Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estado de equilibrio

Las soluciones de una Ecuación en Diferencias Finitas están definidas por sucesiones, y una vez que hemos aprendido a calcular estas soluciones, resultará de vital interés estudiar el comportamiento las mismas y más aún, nos interesará su comportamiento respecto a un punto muy particular.

También pudiera interesarte

Anuncios

Punto Fijo

Un punto fijo de una función es un punto en el que un elemento del dominio coincide con él mismo en el rango. Formalmente, si consideramos una función real f : A \longrightarrow B, definimos un punto fijo de esta función como un punto x_0 perteneciente al dominio de f tal que

f(x_0) = x_0

Gráficamente, diremos que un punto fijo de una función es donde esta coincide con la función identidad, es decir, donde coincide con la función f(x)=x.

Punto de Equilibrio | totumat.com

Ejemplos

Ejemplo 1

La función f(x)=-x+1 tiene un punto fijo en x_0 = \frac{1}{2}, pues f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}.

Ejemplo 2

La función f(x)=x^2 tiene dos puntos fijos: x_0 = 0 y x_1 = 1, pues f(0)=0 y f(1)=1, respectivamente.

Ejemplo 3

La función f(x)=\frac{x^3}{8} tiene tres puntos fijos: x_0 = -2, x_1 = 0 y x_2 = 2, pues f(-2)=-2, f(0) = 0 y f(2)=2, respectivamente.


Estado de Equilibrio

Al definir la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas, nos interesará estudiar el comportamiento de esta alrededor de un punto en particular. Considerando una ecuación en diferencias finitas definida de la forma y_{t+1} = f(y_{t}), diremos que P_e es un punto de equilibrio de esta ecuación si P_e es un punto fijo de f, esto es,

f(P_e) = P_e

Es decir, P_e representa una solución que permanece constante a partir de algún valor de t. Particularmente, si consideremos la condición inicial y_0=P_e, entonces, al estar la ecuación definida de la forma y_{t+1} = f(y_{t}), tenemos que

y_{1} = f(y_0) = f(P_e) = P_e

Y procediendo de forma recursiva, podemos concluir que y_t = P_e. Al estado en que una sucesión permanece constante de esta forma se le conoce como Estado de Equilibrio o Estado Estacionario.

Veamos en el siguiente ejemplo, como calcular el punto de equilibrio de una sucesión de la forma y_{t+1} = py_{t} + q.

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

y_{t+1} = 2y_{t} + 5

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si y_{k} = P_e para cualquier valor de k, entonces y_{t+1} = y_{t} = P_e, por lo tanto, se debe cumplir que

P_e = 2 \cdot P_e+5

Así, despejando P_e de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio:

P_e= \frac{5}{1-2} = -5

De esta forma, si fijamos la condición inicial y_0 = -5, y_{1} = 2(-5) + 5 = -10 + 5 = -5 y procediendo así de forma recursiva, podemos concluir que y_t = -5.


Considerando este último ejemplo, de forma general, podemos plantear una fórmula general para la solución de este tipo de ecuaciones, pues al considerar una ecuación de la forma:

y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q

Podemos calcular el punto de equilibrio tomando en cuenta que si y_{k} = P_e para cualquier valor de k, entonces y_{t+1} = y_{t} = P_e, por lo tanto, se debe cumplir que

P_e = p \cdot P_e+q

Así, despejando P_e de esta ecuación, determinamos el punto de equilibrio aplicando al siguiente fórmula:

P_e= \dfrac{q}{1-p}

Ejemplos

Ejemplo 4

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

y_{t+1} = -3y_{t} + 7

Entonces, identificamos los valores p=-3 y q=7 y; aplicamos la fórmula para calcular el punto de equilibrio, de la siguiente forma:

P_e= \frac{7}{1-(-3)} = -\frac{7}{4}

Ejemplo 5

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden expresada de la siguiente forma:

10y_{t+1} = 5y_{t} + 4

Notemos que y_{t+1} está multiplicado por el coeficiente 10, entonces, debemos estandarizar la ecuación dividiendo cada uno de los términos por este coeficiente 10 para obtener:

y_{t+1} = \frac{1}{2}y_{t} + \frac{2}{5}

Entonces, identificamos los valores p=\frac{1}{2} y q=\frac{2}{5} y; aplicamos la fórmula para calcular el punto de equilibrio, de la siguiente forma:

P_e= \dfrac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}