Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables

05.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de separación de variables. Halle además, la función que satisface el valor inicial, donde corresponda.

$y'- y = 0$
$y' + 4y = 0$
$3y' - x = 0$
$2y' + 7x = 0$ ; $y(0)=1$

$y' - xy = 0$
$7y' + x^2y = 0$
$y' - 5xy^2 = 0$
$10y' + 3x^2y^2 = 0$ ; $y(1)=0$

$y' - x^3y = 0$
$4y' + x^4y = 0$
$y' - 9xy^5 = 0$
$5y' + 8x^6y^7 = 0$ ; $y(-1)=2$

$y'+ xy = x$
$y'- xy = 2y$
$10y' + xy^2 = 4x$
$y'- 9x^3y = 5y$ ; $y(0)=1$

$y' - \frac{y}{x} = 0$
$3y' + \frac{x}{y} = 0$
$y' - \frac{y^2}{2x} = 0$
$2y' + 6\frac{y}{x^2} = 0$ ; $y(4)=-1$

$y' - y\text{\large e}^{x} = 0$
$3y' + x\text{\large e}^{y} = 0$
$y' + 7y^2\text{\large e}^{x} = 0$
$9y' - 5\text{\large e}^{y}\text{\large e}^{x} = 0$ ; $y(0)=1$

$y' - y\text{\large e}^{x} = \text{\large e}^{x}$
$3y' + x\text{\large e}^{y} = \text{\large e}^{y}$
$y' - 6y^2\text{\large e}^{x} = y^2$
$11y' + \text{\large e}^{y}\text{\large e}^{x} = 0$ ; $y(2)=1$

$y' - x\sqrt{x+1} = 0$
$2y' + x\sqrt{x^2+1} = 0$
$y' - 7yx\sqrt{x+1} = 0$
$9y' + 4yx\sqrt{x^2+1} = 0$ ; $y(3)=1$

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Forma General
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1

Al observar la forma en que está definida una ecuación diferencial, puede resultar útil identificar los elementos que la componen. Veremos en esta ocasión, el caso en que podemos identificar una expresión lineal que compone la ecuación diferencial.

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Forma General

Veremos que recurriendo a una variable auxiliar, es posible reducir la ecuación diferencial a una ecuación de variables separables. Formalmente, si $A$ , $B$ y $C$ son números reales con $B \neq 0$ , consideraremos ecuaciones diferenciales de la forma

$\frac{dy}{dx} = f(Ax + By + C)$

Y para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, recurrimos a la variable auxiliar $u = Ax + By + C$ . Veamos entonces con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$\frac{dy}{dx} = (7x + y + 2)^2 - 11$

Podemos notar que la expresión $7x + y + 2$ compone a esta ecuación. Entonces, definimos la variable auxiliar que utilizaremos, calculamos $\frac{du}{dx}$ y posteriormente, despejamos $\frac{dy}{dx}$

$u=7x + y + 2 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 7 + \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 7$

De esta forma, al sustituirlas en nuestra ecuación diferencial, obtenemos que

$\frac{du}{dx} - 7 = u^2 - 11$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} - 7 = u^2 - 11$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} = u^2 - 4$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} = (u-2)(u+2)$

Esta última igualdad representa una ecuación diferencial de variables separables, así que procedemos a separar las variables.

$\frac{du}{dx} = (u-2)(u+2)$

$\Rightarrow \frac{du}{(u-2)(u+2)} = dx$

Una vez separadas las variables, integramos en ambos lados de la ecuación.

$\Rightarrow \int \frac{du}{(u-2)(u+2)} = \int dx$

$\Rightarrow \frac{1}{4} \ln(u-2) - \frac{1}{4} \ln(u+2) = x + C$

Ya que hemos calculado las integrales, debemos despejar al variable $u$ .

$\Rightarrow \frac{1}{4} \left( \ln(u-2) - \ln(u+2) \right) = x + C$

$\Rightarrow \frac{1}{4} \ln \left(\frac{u-2}{u+2} \right) = x + C$

$\Rightarrow \ln \left(\frac{u-2}{u+2} \right) = 4x + C$

$\Rightarrow \frac{u-2}{u+2} = C \textit{\Large e}^{4x}$

$\Rightarrow u-2 = C \textit{\Large e}^{4x}(u+2)$

$\Rightarrow u-2 = C \textit{\Large e}^{4x}u+2C \textit{\Large e}^{4x}$

$\Rightarrow u- C \textit{\Large e}^{4x}u = 2+2C \textit{\Large e}^{4x}$

$\Rightarrow u \left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right) = 2 (C \textit{\Large e}^{4x} + 1)$

$\Rightarrow u = \frac{2 \left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)}$

Finalmente, sustituimos la variable auxiliar $u$ y despejamos la variable $y$ .

$u = 2 \frac{\left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)}$

$\Rightarrow 7x + y + 2 = 2\frac{\left( 1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left( 1-C \textit{\Large e}^{4x} \right) }$

$\Rightarrow y = 2\frac{\left((1+C \textit{\Large e}^{4x} \right) }{\left(1-C \textit{\Large e}^{4x} \right)} -7x - 2$

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables

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Definición
1. Ejemplos

Consideraremos ecuaciones que se caracterizan porque podemos separar las variables, es decir, que se pueden dejar todas las expresiones que involucran una variable de un lado de la ecuación y a todas las expresiones que involucran la otra variable del otro lado de la ecuación.

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Definición

Formalmente, diremos que una ecuación diferencial es de variables separables si se expresa de la siguiente forma:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)$

Veamos con algunos ejemplos la técnica para calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos la ecuación $y-y'=0$ , lo primero que debemos hacer es reescribir $y'$ como un cociente de diferenciales $\frac{dy}{dx}$ , de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

$\displaystyle y - \frac{dy}{dx} = 0$

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de $x$ y de $y$ como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = y$

$\displaystyle \Rightarrow \; dy = y \ dx$

$\displaystyle \Rightarrow \; \frac{dy}{y} = dx$

Notamos que todas las expresiones que involucran a $y$ están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a $x$ están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

$\displaystyle \int \frac{dy}{y} = \int dx$

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante $C$ del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable $y$ para obtener la función que estamos buscando.

$\displaystyle \ln(y) = x + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; \textit{\Large e}^{\ln(y)} = \textit{\Large e}^{x + C}$

$\displaystyle \Rightarrow \; y = \textit{\Large e}^x\textit{\Large e}^C$

$\displaystyle \Rightarrow \; y = C \textit{\Large e}^x$

En este último paso, al ser $\textit{\Large e}^C$ una constante real, la reescribimos como $C$ para facilitar su escritura.

Observación: No hemos considerado el valor absoluto en el logaritmo al calcular la integral de $\frac{1}{y}$ pues recordando que $y$ debe estar definida en el mayor intervalo que la contenga, consideramos convenientemente un intervalo en el que podemos prescindir del valor absoluto.

Ejemplo 2

Consideremos la ecuación $2x^6y' + 9x^8y^4 = 0$ , lo primero que debemos hacer es reescribir $y'$ como un cociente de diferenciales $\frac{dy}{dx}$ , de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

$\displaystyle 2x^6\frac{dy}{dx} + 9x^8y^4 = 0$

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de $x$ y de $y$ como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

$\displaystyle 2x^6\frac{dy}{dx} + 9x^8y^4 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \; 2x^6\frac{dy}{dx} = -9x^8y^4$

$\displaystyle \Rightarrow \; 2x^6dy = -9x^8y^4dx$

$\displaystyle \Rightarrow \; \frac{dy}{y^4} = \frac{-9x^8dx}{2x^6}$

$\displaystyle \int \frac{dy}{y^4} = \int -\frac{9x^2dx}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow \; -\frac{1}{3y^3} = -\frac{9}{6} x^3 + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; \frac{1}{3y^3} = \frac{3}{2} x^3 + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; 3y^3 = \frac{1}{\frac{3}{2} x^3 + C}$

$\displaystyle \Rightarrow \; y^3 = \frac{1}{3\frac{3}{2} x^3 + C}$

$\displaystyle \Rightarrow \; y = \sqrt[3]{\frac{1}{\frac{9}{2} x^3 + C}}$

Ejemplo 3

Consideremos la ecuación $y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0$ con valor inicial $y(0)=3$ , lo primero que debemos hacer es reescribir $y'$ como un cociente de diferenciales $\frac{dy}{dx}$ , de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

$\displaystyle \frac{dy}{dx} - x \textit{\Large e}^{x} = 0$

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de $x$ y de $y$ como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = x \textit{\Large e}^{x} \; \Rightarrow \; dy = x \textit{\Large e}^{x} \ dx$

$\displaystyle \int dy = \int x \textit{\Large e}^{x} \ dx$

$\displaystyle y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C$

Una vez que hemos calculado la solución general de esta ecuación diferencial, debemos encontrar la solución particular que cumple con el problema de valor inicial. Para esto, sustituimos los valores $x=0$ y $y=3$ en la solución general para posteriormente despejar $C$

$\displaystyle y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; 3 = 0 \cdot \textit{\Large e}^{0} - \textit{\Large e}^{0} + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; 3 = 0 - 1 + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; 3 + 1 = C$

$\displaystyle \Rightarrow \; C = 4$

De esta forma, concluimos que la solución que satisface el problema de valor inicial $y(0)=3$ es

$\displaystyle y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 4$

Ejemplo 4

Consideremos la ecuación $3xy' - 5y = 0$ con valor inicial $y(1)=2$ , lo primero que debemos hacer es reescribir $y'$ como un cociente de diferenciales $\frac{dy}{dx}$ , de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

$\displaystyle 3x\frac{dy}{dx} - 5y = 0$

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de $x$ y de $y$ como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

$\displaystyle 3x\frac{dy}{dx} = 5y$

$\displaystyle \Rightarrow \; 3x \ dy = 5y \ dx$

$\displaystyle \Rightarrow \; \frac{dy}{y} = \frac{5dx}{3x}$

$\displaystyle \int \frac{dy}{y} = \int \frac{5dx}{3x}$

$\displaystyle \ln(y) = \frac{5}{3} \ln(x) + C$

$\displaystyle \Rightarrow \; \textit{\Large e}^{\ln(y)} = \textit{\Large e}^{\frac{5}{3} \ln(x) + C}$

$\displaystyle \Rightarrow \; y = C x^{\frac{5}{3}}$

Una vez que hemos calculado la solución general de esta ecuación diferencial, debemos encontrar la solución particular que cumple con el problema de valor inicial. Para esto, sustituimos los valores $x=1$ y $y=2$ en la solución general para posteriormente despejar $C$