Sistemas de Ecuaciones Lineales – Gauss-Jordan

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con n ecuaciones y n incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

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Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.

Formalmente, si A es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz A adosando la matriz de términos independientes C a su lado derecho, de la siguiente forma:

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Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{3}{16}, y = \frac{43}{48}.

Ejemplo 2

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{1}{17}, y = -\frac{94}{85}.

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Ejemplo 3

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = \frac{111}{85}, y = \frac{22}{17}, z = -\frac{16}{85}.

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Ejemplo 4

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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El Método de Eliminación de Gauss-Jordan permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{50}{169}, y = \frac{32}{169}, z = -\frac{85}{169}.


Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.

Sistemas de Ecuaciones Lineales – Cramer

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean x_1, x_2, \ldots, x_n un conjunto de n incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y m ecuaciones, de la siguiente forma:

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con n ecuaciones y n incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Podemos definir varios elementos que nos permitan calcular la solución del sistema de ecuaciones usando determinantes de matrices, así que empezaremos definiendo

\Delta = |A|

Si \Delta \neq 0, podemos garantizar que existe una única solución para el sistema de ecuaciones, por lo tanto

Definimos \Delta_{x_1} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la primera columna por la matriz C, es decir,

Definimos \Delta_{x_2} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la segunda columna por la matriz C, es decir,

Continuando así, definimos \Delta_{x_j} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{j-ésima} columna por la matriz C, es decir,

Finalmente, definimos \Delta_{x_n} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{n-ésima} columna por la matriz C, es decir,

Una vez que hemos definido esta serie de elementos, podemos definir los valores que dan solución al sistema de ecuaciones planteando los siguientes cocientes:

x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}, \ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}, \ \ldots , \ x_n = \frac{\Delta_{x_n}}{\Delta}.

Este método es conocido como la Regla de Cramer, veamos entonces con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{15}{16}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{71}{32}

Ejemplo 2

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{400}{133}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{270}{133}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{41}{133}

Ejemplo 3

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-355}{257}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{-145}{257}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{133}{257}

Ejemplo 4

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x = \frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-109}{235}, \ y = \frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{213}{235}, \ z = \frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{34}{47}, \ w = \frac{\Delta_{ w }}{\Delta} = \frac{354}{235}


Sistemas de Ecuaciones Lineales

Al definir una ecuación, de forma básica, se establece la relación entre un número desconocido y números conocidos a partir de una igualdad, también hemos visto que es posible establecer relaciones entre más números desconocidos tal como cuando se define una recta de la forma ax + by + c = 0 y calcular el punto de intersección entre dos rectas, se determinan los valores de x y y que satisfacen ambas ecuaciones; generalizando así, nuestra definición de ecuación.

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean x_1, x_2, \ldots, x_n un conjunto de n incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y m ecuaciones, de la siguiente forma:

La solución de este sistema es un conjunto de números reales que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, y para determinar si un sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución, debemos tomar ciertas consideraciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede ver como una ecuación donde los elementos involucrados son matrices pues las expresiones que están del lado izquierdo de la igualdad se pueden escribir como un producto de matrices y los elementos que están del lado derecho se pueden escribir como una matriz de una sola columna, de la siguiente manera:

Identificando las matrices A, X y C; podemos asegurar que el sistema de ecuaciones tendrá exactamente una solución si la matriz A es una matriz cuadrada y si esta es una matriz \emph{no-singular}, es decir, si |A| \neq 0. Existen diversos métodos para calcular esta única solución de un sistema de ecuaciones.