Ejercicios Propuestos Integral Indefinida

Ejercicios Propuestos – Propiedades de la Integral Indefinida

18.04.202118.08.2025 Anthonny Arias-García1 comentario

Considerando la integral de las funciones elementales, calcule la integral de las siguientes funciones usando las propiedades de la la integral definida.

$\displaystyle f(x)= 30$
$\displaystyle f(x)= -11$
$\displaystyle f(x)= \frac{23}{5}$
$\displaystyle f(x)= -\frac{16}{6}$

$\displaystyle f(x)= 25x$
$\displaystyle f(x)= -15x$
$\displaystyle f(x)= \frac{x}{7}$
$\displaystyle f(x)= -\frac{21x}{18}$

$\displaystyle f(x)= 2x^5$
$\displaystyle f(x)= 3x^7$
$\displaystyle f(x)= 4x^4$
$\displaystyle f(x)= 3x^9$

$\displaystyle f(x)= \frac{1}{x}$
$\displaystyle f(x)= -\frac{8}{x}$
$\displaystyle f(x)= \frac{6}{30x}$
$\displaystyle f(x)= -\frac{21}{18x}$

$\displaystyle f(x)= x^2 - 2x^{-6} + 2$
$\displaystyle f(x)= 4x^3 + 14x^{-4} - 1$
$\displaystyle f(x)= -\frac{x^{10}}{2} - 4x^{-7} + 5x$
$\displaystyle f(x)= 20x^5 + \frac{x^{-9}}{45} - 10$

$\displaystyle f(x)= 7x^4 - 3x^8 + 60^2$
$\displaystyle f(x)= \frac{2}{7}x^4 - 6x^3 - 10^{10}$
$\displaystyle f(x)= 2x^9 - 5x^{23} + \frac{30^{18}}{6}$
$\displaystyle f(x)= 6x^{\frac{3}{5}} + 4x^3 - 36^{-26}$

$\displaystyle f(x)= 7\sqrt[3]{x^4} + \frac{2}{x^4}$
$\displaystyle \displaystyle f(x)= 3\sqrt[5]{x^2} + \frac{8}{x^3}$
$\displaystyle f(x)= 12\sqrt[8]{x^5} + \frac{3}{x^6}$
$\displaystyle f(x)= 5\sqrt[10]{x^7} + \frac{12}{x^{10}}$

$\displaystyle f(x)= \frac{5}{x} + \sqrt[6]{x^2}$
$\displaystyle f(x)= \frac{6}{3x} + \sqrt[3]{8x^7}$
$\displaystyle f(x)= \frac{7}{4x} + \sqrt[4]{5x^9}$
$\displaystyle f(x)= \frac{8}{5x} + \sqrt[8]{10x^3}$

$\displaystyle f(x)= 3\textbf{\textit{\Large e}}^x - 10x^4$
$\displaystyle f(x)= 4\textbf{\textit{\Large e}}^x - 6x^6$
$\displaystyle f(x)= 3\frac{\textbf{\textit{\Large e}}^{2x}}{\textbf{\textit{\Large e}}^x} - 9x^5$
$\displaystyle f(x)= \frac{2}{5} \frac{7\textbf{\textit{\Large e}}^x - 12\textbf{\textit{\Large e}}^x}{13} - 18x^8$

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes

10.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas de segundo orden usando el método de los coeficientes indeterminados.

$4 y'' + 4 y = 8 x + 32$
$9 y'' - 45 y = - 7 x + 35$
$- 6 y'' - 30 y = 10 x$
$- 2 y'' + 2 y = - 3 x - 15$

$- 7 y'' + 21 y = 8 x^{2} + 16 x$
$4 y'' - 8 y = 6 x^{2} + 6 x$
$- y'' + 5 y = - x^{2} - 3 x$
$- 5 y'' - 5 y = - 7 x^{2} - 21 x$

$- y''' - 5 y'' = - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 32 x$
$- 3 y''' + 6 y'' = - 6 x^{3} - 24 x^{2} + 30 x$
$3 y''' - 6 y'' = 9 x^{3} - 9 x^{2} - 180 x$
$- 6 y''' - 12 y'' - 6 y' = 4 x^{3} - 4 x^{2}$

$2 y''' - 18 y'' + 40 y' = 4 x^{4} + 12 x^{3} + 8 x^{2}$
$7 y''' - 7 y'' - 14 y' = 3 x^{4} + 3 x^{3} - 36 x^{2}$
$- 4 y''' - 8 y'' + 60 y' = - 9 x^{4} + 9 x^{3} + 54 x^{2}$
$- 4 y''' + 16 y'' - 12 y' = 7 x^{4} - 7 x^{3} - 84 x^{2}$

$9 y'' + 18 y = - 24 \textit{\Large e}^{- 6 x}$
$8 y'' - 24 y = - 50 \textit{\Large e}^{- 6 x}$
$6 y'' + 18 y = 16 \textit{\Large e}^{5 x}$
$6 y'' + 30 y = 7 \textit{\Large e}^{- 10 x}$

$5 y'' + 20 y = - 6 \textit{\Large e}^{- 2 x} x + 18 \textit{\Large e}^{- 2 x}$
$- 5 y'' - 10 y = 8 \textit{\Large e}^{- 6 x} x - 24 \textit{\Large e}^{- 6 x}$
$3 y'' + 3 y = - 7 \textit{\Large e}^{- 8 x} x + 35 \textit{\Large e}^{- 8 x}$
$6 y'' + 30 y = 2 \textit{\Large e}^{5 x} x + 4 \textit{\Large e}^{5 x}$

$- 3 y''' + 24 y'' - 45 y' = 7 \textit{\Large e}^{- 8 x} x^{2} - 35 \textit{\Large e}^{- 8 x} x + 28 \textit{\Large e}^{- 8 x}$
$10 y''' - 80 y'' + 150 y' = 4 \textit{\Large e}^{- 7 x} x^{2} + 8 \textit{\Large e}^{- 7 x} x - 60 \textit{\Large e}^{- 7 x}$
$7 y''' - 28 y'' + 28 y' = 10 \textit{\Large e}^{2 x} x^{2} + 100 \textit{\Large e}^{2 x} x + 250 \textit{\Large e}^{2 x}$
$- 2 y''' - 6 y'' + 8 y' = - 9 \textit{\Large e}^{- 9 x} x^{2} + 36 \textit{\Large e}^{- 9 x} x + 45 \textit{\Large e}^{- 9 x}$

$2 y'' + 6 y = 6 + 10 \textit{\Large e}^{- 7 x}$
$10 y'' - 50 y = 6 - 5 \textit{\Large e}^{- 3 x}$
$- 8 y'' - 32 y = - 10 \textit{\Large e}^{8 x} + 4$
$7 y'' + 35 y = - 6 \textit{\Large e}^{2 x} - 3$

$- 8 y'' - 24 y = 10 x - 30 + 7 \textit{\Large e}^{- x}$
$8 y'' - 8 y = - 10 \textit{\Large e}^{6 x} + 9 x + 27$
$- 9 y'' + 9 y = - 10 \textit{\Large e}^{3 x} + 7 x - 21$
$- 9 y'' + 18 y = - 9 x + 9 - 2 \textit{\Large e}^{- 8 x}$

$y''' + 2 y'' - 15 y' = - 2 x^{2} + 4 x + 16 - 3 \textit{\Large e}^{- 8 x} x - 9 \textit{\Large e}^{- 8 x}$
$- y''' + 4 y'' - 4 y' = 10 \textit{\Large e}^{x} x + 10 \textit{\Large e}^{x} + 10 x^{2} - 10 x - 120$
$- 7 y''' + 7 y'' + 14 y' = 8 \textit{\Large e}^{3 x} x + 24 \textit{\Large e}^{3 x} - 9 x^{2} + 45 x - 54$
$y''' + y'' = - 10 x^{2} + 30 x + 100 + 4 \textit{\Large e}^{- 4 x} x - 20 \textit{\Large e}^{- 4 x}$

$5 y''' - 5 y = - 2 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 7 \textit{\Large e}^{- 2 x} x + 7 \textit{\Large e}^{- 2 x}$
$- 3 y''' + 18 y'' - 24 y' = - 4 \textit{\Large e}^{3 x} x - 4 \textit{\Large e}^{3 x} + x^{3} - 2 x^{2} + x$
$- 9 y''' - 18 y'' + 72 y' = 10 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 6 \textit{\Large e}^{- 4 x} x$
$2 y''' - 12 y'' + 16 y' = 3 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - \textit{\Large e}^{- 3 x} x - \textit{\Large e}^{- 3 x}$

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes

10.04.202110.04.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales homogéneas de segundo orden determinando la ecuación auxiliar.

$10 y'' + 50 y'+ 60y = 0$
$y'' + 5 y'+ 6y = 0$
$2 y'' - 12 y'+ 10y = 0$
$- 5 y'' - 45 y'- 100y = 0$

$4 y''' - 12 y'' + 12 y'- 4y = 0$
$3 y''' + 12 y'' = 0$
$9 y''' + 108 y'' + 405 y'+ 450y = 0$
$5 y''' + 15 y'' - 5 y'- 15y = 0$

$- 6 y^{(4)} + 6 y''' + 84 y'' - 144 y' = 0$
$3 y^{(4)} + 21 y''' + 18 y'' - 96 y'- 96y = 0$
$- 3 y^{(4)} - 6 y''' + 9 y'' + 24 y'+ 12y = 0$
$5 y^{(4)} - 10 y''' - 15 y'' + 40 y'- 20y = 0$

$2 y^{(5)} + 8 y^{(4)} - 44 y''' - 200 y'' - 150 y' = 0$
$5 y^{(5)} - 145 y''' + 500 y' = 0$
$2 y^{(5)} - 6 y^{(4)} - 50 y''' + 166 y'' + 48 y'- 160y = 0$
$- 10 y^{(5)} - 40 y^{(4)} + 130 y''' + 520 y'' - 360 y'- 1440y = 0$

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas con una solución conocida

10.04.202128.05.2021 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo orden tomando en cuenta la solución particular $y_1$ indicada.

$8 x^{2} y'' + 4 x y' - 24 y = 0$ con solución particular $y_1 = - 9 x^{2}$
$10 x^{2} y'' - 20 y = 0$ con solución particular $y_1 = - 5 x^{2}$
$- 9 x^{2} y'' + 6 x y' + 6 y = 0$ con solución particular $y_1 = - 7 x^{2}$
$- 2 x^{2} y'' + 7 x y' - 10 y = 0$ con solución particular $y_1 = 2 x^{2}$

$5 x^{2} y'' + 3 x y' - 16 y = 0$ con solución particular $y_1 = 5 x^{2}$
$- 3 x^{2} y'' + 3 x y' = 0$ con solución particular $y_1 = 6 x^{2}$
$4 x^{2} y'' - 4 x y' = 0$ con solución particular $y_1 = - 5 x^{2}$
$2 x^{2} y'' - 2 x y' = 0$ con solución particular $y_1 = - 6 x^{2}$

$- 126 y - 2 y' + y'' = 0$ con solución particular $y_1 = - \textit{\Large e}^{9 x}$
$- 280 y + y' + 9 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 4 \textit{\Large e}^{- 4 x}$
$- 800 y - 2 y' + 6 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 8 x}$
$20 y - 9 y' - 7 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- 2 x}$

$- 8 y' + 4 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 6 \textit{\Large e}^{2 x}$
$- 36 y + 9 y' + 9 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 2 x}$
$- 2 y - 9 y' - 8 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- x}$
$72 y - 6 y' - 6 y'' = 0$ con solución particular $y_1 = - 4 \textit{\Large e}^{- 3 x}$

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

10.04.202107.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Una ecuación de la forma

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

es homogénea si $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones homogéneas del mismo grado, es decir,

$M(tx,ty) = t^\alpha M(x,y) \text{ y } N(tx,ty) = t^\alpha N(x,y), \, \alpha \in \mathbb{R}$

En este caso, las sustituciones $y=ux$ o $x=vy$ reducen la ecuación diferencial homogénea de grado $\alpha$ a una Ecuación Diferencial de Variables Separables.

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$\left(- 65 x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3}\right) dx + \left(210 x^{5} + 4 x^{3} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(5 x^{2} y^{4} - 24 y^{6}\right) dx + \left(- 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}\right) dy = 0$
$\left(4 x^{2} y^{3} - 18 y^{5}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$
$\left(- 6 x^{8} y^{2} - 15 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(36 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(5 x^{2} y^{4} + 8 y^{6}\right) dx + \left(- x^{3} y^{3} - 12 x^{2} y^{4}\right) dy = 0$
$\left(40 x^{5} y^{2} - 14 x^{4} y^{3}\right) dx + \left(- 48 x^{7} + 6 x^{5} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(9 x^{2} y^{8} - 84 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} + 54 x^{2} y^{8}\right) dy = 0$
$\left(80 x^{6} y^{2} + x^{5} y^{3}\right) dx + \left(168 x^{8} + 7 x^{6} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(6 x^{2} y^{5} - 72 y^{7}\right) dx + \left(- 2 x^{3} y^{4} - 28 x^{2} y^{5}\right) dy = 0$
$\left(- 8 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3}\right) dx + \left(- 16 x^{6} + 5 x^{4} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(9 x^{2} y^{8} + 48 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} - 42 x^{2} y^{8}\right) dy = 0$
$\left(2 x^{7} y^{2} - 9 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(24 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(4 x^{2} y^{3} + 81 y^{5}\right) dx + \left(- 7 x^{3} y^{2} + 18 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$
$\left(52 x^{7} y^{2} - 4 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(144 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(9 x^{2} y^{8} - 36 y^{10}\right) dx + \left(- 18 x^{3} y^{7} - 45 x^{2} y^{8}\right) dy = 0$
$\left(77 x^{8} y^{2} - 16 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(- 168 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0$

$\left(51 x y^{7} - 3 y^{8}\right) dx + \left(324 x^{4} y^{4} - 252 x^{3} y^{5}\right) dy = 0$
$\left(- 46 x y^{3} + 70 y^{4}\right) dx + \left(- 2 x^{4} - 22 x^{3} y\right) dy = 0$
$\left(- 120 x^{6} y^{3} - 6 x^{5} y^{4}\right) dx + \left(- 1296 x^{9} - 738 x^{8} y\right) dy = 0$
$\left(531 y^{5} - \frac{630 y^{6}}{x}\right) dx + \left(9 x^{3} y^{2} - 126 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$

$\left(4 x^{6} y^{2} - 2 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(- \frac{120 x^{9}}{y} + 46 x^{8}\right) dy = 0$
$\left(27 y^{4} - \frac{54 y^{5}}{x}\right) dx + \left(3 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2}\right) dy = 0$
$\left(55 x^{6} y^{2} - 5 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(\frac{80 x^{9}}{y} - 130 x^{8}\right) dy = 0$
$\left(- 795 y^{5} + \frac{1890 y^{6}}{x}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 110 x^{2} y^{3}\right) dy = 0$

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