Método de Eliminación Gaussiana

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.

Formalmente, si $A$ es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz $A$ adosando la matriz de términos independientes $C$ a su lado derecho, de la siguiente forma:

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el sistemas de ecuaciones con $2$ ecuaciones y $3$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Habiendo verificado que el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz $A$ .

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{3}{16}$ , $y = \frac{43}{48}$ .

Ejemplo 2

Considerando el sistemas de ecuaciones con $2$ ecuaciones y $3$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{1}{17}$ , $y = -\frac{94}{85}$ .

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Ejemplo 3

Considerando el sistemas de ecuaciones con $3$ ecuaciones y $4$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = \frac{111}{85}$ , $y = \frac{22}{17}$ , $z = -\frac{16}{85}$ .

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Ejemplo 4

Considerando el sistemas de ecuaciones con $3$ ecuaciones y $4$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{50}{169}$ , $y = \frac{32}{169}$ , $z = -\frac{85}{169}$ .

Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Formalmente, si $A$ es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan (ó Método de Eliminación Gaussiana) para calcular su inversa ampliando la matriz $A$ adosando la matriz identidad a su lado derecho, de la siguiente forma:

Cálculo de Matriz Inversa Gauss-Jordan | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para entender como se calcula la matriz inversa desarrollando este procedimiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz de tamaño $2 \times 2$ . Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Habiendo verificado que el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz $A$ .