Categoría: Participación

Esta categoría abarca todas las entradas en las que el alumnos debe participar para que verifique si ha entendido los conocimientos impartidos.

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Derivación Implícita

Anthonny Arias-García2 comentarios
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Para cada una de las siguientes funciones, calcule x' y y' derivando implícitamente.

  1. x=0
  2. -y=1
  3. 5xy=2
  4. -4x^2 y^2=3

  1. x+y=4
  2. 3y-x=5
  3. 5xy+11\frac{x}{y}+3=6
  4. 6x^2 - 2y^2 + 9xy=7

  1. \frac{1}{x}=8
  2. -\frac{2}{y}=9
  3. \frac{7}{xy}=10x
  4. \frac{9}{x+y}=-y

  1. \frac{y}{x}=-1
  2. -\frac{x}{y}=-2
  3. \frac{3x+y}{7xy}=-3
  4. \frac{x-5y}{x+y}=-4

  1. \frac{3x}{\sqrt{y}}=-5
  2. \frac{\sqrt{x}}{10y}=-6
  3. \frac{6x+8y}{xy}=-7
  4. \frac{x-5y}{2x+y}=-8

  1. 3\sqrt{x}y=-9
  2. -4x\sqrt{y}=-10
  3. 8\sqrt{x}\sqrt{y}=-x
  4. 10\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + x^2y^2+20=3x+y
  1. x^2+5x^4+y-2y^3+6=2x
  2. x\sqrt{y}+x^3+y^2=3x
  3. \sqrt{x}\sqrt{y}=4y
  4. \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + x^2+y^2-15=5y

  1. \ln(x)=-2x
  2. -2\ln(y)=-3x
  3. 7\ln(xy)=-4y
  4. 15\ln(x+y)=-5y

  1. 2\ln(x)\ln(y)=x+y
  2. 3\ln(y)+x^2=x-y
  3. 7\ln(xy)-y^3=2x+2y
  4. 5\ln(x+y)+x^3+y^2=2x+3y

  1. {\rm e}^{x}=xy
  2. -2{\rm e}^{y}=2xy
  3. 7{\rm e}^{xy}=3xy
  4. -9{\rm e}^{x+y}=4xy

  1. {\rm e}^{2x^2+5x-2y^3+y+6}=x^2
  2. {\rm e}^{x\sqrt{y}+x^3+y^2}=x^3
  3. {\rm e}^{\frac{x-y}{x+y}}=y^4
  4. {\rm e}^{\ln(x+y)+x^3+y^2}=y^2
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Bosquejo de Polinomios

Anthonny Arias-García2 comentarios
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Puntos Críticos

Calcule los puntos críticos de las siguientes funciones y verifique si estos son máximos o mínimos locales. Finalmente, indique cuales son los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Recuerde que los puntos críticos de una función, son aquellos donde

f'(x)=0

  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x)=x^2+2
  2. f(x)=x^3+3
  3. f(x)=x^4+4
  4. f(x)=x^5+5

  1. f(x)=x^2+2x
  2. f(x)=x^3+3x
  3. f(x)=x^4+4x
  4. f(x)=x^5+5x

  1. f(x)=x^2 + x - 2
  2. f(x)=x^2 - 8x + 15
  3. f(x)=x^2 + 2x - 8
  4. f(x)=x^2 - 3x - 18

  1. f(x)=\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x
  2. f(x)=\dfrac{4x^3}{3} - \dfrac{16x^2}{2} + 60x
  3. f(x)=\dfrac{x^3}{3} + x^2 - 8x
  4. f(x)=x^3 + \dfrac{3x^2}{2} - 6x
  1. f(x)=x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 5
  2. f(x)=x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 2
  3. f(x)=2x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 6
  4. f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1

  1. f(x)=xe^x
  2. f(x)=x^2e^x
  3. f(x)=x^3e^x
  4. f(x)=x^4e^x

  1. f(x)=e^{x^2}
  2. f(x)=e^{x^2-1}
  3. f(x)=e^{x^2-x}
  4. f(x)=e^{x^3-x^2}

  1. f(x)=x \ln(x)
  2. f(x)=x^2 \ln(x)
  3. f(x)=x^3 \ln(x)
  4. f(x)=x^4 \ln(x)

  1. f(x)= \ln(x+3)
  2. f(x)= \ln(x^2-1)
  3. f(x)= \ln(x^3-8)
  4. f(x)= \ln(x^4-16)
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Puntos de Inflexión

Calcule los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Finalmente, indique cuales son los intervalos de convexidad (cóncava hacia arriba) y concavidad (cóncava hacia abajo).

Recuerde que los posibles puntos de inflexión de una función, son aquellos donde

f''(x)=0$

  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x)=x^2+2
  2. f(x)=x^3-3
  3. f(x)=x^4+4
  4. f(x)=x^5-5

  1. f(x)=x^2-2x
  2. f(x)=x^3+3x
  3. f(x)=x^4-4x
  4. f(x)=x^5+5x

  1. f(x)=x^2 + x - 2
  2. f(x)=x^2 - 8x + 15
  3. f(x)=x^2 + 2x - 8
  4. f(x)=x^2 - 3x - 18

  1. f(x)=x^3 - 6x^2 + 11x - 6
  2. f(x)=x^3 - 7x + 6
  3. f(x)=x^3 + 3x^2 - 4x - 12
  4. f(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6
  1. f(x)=x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12
  2. f(x)=x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20
  3. f(x)=x^4 - 7x^3 + 9x^2 + 7x - 10
  4. f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1

  1. f(x)=xe^x
  2. f(x)=x^2e^x
  3. f(x)=x^3e^x
  4. f(x)=x^4e^x

  1. f(x)=e^{x^2}
  2. f(x)=e^{x^2-1}
  3. f(x)=e^{x^2-x}
  4. f(x)=e^{x^3-x^2}

  1. f(x)=x \ln(x)
  2. f(x)=x^2 \ln(x)
  3. f(x)=x^3 \ln(x)
  4. f(x)=x^4 \ln(x)

  1. f(x)= \ln(x+3)
  2. f(x)= \ln(x^2-1)
  3. f(x)= \ln(x^3-8)
  4. f(x)= \ln(x^4-16)
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Bosquejo de Polinomios

Para graficar un polinomio hay que tomar en cuenta varios puntos de interés referentes a la función y sus primeras dos derivadas.

  • Para determinar los puntos de corte con el Eje Y, se debe evaluar la función en cero, es decir, calcular f(0) (Sustituir la variable x por cero).
  • Para calcular los puntos de corte con el Eje X, se deben calcular los puntos para los cuales la función es igual a cero, es decir, calcular los valores de x para los cuales f(x)=0 (Para esto se puede usar el Método del Discriminante si el polinomio es cuadrático o el Método de Ruffini si es de mayor grado).
  • Para determinar los puntos críticos, se deben calcular los puntos para los cuales la derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales f'(x)=0.
  • Para determinar los puntos de inflexión, se deben calcular los puntos para los cuales la segunda derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales f''(x)=0.

Una vez calculados estos puntos, tome en cuenta que el comportamiento de la función está definido por el signo de la función y sus primeras dos derivadas. Si consideramos un intervalo (a,b) \subseteq \mathbb{R}.

  • Si f(x)>0 en (a,b) entonces la función está por encima del Eje X.
  • Si f(x)<0 en (a,b) entonces la función está por debajo del Eje Y.
  • Si f'(x)>0 en (a,b) entonces la función es creciente (\nearrow).
  • Si f'(x)<0 en (a,b) entonces la función es decreciente (\searrow).
  • Si f''(x)>0 en (a,b) entonces la función es convexa (\cup).
  • Si f''(x)<0 en (a,b) entonces la función es cóncava (\cap).

En los siguientes ejercicios haga un bosquejo de la gráfica de los siguientes polinomios considerando los siguientes pasos:

  • Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
  • Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
  • Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
  • Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
  • Esbozar la gráfica.
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  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x) = x^2 + 4x - 5
  2. f(x) = x^2 + 5x + 4
  3. f(x) = x^2 + 8x + 15
  4. f(x) = x^2 - 1

  1. f(x) = - 4x^2 - 4x
  2. f(x) = 4x^2 + 4x
  3. f(x) = 2x^2 - 14x + 24
  4. f(x) = 2x^2 + 4x - 6

  1. f(x) = - 2x^3 - 2x^2 + 12x
  2. f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 20x
  3. f(x) = - 5x^3 + 10x^2 + 75x
  4. f(x) = x^3 + 8x^2 + 16x

  1. f(x) = x^3 - 3x^2 - 16x + 48
  2. f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20
  3. f(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30
  4. f(x) = x^3 - 4x^2 - 16x + 64
  1. f(x) = 5x^3 + 30x^2 + 15x - 50
  2. f(x) = x^3 - 13x + 12
  3. f(x) = - 2x^3 - 6x^2 + 26x + 30
  4. f(x) = 5x^3 + 30x^2 - 5x - 150

  1. f(x) = x^4 - 25x^2 + 144
  2. f(x) = x^4 - 2x^2 + 1
  3. f(x) = x^4 - 8x^2 + 16
  4. f(x) = x^4 - 8x^2 + 16

  1. f(x) = 10x^4 - 410x^2 + 4000
  2. f(x) = -x^4 + 45x^2 - 324
  3. f(x) = 9x^4 - 261x^2 + 900
  4. f(x) = 7x^4 - 203x^2 + 700

  1. f(x) = x^5 - 41x^3 + 400x
  2. f(x) = x^5 - 20x^3 + 64x
  3. f(x) = x^5 - 32x^3 + 256x
  4. f(x) = x^5 - 26x^3 + 25x

  1. f(x) = - 9x^5 + 1476x^3 - 57600x
  2. f(x) = - 2x^5 + 40x^3 - 128x
  3. f(x) = 2x^5 - 212x^3 + 4050x
  4. f(x) = 8x^5 - 488x^3 + 7200x
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Optimización de funciones en la economía

Para cada una de las siguientes situaciones, responda las siguientes preguntas:

  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de ingreso alcanza máximos? ¿Cuáles son esos ingresos máximos?
  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de costos alcanza mínimos? ¿Cuáles son esos costos mínimos?
  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de utilidad alcanza máximos? ¿Cuáles son esas utilidades máximas?

  1. Sea 74 + \frac{3 \cdot q}{191} , la ecuación de oferta de caramelos en una confitería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{7 \cdot q^2}{22} + 59 .
  2. Sea 40 + \frac{21 \cdot q}{125} , la ecuación de oferta de piñatas en una piñatería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{13 \cdot q^2}{197} + 78 .
  3. Sea 35 + \frac{21 \cdot q}{293} , la ecuación de oferta de carne en una carnicería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{q^2}{831} + 49 .
  4. Sea 50 + \frac{2 \cdot q}{129} , la ecuación de oferta de cachitos de jamón y queso en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{2 \cdot q^2}{55} + 13 .

  1. Sea 55 + 3 \cdot q , la ecuación de oferta de llaves en una cerrajería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.094q^3 - 0.6 q^2 + 32 .
  2. Sea 685 + 20 \cdot q , la ecuación de oferta de hamburguesas en una hamburguesería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma q^3 - 2 \cdot q^2 - 84 \cdot q + 360 .
  3. Sea 452 + 16 \cdot q , la ecuación de oferta de perros calientes en una perro calentero de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.15q^3 - 0.6 \cdot q^2 + 32 .
  4. Sea 421 + 19 \cdot q , la ecuación de oferta de palmeritas en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.065q^3 - 3 \cdot q^2 + 20 \cdot q + 600 .

  1. Sea 493 + 0.10 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de marcadores en una papelería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.1q^3 - q^2 + 65 \cdot q + 225 .
  2. Sea 635 + 0.3 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de papas fritas en una restaurante de comida rápida de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.11q^3 - 11 \cdot q^2 - 45 \cdot q + 567 .
  3. Sea 486 + 0.9 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de colchones en una mueblería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.02q^3 - 12 \cdot q^2 + 27 \cdot q + 486 .
  4. Sea 60 + 0.5 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de ropa en una calle de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.35q^3 - q^2 + 21 \cdot q + 45 .
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Interpretación Económica de la Derivada

Anthonny Arias-García2 comentarios
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Análisis Marginal

Para cada una de las siguientes situaciones, halle las funciones de ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal. Evalúe cada una en el valor indicado e interprete los resultados.

1.- Sea p=\frac{12}{100}q+10, la ecuación de oferta de cachitos de jamón y queso en una panadería de la ciudad. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = q+5.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 10 cachitos.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 10 cachitos.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 10 cachitos.

2.- Sea p=\frac{4}{3}q+300, la ecuación de oferta de pan francés en una panadería de la ciudad por unidad. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = 0.33 \cdot q^2 + 20.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 50 unidades de pan francés.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 50 unidades de pan francés.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 50 unidades de pan francés.

3.- Una fábrica de queso crema ha calculado la siguiente ecuación de oferta para cada 100 gramos de su producto: p=\frac{45}{2000}q^2+679. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = 5q+43.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 100 kilos.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 100 kilos.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 100 kilos.

4.- Una fábrica de lavadoras ha calculado la siguiente ecuación de oferta por cada unidad de su producto: p=\frac{78}{560}\sqrt[5]{q^9}+25000. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = \frac{8}{5}q^3+33q-20.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 25 unidades.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 25 unidades.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 25 unidades.
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Elasticidad de Demanda

Para cada una de las siguientes funciones de demanda, halle la función de elasticidad de demanda puntual y calcule la elasticidad de demanda una vez que se fija el precio indicado, indique si la demanda es elástica, inelástica o tiene elasticidad unitaria.

  1. q=-3 \cdot p + 10 , p=8
  2. q=-4 \cdot p + 20, p=13
  3. q=-9 \cdot p + 15 , p=7
  4. q=-10 \cdot p + 35, p=20

  1. q=-0.7 \cdot p + 20 , p=11
  2. q=-0.4 \cdot p + 40, p=23
  3. q=-0.69 \cdot p + 9 , p=1
  4. q=-0.10 \cdot p + 18, p=6

  1. q=-10 \cdot p + 110 , p=63.4
  2. q=-50 \cdot p + 120, p=78.4
  3. q=-60 \cdot p + 125 , p=100.4
  4. q=-73 \cdot p + 357, p=237.67
Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Derivadas de Orden Superior

Anthonny Arias-García2 comentarios
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Considerando las siguientes funciones, calcule la derivada del orden indicado y simplifique el resultado.

  1. f(x)=(5x+4)^2,
    Calcule f^{(4)}(x).
  2. f(x)=(2x-2)^{23},
    Calcule f'''(x).
  3. f(x)=(-9x+3)^{234},
    Calcule f''(x).
  4. f(x)=(-3x-4)^{2345},
    Calcule f''(x).

  1. f(x)=(5x+10x^8)^{3},
    Calcule f^{(5)}(x).
  2. f(x)=(6x^3+9x^8)^{5},
    Calcule f'''(x).
  3. f(x)=(7x^5-8x^4)^{7},
    Calcule f'''(x).
  4. f(x)=(8x^7-7x^2)^{9},
    Calcule f''(x).

  1. f(x)=\ln(3x+7)+11x^{9},
    Calcule f''(x).
  2. f(x)=\ln(-4x+55)-12x^{5},
    Calcule f'''(x).
  3. f(x)=-\ln(7x-7)+13x^{7},
    Calcule f^{(4)}(x).
  4. f(x)=-\ln(-8x+6)-14x^{6},
    Calcule f''(x).

  1. f(x)= \sqrt{x^2 - 2x^{-6} + 2} ,
    Calcule f''(x).
  2. f(x)= \sqrt[3]{x^5 - x^{-4} + 1} ,
    Calcule f''(x).
  3. f(x)= \sqrt[4]{x^8 - 4x^{-7} + 5} ,
    Calcule f''(x).
  4. f(x)= \sqrt[5]{x^{11} + x^{-9} - 10} ,
    Calcule f''(x).
  1. f(x)= 7x^{4} + 10\textit{\Large e}^{2x+5},
    Calcule f^{(6)}(x).
  2. f(x)= -6x^{3} + 2\textit{\Large e}^{-5x+10},
    Calcule f^{(4)}(x).
  3. f(x)= 10x^{8} - 6\textit{\Large e}^{x^{2}-5},
    Calcule f'''(x).
  4. f(x)= -8x^{10} + 4\textit{\Large e}^{5x^{2}+7},
    Calcule f''(x).

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Regla de la Cadena

Anthonny Arias-García2 comentarios
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Calcule la derivada de las siguientes funciones compuestas usando la Regla de la Cadena y simplifique el resultado.

  1. f(x)=\left(15x+1\right)^2
  2. f(x)=\left(22x-2\right)^{23}
  3. f(x)=\left(-9x+3\right)^{234}
  4. f(x)=\left(-11x-4\right)^{2345}

  1. f(x)=\left(5x+10x^8\right)^3
  2. f(x)=\left(6x^3+9x^8\right)^5
  3. f(x)=\left(7x^5-8x^4\right)^7
  4. f(x)=\left(8x^7-7x^2\right)^9

  1. f(x)=\left(\ln(x)+11x^9\right)^3
  2. f(x)=\left(\ln(x)-12x^8\right)^5
  3. f(x)=\left(-\ln(x)+13x^7\right)^7
  4. f(x)=\left(-\ln(x)-14x^6\right)^9

  1. f(x)= \sqrt{x^2 - 2x^{-6} + 2}
  2. f(x)= \sqrt{x^5 - x^{-4} + 1}
  3. f(x)= \sqrt{x^8 - 4x^{-7} + 5}
  4. f(x)= \sqrt{x^{11} + x^{-9} - 10}

  1. f(x)= \sqrt[3]{\left(7x^4 + 60\textit{\Large e}^x\right)^{10}}
  2. f(x)= \sqrt[6]{\left(4x^3 - 10\textit{\Large e}^x\right)^{15}}
  3. f(x)= \sqrt[9]{\left(-2x^2 + 30\textit{\Large e}^x\right)^{20}}
  4. f(x)= \sqrt[12]{\left(-6x - 36\textit{\Large e}^x\right)^{25}}

  1. f(x)= \sqrt[4]{\left(\ln(x+2)\right)^6}
  2. f(x)= \sqrt[7]{\left(\ln(6x+4)\right)^3}
  3. f(x)= \sqrt[10]{\left(\ln(x+7)\right)^4}
  4. f(x)= \sqrt[14]{\left(\ln(10x+15)\right)^5}
  1. f(x)= 7\textit{\Large e}^{\frac{3}{\sqrt[3]{x^7}}}
  2. f(x)= -21\textit{\Large e}^{\frac{9}{\sqrt[5]{x^5}}}
  3. f(x)= 14\textit{\Large e}^{\frac{-4}{\sqrt[8]{x^2}}}
  4. f(x)= -28\textit{\Large e}^{\frac{-11}{\sqrt[10]{x^4}}}

  1. f(x)= 5\textit{\Large e}^{x + 10\ln(x)}
  2. f(x)= 4\textit{\Large e}^{6x + 3\ln(x)}
  3. f(x)= 3\textit{\Large e}^{-9x + 15\ln(x)}
  4. f(x)= 2\textit{\Large e}^{8x - 6\ln(x)}

  1. f(x)= \dfrac{ (x+1) }{ \ln(3x+8) }
  2. f(x)= \dfrac{ (7x+2) }{ \ln(5x-3) }
  3. f(x)= \dfrac{ (-8x+3) }{ \ln(-9x+9) }
  4. f(x)= \dfrac{ (3x-4) }{ \ln(-3x-3) }

  1. f(x)= \dfrac{x^4}{7\ln(2x+3)}
  2. f(x)= \dfrac{x^3}{8\ln(5x-2)}
  3. f(x)= \dfrac{x^6}{3 - 12\ln(-7x+6)}
  4. f(x)= \dfrac{-x^{10}}{12 + 5\ln(-4x+1)}

  1. f(x)= \ln \left(\dfrac{ 1 }{ x^2+3x } \right)
  2. f(x)= \ln \left(\dfrac{ 2 }{ x^4-4x^2 } \right)
  3. f(x)= \ln \left(\dfrac{ 3 }{ -9x^6+5x^4 } \right)
  4. f(x)= \ln \left(\dfrac{ 4 }{ -x^8-6x^7 } \right)