Factorizar Polinomios (2 de 2)

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini?

Consideremos un polinomio de grado n que cuenta con n raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Así, podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos P(x) = (x+2)(x+3), éste se puede expandir como P(x) = x^2 +5x + 6. Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

los divisores del término independiente a_0 serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio P(x), simplemente dividiendo por (x-r), donde r es uno de los divisores de su término independiente y verificando si esta división es exacta. Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea P(x)=x^3+4x^2-x-4, consideremos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4. Tomemos el primero de estos divisores que es +1 y apliquemos el Método de Ruffini:

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Como el resto de la división es cero, concluimos que 1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que 1 también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si 1 es también raíz de este polinomio:

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Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que 1 pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será -1

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Como el resto de esta última división es cero, concluimos que -1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que -1 también sea una raíz del último polinomio generado, sin embargo, antes de verificar nuevamente si -1 es raíz del nuevo polinomio podemos notar a simple vista que -4 es una raíz, ya que

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 1, -1 y 4. Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

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Ejemplo 2

Sea P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x - 12, consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 y \pm 12; y aplicamos el Método de Ruffini:

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son -1, 2, 2 y -3. Notamos que el número dos se repite dos veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

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Ejemplo 3

Sea P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768. Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256) consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128 y \pm 256; y aplicamos el Método de Ruffini:

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 4, 4, 4 y 4. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

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En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada una que el resto sea igual a cero, preferiblemente en el orden en que éstas se presentan.


Factorizar Polinomios (1 de 2)

¿Qué es factorizar?

Si consideramos el producto entre números reales, llamamos factor a cada uno de estos números involucrados en ducho producto. Por ejemplo, si consideramos el producto a \cdot b, diremos que a y b son los factores que representan este producto. Estos números reales pueden venir definidos por un número desconocido, por ejemplo si consideramos el producto (x+2) \cdot (x+7) entonces (x+2) y (x+7) serán los factores que representan este producto.

Factorizar (o factorización) es el proceso de reescribir una expresión como un producto de factores. Por ejemplo, si consideramos la expresión 3x + 3x^2 , podemos notar que 3x es un factor común en ambos sumandos y aplicando la propiedad distributiva podemos expresarla como 3x \cdot (1+x), es decir, la reescribimos como un producto de dos factores 3x y 1+x. Si una expresión se reescribe como el producto de factores, diremos que esta ha sido factorizada.

Todo número real se puede expresar como el producto de dos factores, pues si consideramos cualquier número real a, entonces a = 1 \cdot a, decimos que este es el caso trivial pero cuando consideremos factorizar una expresión, obviaremos este caso pues no representa particular interés para lo que pretendemos desarrollar.

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¿Cómo se relación las raíces de un polinomio con su factorización?

Si las raíces de un polinomio P(x) de grado n son \{ x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n \} , entonces éste se puede factorizar de la siguiente forma:

Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Una forma general para factorizar un polinomio es hallando las raíces y aplicando el resultado antes visto, por lo tanto debemos buscar formas para hallar las raíces de un polinomio. Es decir, hallar los valores de x para los cuales se cumple la ecuación P(x)=0.

Entonces, si las raíces del polinomio P(x)=x^2-2x+1 son x_1=1 y x_2=-1, éste se puede factorizar de la siguiente manera: P(x) = (x-1) \cdot (x+1)

Tomando en cuenta este ejemplo, consideremos de forma particular los polinomios cuadráticos, pues podemos notar que si P(x)=ax^2+bx+c es un polinomio cuadrático, entonces la ecuación P(x)=0 es justamente una ecuación cuadrática. En otras palabras, estamos diciendo que podemos determinar las raíces de un polinomio cuadrático utilizando el método del discriminante, y más aún, factorizarlo a partir de sus raíces.

Retomemos algunos ejemplos para explicar este hecho, tomando en cuenta que el método del discriminante establece que los valores de que x que satisfacen la ecuación ax^2+bx+c=0 están expresados de la siguiente forma:

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Ejemplos – Factorizar polinomios cuadráticos

Ejemplo 1

Factorice el polinomio P(x)=x^2+5x+6 a partir de sus raíces. Debemos notar que a=1, b=5 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \dfrac{-5 \pm 1}{2}

Luego,

x_1 = \dfrac{-5 + 1}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

x_2 = \dfrac{-5 - 1}{2}

= \dfrac{-6}{2}

= -3

Así, podemos factorizar el polinomio de la siguiente forma:

equis menos la primera raíz por equis menos la segunda raíz

Ejemplo 2

Factorice el polinomio P(x) = 5x^2-15x-50=0 a partir de sus raíces. Debemos notar que a=5, b=-15 y c=-50. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}

= \dfrac{3 \pm 7}{2}

Luego,

x_1 = \dfrac{3 + 7}{2}

= \dfrac{10}{2}

= 5

x_2 = \dfrac{3 - 7}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

Así, podemos factorizar el polinomio de la siguiente forma:

equis menos la primera raíz por equis menos la segunda raíz

Existe diversas formar de factorizar polinomios, el método del discriminante es una de ellas y aunque nos limita de forma particular a los polinomio cuadráticos, hay expresiones que se pueden reescribir para aplicar este método aunque no sean polinomios cuadráticos.