Multiplicadores de Lagrange

En el estudio de máximos y mínimos de funciones en varias variables, comúnmente se encuentran restricciones sobre las variables involucradas, por ejemplo, al considerar una función de costos conjuntos de una empresa que produce dos artículos A y B tal que la cantidad total de unidades producidas debe ser igual a 200, en este caso tendríamos que

$x+y=200$

suponiendo que $x$ es la cantidad de unidades producidas del artículo A y $y$ la cantidad de unidades producidas del artículo B.

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Al encontrar restricciones sobre las variables, debemos ser cautelosos en el cálculo de los extremos relativos ya que debemos tomar consideraciones adicionales. Debemos entonces establecer un nuevo método que nos permita calcular estos extremos relativos. De esta forma definimos el Método de los Multiplicadores de Lagrange de la siguiente forma:

Sea $f(x,y)$ una función en varias variables y sea $g(x,y)=0$ una restricción sobre estas variables. Para calcular los puntos críticos de esta función. consideramos una variable auxiliar $\lambda$ y definimos una función auxiliar $F$ como sigue

$F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)$

Nuestro propósito será el de calcular los puntos críticos de esta función auxiliar $F$ , pues si $(x_0,y_0,\lambda_0)$ es un punto crítico de $F$ , entonces $(x_0,y_0)$ es punto crítico de $f$ sujeta a la restricción indicada. Para esto debemos calcular la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Finalmente, evaluamos la función $f(x,y)$ en los puntos que satisfacen el sistema de ecuaciones y a partir de los valores resultantes concluimos lo siguiente:

El mayor de estos valores será el máximo de la función $f(x,y)$ .
El menor de estos valores será el mínimo de la función $f(x,y)$ .
En el caso de haber sólo un valor, se utiliza el criterio de la Segunda Derivada para funciones de dos variables.

Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de funciones con restricción sobre sus variables.

Ejemplo

Sea $f(x,y) = 3x^2 + 2y^2 + 80$ una función, cuyas variables están restringidas a $x+y=30$ . Determine los extremos relativos de esta función considerando la restricción indicada.

Para empezar, debemos reescribir la restricción como una función $g(x,y)$ de la siguiente forma $g(x,y)=x+y-30=0$

Obteniendo la función $g(x,y)$ , definimos nuestra función auxiliar $F(x,y,\lambda)$ como

$F(x,y,\lambda)$

$\; = \; f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)$

$\; = \; 3x^2 + 2y^2 + 80-\lambda \cdot (x+y-30)$

Y planteamos el sistema de ecuaciones siguiente para calcular los puntos críticos de esta función:

Sustituimos $x = \dfrac{\lambda}{6}$ y $y = \dfrac{\lambda}{4}$ en la última ecuación para hallar el valor de $\lambda$

$x+y = 30$

$\Rightarrow \; \dfrac{\lambda}{6} + \dfrac{\lambda}{4} = 30$

$\Rightarrow \; \dfrac{10}{24} \lambda = 30$

$\Rightarrow \; \lambda = 30 \dfrac{24}{10}$

$\Rightarrow \; \lambda = 72$

Ahora sustituimos $\lambda = 72$ en $x = \frac{\lambda}{6}$ y $y = \frac{\lambda}{4}$ :

Concluimos entonces que el punto $(12,18,72)$ es el punto crítico de la función $F(x,y,\lambda)$ y en consecuencia, el punto $(12,18)$ es un punto crítico de la función $f(x,y)$ . Calculamos ahora las derivadas de orden superior de la función $f(x,y)$ para definir $D(x,y)$ .

$f_x(x,y) = 6x \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 6$

$f_y(x,y) = 4y \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 4$

$f_{xy}(x,y) = 0$

$D(x,y)= f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 4 - 0 = 24$

Finalmente, como $D(12,18) = 24 > 0$ y $f_{xx}(12,18) = 6 > 0$ entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función $f$ alcanza un mínimo relativo en el punto $(2,3)$ .