

$\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3}$

Notando además, que $\text{\large e}^{5x} = \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{3x}$ , obtenemos

$\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{3x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{2x} \cdot \text{\large e}^{-3} = \lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{2x} \cdot \left( \text{\large e}^{3x} \cdot \text{\large e}^{7} - \text{\large e}^{-3} \right)$

Por lo tanto, al evaluar el límite tenemos que

$\lim_{x \to \infty} \infty \cdot \infty = \infty$

Por lo tanto, concluimos que $\lim_{x \to \infty} \text{\large e}^{5x+7} - \text{\large e}^{2x-3} = \infty$

Límite que involucra una función logarítmica

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \ln(15x-9) - \ln(3x+4) = \infty - \infty$ , este límite presenta una indeterminación. Para determinar este tipo de límites, debemos recurrir a las propiedades de los logaritmos y notar que $\ln(a) - \ln(b) = \ln \left( \frac{a}{b} \right)$ , de esta el límite será igual a

$\lim_{x \to \infty} \ln \left( \frac{15x-9}{3x+4} \right)$

Si nos fijamos que el cociente que está dentro de logaritmo es un cociente de polinomios del mismo grado, entonces su límite será igual a la división entre sus coeficientes principales, de esta forma, el límite de este cociente es igual $\frac{15}{3} = 5$ , por lo tanto concluimos que

$\lim_{x \to \infty} \ln(15x-9) - \ln(3x+4) = \ln(5)$

Indeterminación Infinito sobre Infinito ∞/∞ (2 de 2)

01.02.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Vimos que al considerar el cociente entre polinomios cuando la variable $x$ tiende infinito, se puede determinar el límite considerando el grado de los polinomios. Esta situación se puede generalizar para cualquier cociente entre funciones considerando el grado de ambas funciones. Veamos entonces con los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.

También pudiera interesarte

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es igual a $\frac{1}{2}$ y el grado del denominador es igual a $1$ entonces

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{x+1} = 0$

Ejemplo 2

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{\text{\large e}^x + x^2 + 5}{2x^7 + 3x^5 + x} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es exponencial y el grado del denominador es igual a $7$ entonces

$\lim_{x \to \infty} \frac{\text{\large e}^x + x^2 + 5}{2x^7 + 3x^5 + x} = \infty$

Ejemplo 3

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{x + 100}{\ln(x) + 20} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado de la función en el numerador es igual a 1 y el grado del denominador es logarítmico entonces

$\lim_{x \to \infty} \frac{x + 100}{\ln(x) + 20} = \infty$

Anuncios

¿Y si el grado es el mismo?

Si bien estos ejemplos no presentan mayor complicación para determinarlos debido a que la diferencia entre los grados es clara, vale la pena considerar otros ejemplos en los que el grado de las funciones es el mismo. La técnica no será muy distinta a la que usamos para determinar los límites de cocientes entre polinomios pues dividiremos siempre el numerador y el denominador por la función elemental de mayor grado involucrada en el límite.

Límite que involucra una función radical

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{3x-25} + 8} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es $\frac{1}{2}$ , entonces dividimos el numerador y el denominador por $\sqrt{x}$

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{4x-25} + 8}{\sqrt{x}}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\sqrt{9x+5}}{\sqrt{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{4x-25}}{\sqrt{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}$

Notamos además, que podemos combinar las raíces cuadradas de la siguiente manera

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\frac{9x+5}{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\sqrt{\frac{4x-25}{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas de la misma forma que las hemos simplificado anteriormente, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9+\frac{5}{x}} - \frac{7}{\sqrt{x}}}{\sqrt{4-\frac{25}{x}} + \frac{8}{\sqrt{x}}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de las expresiones involucradas, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{x} = 0$ y $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{\sqrt{x}} = 0$ (con $a \neq 0$ ), así el límite será igual a

$\dfrac{\sqrt{9+0} - 0}{\sqrt{4-0} + 0} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \dfrac{3}{2}$

Por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x+5} - 7}{\sqrt{3x-25} + 8} = \frac{3}{2}$

Anuncios

Al considerar funciones algebraicas es más intuitiva la simplificación de las expresiones, sin embargo, al considerar funciones trascendentales esta simplificación no es tan obvia, es por eso que en los siguientes ejemplos veremos algunos casos donde podemos determinar los límites de forma intuitiva.

Límite que involucra una función exponencial

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{5\text{\large e}^x + x^2-7} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es exponencial, entonces dividimos el numerador y el denominador por $\text{\large e}^x$

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{\text{\large e}^x}}{\frac{5\text{\large e}^x + x^2-7}{\text{\large e}^x}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 10\frac{\text{\large e}^x}{\text{\large e}^x} + \frac{3x}{\text{\large e}^x} + \frac{2}{\text{\large e}^x}}{5 \frac{\text{\large e}^x}{\text{\large e}^x} + \frac{x^2}{\text{\large e}^x}-\frac{7}{\text{\large e}^x}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 10 + 3\frac{x}{\text{\large e}^x} + \frac{2}{\text{\large e}^x}}{5 + \frac{x^2}{\text{\large e}^x}-\frac{7}{\text{\large e}^x}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{\text{\large e}^x} = 0$ (con $a \neq 0$ ), $\frac{x}{\text{\large e}^x} = 0$ y $\frac{x^2}{\text{\large e}^x} = 0$ , así el límite será igual a

$\frac{10 + 0 + 0}{5 + 0 - 0} = \frac{10}{5} = 2$

Por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{10 \text{\large e}^x + 3x + 2}{5\text{\large e}^x + x^2-7} = 2$

Anuncios

Límite que involucra una función logarítmica

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{14 \ln(x) + 3}{5\ln(x) - 25} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que el grado en ambos miembros de la fracción es exponencial, entonces dividimos el numerador y el denominador por $\ln(x)$

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{14 \ln(x) + 3}{\ln(x)}}{\frac{5\ln(x) - 25}{\ln(x)}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 14\frac{\ln(x)}{\ln(x)} + \frac{3}{\ln(x)}}{5 \frac{\ln(x)}{\ln(x)} - \frac{25}{\ln(x)}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{ 14 + \frac{3}{\ln(x)}}{5 - \frac{25}{\ln(x)}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{\ln(x)} = 0$ (con $a \neq 0$ ), así el límite será igual a

$\frac{14 + 0}{5 - 0} = \frac{14}{5}$

Por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{14 \ln(x) + 3}{5\ln(x) - 25} = \frac{14}{5}$

Indeterminación Infinito sobre Infinito ∞/∞ (1 de 2)

31.01.202006.02.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

La Indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando $x$ tiende al infinito, entonces el límite de la división entre estas dos funciones presenta una indeterminación

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}$

Consideremos de forma particular en el que $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones polinomiales que tienden a infinito cuando $x$ tiende a infinito. El método para determinar este tipo de límites consiste en dividir por $x^n$ en el numerador y en el denominador, donde $n$ es el mayor grado involucrado en el límite. Veamos con algunos ejemplos como desarrollar este método.

También pudiera interesarte

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que $2$ es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por $x^2$ .

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2 - 1}{x^2}}{\frac{2x + 1}{x^2}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\infty} = 0$ , $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = \frac{2}{\infty} = 0$ , así el límite será igual a

$\frac{1 - 0}{0 + 0} = \frac{1}{0} = \infty$

Donde la fracción $\frac{1}{0}$ servirá como indicador de que el numerador crece con mayor velocidad que el denominador, por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x + 1} = \infty$ .

Ejemplo 2

\item Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que $3$ es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por $x^3$ .

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3 - x + 4}{x^3}}{\frac{4x^3 + 6x^2 +10}{x^3}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{4}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3} + \frac{6x^2}{x^3} + \frac{10}{x^3}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{4 + \frac{6}{x} + \frac{10}{x^3}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0$ , así el límite será igual a

$\dfrac{1 - 0 + 0}{4 + 0 + 0} = \dfrac{1}{4}$

Por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x + 4}{4x^3 + 6x^2 +10} = \frac{1}{4}$ .

Ejemplo 3

Si consideramos $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = \frac{\infty}{\infty}$ , este límite presenta una indeterminación pero considerando que $4$ es el mayor grado involucrado en el límite, entonces dividimos en el numerador y en el denominador por $x^3$ .

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2 - 2x - 7}{x^4}}{\frac{12x^4 - 9x^2 + 2}{x^4}}$

Una vez que hemos dividido, separamos la suma en los numeradores de cada fracción de la siguiente forma

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^2}{x^4} - \frac{2x}{x^4} - \frac{7}{x^4}}{\frac{12x^4}{x^4} - \frac{9x^2}{x^4} + \frac{2}{x^4}}$

Simplificamos entonces cada una de las fracciones generadas, para obtener

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^3} - \frac{7}{x^4} }{12 - \frac{9}{x^2} + \frac{2}{x^4}}$

Calculamos entonces el límite de cada uno de los sumandos involucrados, teniendo en cuenta que $\lim_{x \to \infty} \frac{a}{\infty} = 0$ , así el límite será igual a

$\dfrac{0 - 0 - 0}{12 + 0 + 0} = \dfrac{0}{12} = 0$

Donde la fracción $\frac{0}{12}$ servirá como indicador de que el denominador crece con mayor velocidad que el numerador, por lo tanto concluimos que $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x - 7}{4x^4 - 9x^2 + 2} = 0$ .

Anuncios

La regla general

Considerando estos tres últimos ejemplos, podemos notar que si consideramos dos polinomios que están definidos de la siguiente forma:

$P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$
$Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$

Entonces, el límite de la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ cuando $x$ tiende a infinito estará determinado de la siguiente forma:

Será igual a $\infty$ si $m>n$ .
Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el numerador crece con mayor velocidad.
Será igual a $\frac{a_m}{b_n}$ si $m=n$ .
Esto quiere decir que el grado del polinomio en el numerador es igual que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto ambos crecen a la misma velocidad.
Será igual a $0$ si $m<n$ .
Esto quiere decir que el grado del polinomio en el denominador es mayor que el grado del polinomio en el numerador, por lo tanto el denominador crece con mayor velocidad.

Grado de una función

27.01.202008.04.2023 Anthonny Arias-García4 comentarios

El grado de un polinomio

Habiendo definido los polinomios, es posible definir funciones a partir de ellos. Formalmente, definimos una función polinómica como una función $P: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ de la siguiente forma:

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

A los números $a_0, a_1, a_2, \ldots , a_n$ los llamaremos coeficientes del polinomio, $a_n$ será el coeficiente principal y $a_0$ será el término independiente.

Definimos el grado de la función polinómica $P(x)$ como el mayor exponente $n$ involucrado. En algunos textos se denota con la expresión $gr(P)$ , $d(P)$ ó $deg(P)$ .

La importancia del grado del polinomio radica en que éste determina la velocidad con la que crecerá a medida que crece la variable $x$ y aunque aún no tenemos las herramientas para graficar otro tipo de funciones que no sean elementales, podemos anunciar que las formas gráficas de los polinomios también variarán dependiendo de su grado, consideremos las siguientes funciones:

También pudiera interesarte

El grado de una función algebraicas

La idea del grado de un polinomio se puede generalizar a cualquier tipo de funciones algebraicas. Particularmente, si consideramos las funciones que involucran radicales como la función raíz cuadrada o raíz cúbica, diremos que el grado vendrá dado el índice de la raíz. Si consideramos una función de la forma

$f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Entonces, diremos que su grado es $\frac{1}{n}$ . Más aún, si $P(x)$ es una función algebraica de grado $m$ entonces si consideramos la función

$f(x) = \sqrt[n]{P(x)}$

Entonces el grado de la función $f(x)$ es igual a $\frac{m}{n}$ .

Si te ha parecido útil la información que hemos presentado en totumat y quieres ayudar a mantener este sitio en línea puedes mirar nuestros anuncios publicitarios o donar dinero a través de PayPal.

El grado de una función trascendente

Al considerar funciones transcendentales, particularmente la función exponencial y la función logarítmica, estas tendrán un comportamiento muy específico respecto a las funciones algebraicas:

El grado de la función exponencial será mayor que el grado de cualquier función algebraica, es decir, crecerá más rápido que cualquier función algebraica. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado infinito, diremos que tiene grado exponencial.

El grado de la función logarítmica será menor que el grado de cualquier función de grado positivo, es decir, crecerá más lento que cualquier función algebraica de grado positivo. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado cero, diremos que tiene grado logarítmico.

El siguiente gráfico permite ilustrar la rapidez con la que crece una función dependiendo de su grado:

El grado de operaciones entre funciones

Es posible definir el grado de operaciones básicas entre funciones tomando las siguientes consideraciones:

El grado de la suma de dos funciones será el grado de la función con mayor grado. Formalmente, al considerar $P(x)$ una función algebraica de grado $m$ y $Q(x)$ una función algebraica de grado $n$ , con $m>n$ , entonces el grado de $f(x) \pm g(x)$ es igual a $m$ .

El grado del producto de dos funciones será la suma de los grados. Formalmente, al considerar $P(x)$ una función algebraica de grado $m$ y $Q(x)$ una función algebraica de grado $n$ , entonces el grado de $f(x) \cdot g(x)$ es igual a $m + n$ .

El grado del cociente entre dos funciones será la resta del grado de la función en el numerador menos el grado de la función en el denominador. Formalmente, al considerar $f(x)$ una función de grado $m$ y $g(x) \neq 0$ una función de grado $n$ , entonces el grado de $\frac{f(x)}{g(x)}$ es igual a $m - n$ .

Veamos con algunos ejemplos como determinar el grado de algunas funciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

El grado de la función $f(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 1$ es igual a $3$ pues el mayor grado involucrado.

Ejemplo 2

El grado de la función $f(x) = \sqrt{x} + x - 8$ es igual a $1$ pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 3

El grado de la función $f(x) = \sqrt{x^3 + 2} - 3x - 8$ es igual a $\frac{3}{2}$ pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 4

El grado de la función $f(x) = \frac{x}{3} + 6\ln(x)$ es igual a $1$ pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 5

El grado de la función $f(x) = x^5 \cdot \sqrt[3]{x-7} + 9$ es igual a $\frac{8}{3}$ pues es la suma de los grados $5 + \frac{1}{3}$

Ejemplo 6

El grado de la función $f(x) = 2\text{\large e}^x \cdot x + x^2 -11$ es exponencial pues al multiplicar cualquier función por la función exponencial, su grado sigue siendo exponencial.

Ejemplo 7

El grado de la función $f(x) = \frac{x + 1}{x^3 - 2} + 13$ es $-2$ pues es la resta de los grados $1-3$

Ejemplo 8

El grado de la función $f(x) = \frac{7}{x} + 9\ln(x)$ es logarítmico pues el grado de la primera función es $-1$ y el grado logarítmico es mayor que cualquier grado negativo.

¿Cuál es el resultado de 8÷2(2+2)?

25.01.202007.12.2022 Anthonny Arias-García3 comentarios

En el 2019 se viralizó un debate sobre cual es el resultado de la operación 8÷2(2+2), pensé que había quedado en el olvido y que ya se había aclarado la situación. Sin embargo, me preguntaron cual era el resultado de esta operación citándome en un tweet y, aún hoy, las personas que respondían no se decidían entre 1 y 16.

Es necesario entender que al considerar operaciones mixtas, hay una jerarquía establecida entre las operaciones. Primero se deben efectuar todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último todas las restas. También hay que considerar que si se presentan signos de agrupación hay que efectuar primero lo contenido entre paréntesis (), luego corchetes [] y luego llaves {}; hay que efectuar las operaciones que se encuentran dentro de ellos considerando la jerarquía original.

Anuncios

¿Las calculadoras mienten?

Al calcular esta operación en una calculadora, los resultados diferirán dependiendo de como han sido programadas pues algunas han sido programadas para priorizar la jerarquía entre las operaciones y otras han sido programadas para priorizar el orden de aparición de las operaciones.

Anuncios

Escribir bien…

En mi opinión, el problema con ese caso específico es que la persona que lo planteó originalmente no tiene la más mínima de cómo se usan los signos de agrupación pues cuando se plantean operaciones entre números, éstas siempre provienen de un caso real, así que ese tipo de problemas siempre estarán bien planteados si se escriben correctamente. La ambigüedad en las matemáticas no debe tener cabida.

Esa operación tal como está definida es como plantear una pregunta sin signos de interrogación, comas, puntos o acentos .

Anuncios

¿Cómo plantear el problema?

Caso 1

Supongamos que usted trabaja para una agencia de festejos y en una fiesta le ha correspondido repartir ocho trozos de torta entre un par de niños, esta situación se describe con la operación 8÷2. Suponga además que usted debe hacer esto dos veces más, entonces esta situación la describe con la siguiente operación (8÷2)×2. Si nuevamente le indican qué debe hacer esto dos veces más, entonces al final usted describirá esto con la siguiente operación

(8÷2)×(2+2)
= 4×4
= 16

Esto quiere decir que al final deberá repartir 16 trozos de torta.

Caso 2

Suponga nuevamente que usted trabaja en una agencia de festejos y en una fiesta le ha correspondido repartir ocho trozos de torta entre un par de niños, esta situación se describe con la operación 8÷2. Sin embargo, le indican que ahora no es un par de niños si no que son dos pares de niños, esta situación se describe con la operación 8÷(2×2). Por último, le indican que han llegado dos pares de niños más, entonces al final usted describirá esto con la siguiente operación

8÷[2×(2+2)]
= 8÷[2×4]
= 8÷8
= 1

Esto quiere decir que al final deberá repartir un pedazo de torta a cada niño.

En conclusión…

Considerando estos dos casos, notamos que cada uno tiene su propio planteamiento e interpretación. Siempre especificando cuales operaciones se han agrupado y siempre especificando qué operaciones se deben efectuar primero. Sin embargo, el problema original se resume en el siguiente tweet:

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Límite que involucra una función radical

Límite que involucra una función exponencial

Límite que involucra una función logarítmica

Comparte

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

¿Y si el grado es el mismo?

Límite que involucra una función radical

Límite que involucra una función exponencial

Límite que involucra una función logarítmica

Comparte

La Indeterminación

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

La regla general

Comparte

El grado de un polinomio

El grado de una función algebraicas

El grado de una función trascendente

El grado de operaciones entre funciones

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Comparte

¿Las calculadoras mienten?

Escribir bien…

¿Cómo plantear el problema?

Caso 1

Caso 2

En conclusión…

Comparte

La Indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$