Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

16.09.202016.09.2020 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

El conjunto de todas las ecuaciones diferenciales es bastante amplio, es por esto que empezaremos su estudio desarrollando algunas de las técnicas para calcular la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, así que empecemos por definir este tipo de ecuaciones. Formalmente diremos que este tipo de ecuaciones se expresa de la siguiente forma

$F(x,y,y')=0$

Antes de abordar las técnicas básicas para calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, veamos algunos ejemplos para aprender a identificarlas.

Ejemplos

Ejemplo 1

La ecuación diferencial $y-y'=0$ involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 2

La ecuación diferencial $2x^6y' + 9x^8y^4 = 0$ involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 3

La ecuación diferencial $5y' - 20y = 30$ involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 4

La ecuación diferencial $2x^2y' + 4xy = 7x^4$ involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo 5

La ecuación diferencial $6 y' \textit{\Large e}^{x} - 8y = \textit{\Large e}^{2x}$ involucra sólo una variable independiente y la derivada de mayor orden involucrada es de primer orden, por lo tanto, concluimos que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

15.09.202007.04.2025 Anthonny Arias-García2 comentarios

Definición

Definimos una ecuación diferencial como una expresión matemática que establece una relación entre una o más variables independientes; una o más variables dependientes; y las derivadas de estas variables dependientes a través de una igualdad.

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Formalmente, considerando una variable independiente $x$ y una variable que dependiente $y$ , diremos que la siguiente expresión es una Ecuación Diferencial:

$F \left( x,y,y',y'', \dots ,y^{(n)} \right)=0$

De forma particular, si consideramos la siguiente relación

$y - y' = 0$

diremos que ésta es una ecuación diferencial.

Nuestro propósito será el de determinar qué función $y$ es la que satisface esta igualdad y en este ejemplo, a simple vista podemos notar que $y=\textit{\Large e}^x$ es una solución de esta ecuación diferencial pues $\textit{\Large e}^x - \left( \textit{\Large e}^x \right)' = 0$ .

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene su base en el desarrollo de distintas técnicas para hallar la solución de distintas ecuaciones diferenciales y para esto debemos clasificarlas.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de tres formas: Por tipo, por linealidad y por orden.

Por tipo: Si la ecuación diferencial involucra derivadas respecto a sólo una variable independiente, diremos que la ecuación diferencial es ordinaria. En otro caso, diremos que es una ecuación diferencial parcial.

Por linealidad: Una ecuación diferencial es lineal si ésta es lineal respecto a la variable dependiente y sus derivadas.

Por orden: El orden de una ecuación diferencial viene dada por la derivada de mayor orden que se encuentre involucrada en ésta.

A medida que aprendamos las técnicas para calcular soluciones de ecuaciones diferenciales, veremos otras formas de clasificarlas, por ahora consideremos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales para determinar la clasificación que hemos visto.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la ecuación diferencial $y - y' = 0$ , entonces

Es ordinaria pues si consideramos $y'=\frac{dy}{dx}$ , notamos que ésta sólo involucra la derivada de sólo una variable independiente.
Es lineal ya que el exponente de $y$ y $y'$ es exactamente igual a uno.
Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de primer orden.

Ejemplo 2

Si consideramos la ecuación diferencial $3xy''' + 2x^4y^3 = 6x^3$ , entonces

Es ordinaria pues ésta sólo involucra una variable independiente.
No es lineal ya que la variable dependiente $y$ está elevada al cubo.
Es de tercer orden porque la derivada de mayor orden es de tercer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Ordinaria no lineal de tercer orden.

Ejemplo 3

Si consideramos la ecuación diferencial $5 \frac{\partial y}{\partial x } + 9 \frac{\partial y}{\partial z } = 6x^3y - 7z^5$ , entonces

Es parcial pues ésta involucra las derivadas respecto a más de una variable independiente.
Es lineal ya que el exponente de $y$ , $\frac{\partial y}{\partial x }$ y $\frac{\partial y}{\partial z }$ es exactamente igual a uno.
Es de primer orden porque la derivada de mayor orden es de primer orden.

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Parcial lineal de primer orden.

Nota: Todas las ecuaciones diferenciales que consideraremos mientras estudiemos los aspectos básicos, serán Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, es por esto que siempre consideraremos $y' = \frac{dy}{dx}$ , salvo que se indique otra variable dependiente u otra variable independiente.

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Solución de una Ecuación Diferencial

Si consideramos la ecuación diferencial

$F \left( x,y,y',y'', \ldots ,y^{(n)} \right)=0$

Diremos que una función $y_0$ definida en un intervalo $I$ con $n$ derivadas continuas en el intervalo $I$ es la solución de esta ecuación diferencial de $n$ -ésimo orden, si esta satisface la igualdad planteada, es decir, tal que

$F \left( x,y_0,y_0',y_0'', \ldots ,y_0^{(n)} \right)=0$

Consideremos algunos ejemplos para que ilustrar esta idea con mayor claridad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $y - y' = 0$

La función $y_0 = \textit{\Large e}^{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial, pues

$\displaystyle \textit{\Large e}^{x} - \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' = \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} = 0$

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que $y_0$ no es la única solución, si consideramos $y_1 = 3 \textit{\Large e}^{x}$ , esta también es una solución particular, ya que

$\displaystyle 3\textit{\Large e}^{x} - \left( 3\textit{\Large e}^{x} \right)' = 3\textit{\Large e}^{x} - 3\textit{\Large e}^{x} = 0$

De forma general, si consideramos $y = C \cdot \textit{\Large e}^{x}$ para cualquier constante real $C$ diremos que este tipo de solución es una solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $xy' - 2y = 0$

La función $y_0 = x^2$ es una solución de esta ecuación diferencial, pues

$\displaystyle x(x^2)' - 2(x^2) = x(2x) - 2x^2 = x^2 - x^2 = 0$

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que $y_0$ no es la única solución, si consideramos $y_1 = -5x^2$ , esta también es una solución particular, ya que

$\displaystyle x(-5x^2)' - 2(-5x^2) = x(-10x) +10x^2 = -10x^2 + 10x^2 = 0$

De forma general, si consideramos $y = C \cdot x^2$ para cualquier constante real $C$ diremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 3

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0$ .

La función $y_0 = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial, pues

$\displaystyle \left( x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right)' - x \textit{\Large e}^{x} = \left( \textit{\Large e}^{x} + x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right) - x\textit{\Large e}^{x} = 0$

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que $y_0$ no es la única solución, si consideramos $y_1 = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 1$ , esta también es una solución particular, ya que

$\displaystyle \left( x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + 1 \right)' - x \textit{\Large e}^{x} = \left( \textit{\Large e}^{x} + x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} \right) - x\textit{\Large e}^{x} = 0$

De forma general, si consideramos $x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x} + C$ para cualquier constante real $C$ diremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $xy' + y = 0$

La función $y_0 = \frac{1}{x}$ es una solución de esta, pues

$\displaystyle x\left( \frac{1}{x} \right)' + \frac{1}{x} = x\left(-\frac{1}{x^2} \right) + \frac{1}{x} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = 0$

Diremos que esta es una solución particular pues debemos notar que la pena notar que $y_0$ no es la única solución, si consideramos $y_1 = \frac{2}{x}$ , esta también es una solución particular, ya que

$\displaystyle x\left( \frac{2}{x} \right)' + \frac{2}{x} = x\left( -\frac{2}{x^2} \right) + \frac{2}{x} = - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} = 0$

De forma general, si consideramos $\frac{C}{x}$ para cualquier constante real $C$ diremos que esta es la solución general de la ecuación diferencial.

Tomando en cuenta los ejemplos expuestos, las soluciones de los primeros ejemplos están definidas para todos los números reales, sin embargo, esto no ocurre al considerar las soluciones de $xy' + y = 0$ pues particularmente, la función $y_0 = \frac{1}{x}$ no está definida cuando $x=0$ . En este último caso, los intervalos $(-\infty,0)$ y $(0,+\infty)$ son los intervalos más grandes donde la solución está definida.

Entonces, es importante mencionar que al calcular la solución de una ecuación diferencial, por definición, esta debe estar definida en intervalos, es por esto que siempre consideraremos el mayor intervalo donde la solución y sus derivadas están definidas.

Problemas de Valor Inicial

Hay ecuaciones diferenciales cuya solución está condicionada sobre un punto, este tipo de condiciones es llamado problemas de condición inicial. Formalmente, diremos que la ecuación diferencial tiene un problema de valor inicial si la solución debe cumplir con la condición $y(x_0) = y_0$ . Sin embargo, ¿cómo sabemos que en efecto podemos encontrar la solución de una ecuación que cumpla con esa condición? A continuación veremos un teorema que nos permitirá determinar si una ecuación diferencial con un problema de valor inicial tiene solución.

Teorema (de Existencia y Unicidad)

Considerando una ecuación diferencial de la forma $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ y $R$ una región rectangular en el plano $XY$ que contiene al punto $(x_0,y_0)$ en su interior, definida por

$a \leq x \leq b \ \text{ y } \ c \leq y \leq d$

Si $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en la región $R$ , entonces existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0$ contenido en $[a,b]$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución del problema de valor inicial $y(x_0) = y_0$ .

Las ecuaciones diferenciales que consideraremos de aquí en adelante cumplirán con las condiciones del Teorema de Existencia y Unicidad salvo que se diga lo contrario, sin embargo, siempre es importante verificar que se cumplan las condiciones antes de empezar a calcular la solución de una ecuación diferencial.

Ejemplos

Ejemplo 5

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $y - y' = 0$ con problema de valor inicial $y(0)=1$ , esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

$y' = y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = y \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 1$

Así, $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en cualquier región $R$ del plano $XY$ , existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0 = 0$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial $y(0) = 1$ .

Particularmente la función $y = \textit{\Large e}^{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

$y(0) = \textit{\Large e}^{0} = 1$

Ejemplo 6

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $xy' - 2y = 0$ con problema de valor inicial $y(2)=4$ , esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

$xy' - 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = \frac{2y}{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{x}$

Así, considerando que $x_0=2$ , $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en cualquier región $R$ del plano $XY$ tal que $0 < x < b$ ( $b > 2$ ), existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0 = 2$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial $y(2) = 4$ .

Particularmente la función $y = x^2$ es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

$y(2) = (2)^2 = 4$

Ejemplo 7

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0$ con problema de valor inicial $y(1)=0$ , esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

$y' - x \textit{\Large e}^{x} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = x \textit{\Large e}^{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = 0$

Así, $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en cualquier región $R$ del plano $XY$ , existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0 = 1$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial $y(1) = 0$ .

Particularmente la función $y = x \textit{\Large e}^{x} - \textit{\Large e}^{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

$y(0) = (1) \textit{\Large e}^{1} - \textit{\Large e}^{1} = 0$

Ejemplo 8

Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria $xy' + y = 0$ con problema de valor inicial $y(1)=1$ , esta ecuación cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad, pues

$xy' + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = f(x,y) = -\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{x}$

Así, considerando que $x_0=1$ , $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones continuas en cualquier región $R$ del plano $XY$ tal que $0 < x < b$ ( $b > 1$ ), existe un intervalo $I_0$ centrado en $x_0 = 1$ y una única función $y(x)$ , definida en el intervalo $I_0$ que es solución de la ecuación diferencial con problema de valor inicial $y(1) = 1$ .

Particularmente la función $y = \frac{1}{x}$ es una solución de esta ecuación diferencial que satisface la condición dada por el valor inicial, pues

$y(1) = \frac{1}{1} = 1$

Interés Compuesto

10.09.202027.03.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Cuando usted guarda su dinero en un banco, usted está prestando este dinero y es por esto que cada cierto periodo de tiempo los bancos le abonan una cierta cantidad de dinero basada en lo que usted tenga guardado en el banco, este abono es conocido como interés y es posible describir esto de forma matemática.

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Deducción de la fórmula de Interés Compuesto

Una vez que una persona ha depositado un monto de dinero en un banco, definimos una tasa de interés como un porcentaje del monto y que el banco retribuirá a la persona cada cierto periodo de tiempo. Formalmente, si una persona invierte un capital $P$ en un banco que ofrece una tasa de interés del $r$ por ciento, entonces, definimos el interés sobre este monto de la siguiente forma

$I = P \cdot \frac{r}{100}$

Al estudiar el interés simple, hemos calculado los intereses con base en el capital inicial que se ha depositado en la cuenta, sin embargo, este no siempre será el caso, pues en ocasiones los intereses se calculan con base en el capital acumulado hasta el periodo previo, a este tipo de interés se le conoce como interés compuesto, de forma que si el capital inicial es igual a $P_1$ , entonces tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, esta persona ha acumulado un capital de

$P_1$

Durante el transcurso del \textbf{segundo periodo}, esta persona ha generado un $r$ por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de $P_{2} = P_{1} + P_{1} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $P_{1}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del tercer periodo, esta persona ha generado un $r$ por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de $P_{3} = P_{2} + P_{2} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $P_{2}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del cuarto periodo, esta persona ha generado un $r$ por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de $P_{3} + P_{3} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $P_{3}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del n-ésimo periodo, esta persona ha generado un $r$ por ciento de intereses basado en el capital acumulado hasta el periodo anterior, es decir, durante este periodo ha acumulado un capital de $P_{n-1} + P_{n-1} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $P_{n-1}$ como un factor común, obtenemos

De esta forma, tenemos que durante el transcurso del n-ésimo periodo, el capital acumulado está dado por

$\displaystyle P_1 \cdot \left( 1 + \dfrac{r}{100} \right)^{n-1}$

Notando entonces el capital acumulado durante el transcurso del n-ésimo periodo está determinando por una sucesión geométrica creciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de interés compuesto, al valor $P_1$ se le conoce como capital inicial y a $r$ se le conoce como la tasa interés. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 6010$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 28.572 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 10.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 6010 \cdot \left(1 + \frac{ 28.572 }{ 100 } \right)^{ 10 -1} = 57702.16$

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 10 es de 57702.16 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 9442$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 11.917 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 7.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 9442 \cdot \left(1 + \frac{ 11.917 }{ 100 } \right)^{ 7 -1} = 18554.12$

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 7 es de 18554.12 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 6095$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 41.829 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 2.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 6095 \cdot \left(1 + \frac{ 41.829 }{ 100 } \right)^{ 2 -1} = 8644.48$

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 2 es de 8644.48 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 9778$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del 48.981 por ciento anual. Determine cuanto capital habrá acumulado esta persona durante el transcurso del año 3.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 9778 \cdot \left(1 + \frac{ 48.981 }{ 100 } \right)^{ 3 -1} = 21702.6$

Por lo tanto, el capital acumulado durante el transcurso del año 3 es de 21702.6 Ps.

Determinar la fórmula general de interés compuesto

Considerando que la fórmula interés compuesto está determinada por una sucesión geométrica, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el capital acumulado durante el transcurso de dos años distintos, digamos $P_i = P_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(i-1)}$ y $P_j = P_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(j-1)}$ , podemos determinar los valores de $P_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de interés compuesto usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló $P_{3} = 6222$ durante el transcurso del año 3 y $P_{16} = 6609$ durante el transcurso del año 16. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el $n$ -ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{P_1}{P_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-13)} = \frac{2074}{2203}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-13}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, el capital inicial es $P_1 = \frac{980033331}{158980} \approx 6164.51$ y la tasa de interés compuesto es de $r = \frac{239661}{515134} \approx 0.47$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

$P_n = \frac{980033331}{158980} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{239661}{515134}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 6

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló $P_{5} = 4215$ durante el transcurso del año 5 y $P_{7} = 7212$ durante el transcurso del año 7. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el $n$ -ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{P_1}{P_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-2)} = \frac{1405}{2404}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-2}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, el capital inicial es $P_1 = \frac{252311386}{175249} \approx 1439.73$ y la tasa de interés compuesto es de $r = \frac{26209889}{850793} \approx 30.81$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

$P_n = \frac{252311386}{175249} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{26209889}{850793}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 7

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló $P_{18} = 3488$ durante el transcurso del año 18 y $P_{20} = 9727$ durante el transcurso del año 20. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el $n$ -ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{P_1}{P_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-2)} = \frac{3488}{9727}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-2}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, el capital inicial es $P_1 = \frac{533896}{934977} \approx 0.57$ y la tasa de interés compuesto es de $r = \frac{55050488}{821721} \approx 66.99$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

$P_n = \frac{533896}{934977} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{55050488}{821721}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 8

Después de haber depositado capital en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto, una persona acumuló $P_{2} = 3435$ durante el transcurso del año 2 y $P_{13} = 5854$ durante el transcurso del año 13. Determine la fórmula general de interés compuesto que determina el capital acumulado durante el $n$ -ésimo año.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{P_1}{P_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1+\frac{r}{100} \right)^{(-11)} = \frac{3435}{5854}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-11}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $P_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $P_1$

Finalmente, el capital inicial es $P_1 = \frac{3260072111}{996204} \approx 3272.49$ y la tasa de interés compuesto es de $r = \frac{4846307}{975937} \approx 4.97$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el capital acumulado de la siguiente manera:

$P_n = \frac{3260072111}{996204} \cdot \left(1 + \dfrac{ \frac{4846307}{975937}}{100}\right)^{(n-1)}$

¿Cuántos periodos?

Un aspecto importante de la fórmula de interés compuesto es que nos permite proyectar inversiones en un banco pues, una vez que se ha depositado una cantidad de dinero, es posible determinar los periodos que deben transcurrir hasta acumular un capital determinado. Veamos en los siguiente ejemplos como determinar esto.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 4959$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del $r=40.554$ por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 48239.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 4959 \cdot \left( 1 + \frac{40.554}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 48239$ , es decir, para el cual $4959 \cdot \left( 1 - \frac{40.554}{100} \right)^{(n-1)} = 48239$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, habrá acumulado 48239 en aproximadamente 8 años.

Ejemplo 10

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 3115$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del $r=38.09$ por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 6548.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 3115 \cdot \left( 1 + \frac{38.09}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 6548$ , es decir, para el cual $3115 \cdot \left( 1 - \frac{38.09}{100} \right)^{(n-1)} = 6548$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, habrá acumulado 6548 en aproximadamente 3 años.

Ejemplo 11

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 5882$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del $r=3.367$ por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 36886.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 5882 \cdot \left( 1 + \frac{3.367}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 36886$ , es decir, para el cual $5882 \cdot \left( 1 - \frac{3.367}{100} \right)^{(n-1)} = 36886$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, habrá acumulado 36886 en aproximadamente 56 años.

Ejemplo 12

Suponga que una persona ha depositado un capital $P = 7201$ Ps. en un banco que ofrece una tasa de interés compuesto del $r=41.714$ por ciento anual. Determine el año en que esta persona ha acumulado 50441.

Aplicando la fórmula de interés compuesto, el capital acumulado durante el transcurso del $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$P_n = 7201 \cdot \left( 1 + \frac{41.714}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $P_n= 50441$ , es decir, para el cual $7201 \cdot \left( 1 - \frac{41.714}{100} \right)^{(n-1)} = 50441$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, habrá acumulado 50441 en aproximadamente 7 años.

Ecuación Racional – Ejercicio Propuesto por un usuario

09.09.202007.12.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

En esta ocasión, abordamos el ejercicio propuesto por el usuario de totumat, Mario Obando García en un comentario:

El ejercicio tal como está planteado no tiene solución, pues si

$\frac{5}{2x} - 1 = \frac{1}{x} - 1$

El -1 que está en el lado derecho de la ecuación, se cancela con el -1 que está en el lado izquierdo, de esta forma obtenemos

$\frac{5}{2x} = \frac{1}{x}$

Luego, el $2x$ que está dividiendo al $5$ en el lado izquierdo de la ecuación pasa a multiplicar al lado derecho y de igual forma, la $x$ que está dividiendo al $1$ en el lado izquierdo pasa a multiplicar al lado derecho, así obtenemos

$5x =2x$

Y esta igualdad sólo se mantiene cuando $x = 0$ , pero esto es imposible, porque al sustituir este valor en la ecuación original tenemos

$\frac{5}{2 \cdot (0)} - 1 = \frac{1}{0} - 1$

Pero la división por cero no está definida. Es por esto que concluimos que la ecuación no tiene solución.

Depreciación Porcentual

07.09.202027.03.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Al estudiar la depreciación simple, hemos visto como un bien pierde su valor describiéndolo de forma lineal, es decir, cuando su valor ser pierde de forma constante a través del tiempo, sin embargo, este no siempre será el caso, pues en ocasiones el valor de un bien se pierde dependiendo de las condiciones que se encuentre actualmente.

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Digamos que este bien se adquiere en $V_1$ y que este se deprecia en un $r$ por ciento cada cierto periodo de tiempo. Entonces, tenemos que

Durante el transcurso del primer periodo, este bien tiene un valor de

Durante el transcurso del segundo periodo, este bien ha perdido un $r$ por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de $V_{2} = V_{1} - V_{1} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $V_{1}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del tercer periodo, este bien ha perdido un $r$ por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de $V_{3} = V_{2} - V_{2} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $V_{2}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del cuarto periodo, este bien ha perdido un $r$ por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de $V_{3} - V_{3} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $V_{3}$ como un factor común, obtenemos

Durante el transcurso del n-ésimo periodo, este bien ha perdido un $r$ por cierto el valor que tenía en el periodo anterior, es decir, durante este periodo su valor es de $V_{n-1} - V_{n-1} \cdot \frac{r}{100}$ y una vez que hemos sacado $V_{n-1}$ como un factor común, obtenemos

De esta forma, tenemos que en el n-ésimo periodo, el valor del bien está dado por

$\displaystyle V_1 \cdot \left( 1 - \dfrac{r}{100} \right)^{n-1}$

Notando entonces que el valor de este bien durante el transcurso del $n$ -ésimo periodo está determinado por una sucesión geométrica decreciente, a esta expresión se le conoce como la fórmula de depreciación porcentual, al valor $V_1$ se le conoce como valor inicial y a $r$ se le conoce como la tasa porcentual de depreciación. Veamos entonces algunos ejemplos donde podemos aplicar esta fórmula.

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de $V_1 = 3297$ Ps. y esta se deprecia en un $r = 33.44$ por ciento anual. Determine su valor en el año 4.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 3297 \cdot \left(1 - \frac{ 33.44 }{ 100 } \right)^{ 4 -1} = 972.21$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 4 es de 972.21 Ps.

Ejemplo 2

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de $V_1 = 9175$ Ps. y esta se deprecia en un $r = 4.406$ por ciento anual. Determine su valor en el año 10.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 9175 \cdot \left(1 - \frac{ 4.406 }{ 100 } \right)^{ 10 -1} = 6116.2$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 10 es de 6116.2 Ps.

Ejemplo 3

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de $V_1 = 1655$ Ps. y esta se deprecia en un $r = 29.374$ por ciento anual. Determine su valor en el año 8.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 1655 \cdot \left(1 - \frac{ 29.374 }{ 100 } \right)^{ 8 -1} = 145.06$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 8 es de 145.06 Ps.

Ejemplo 4

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de $V_1 = 4308$ Ps. y esta se deprecia en un $r = 28.207$ por ciento anual. Determine su valor en el año 2.

Aplicando la fórmula, el valor de este bien viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 4308 \cdot \left(1 - \frac{ 28.207 }{ 100 } \right)^{ 2 -1} = 3092.84$

Por lo tanto, el valor de este bien en el año 2 es de 3092.84 Ps.

Determinar la fórmula general de depreciación porcentual

Considerando que la fórmula depreciación porcentual está determinada por una sucesión geométrica, es posible determinar la fórmula general de depreciación conociendo el valor que tuvo el bien en dos años distintos.

Formalmente, si consideramos el valor que el bien adquirió en dos años distintos, digamos $V_i = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(i-1)}$ y $V_j = V_1 \cdot \left(1 - \frac{r}{100} \right)^{(j-1)}$ , podemos determinar el valor de $V_1$ y de $r$ calculando la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar la fórmula general de depreciación porcentual usando esta técnica.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando que una moledora de carne tuvo un valor de $V_{10} = 6319$ en el año 10 y $V_{13} = 2710$ en el año 13 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{V_1}{V_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-3)} = \frac{6319}{2710}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-3}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, el valor inicial del bien es $V_1 = \frac{74591179153}{931112} \approx 80109.78$ y la tasa porcentual de depreciación es de $r = \frac{16100067}{654793} \approx 24.59$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{74591179153}{931112} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{16100067}{654793}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 6

Considerando que una amasadora tuvo un valor de $V_{3} = 6278$ en el año 3 y $V_{19} = 2517$ en el año 19 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{V_1}{V_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{6278}{2517}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-16}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, el valor inicial del bien es $V_1 = \frac{7021696079}{997708} \approx 7037.83$ y la tasa porcentual de depreciación es de $r = \frac{4725327}{851057} \approx 5.55$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{7021696079}{997708} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{4725327}{851057}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 7

Considerando que una batidora de cemento tuvo un valor de $V_{2} = 4124$ en el año 2 y $V_{3} = 2929$ en el año 3 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{V_1}{V_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-1)} = \frac{4124}{2929}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-1}$ para obtener que

Una vez calculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, el valor inicial del bien es $V_1 = \frac{17007376}{2929} \approx 5806.55$ y la tasa porcentual de depreciación es de $r = \frac{29875}{1031} \approx 28.98$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

$V_n = \frac{17007376}{2929} \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{29875}{1031}}{100}\right)^{(n-1)}$

Ejemplo 8

Considerando que una máquina de espresso tuvo un valor de $V_{1} = 3501$ en el año 1 y $V_{17} = 2377$ en el año 17 . Determine la fórmula general de depreciación porcentual de este bien.

Para esto, calculamos la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Para calcular la solución de este sistema de ecuaciones dividimos ambas ecuaciones, notando que $\frac{V_1}{V_1} = 1$ para obtener la siguiente ecuación

$\left( 1-\frac{r}{100} \right)^{(-16)} = \frac{3501}{2377}$

A partir de esta ecuación podemos despejar $r$ y para esto, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia $\frac{1}{-16}$ para obtener que

Una vez calcculado $r$ , podemos sustituir $r$ en la ecuación de nuestra preferencia para calcular $V_1$ . Particularmente sustituimos $r$ en la primera ecuación y despejamos $V_1$

Finalmente, el valor inicial del bien es $V_1 = 3501$ y la tasa porcentual de depreciación es de $r = \frac{1236633}{517201} \approx 2.39$ por ciento. Entonces podemos expresar la fórmula general que define el valor de este bien de la siguiente manera:

$V_n = 3501 \cdot \left(1 - \dfrac{\frac{1236633}{517201}}{100}\right)^{(n-1)}$

El valor de desecho

A medida que un bien pierde su valor, llega un punto en el que entrará en desuso o que su reventa no presentará un ingreso significativo, a este valor se le conoce como valor de desecho (o valor residual) y los años que pasan desde que se adquiere el bien hasta que su valor es igual al valor de desecho, se conoce como vida útil del bien.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la vida útil de un bien considerando que su depreciación ha sido porcentual.

Ejemplos

Ejemplo 9

Suponga que una carnicería adquiere una moledora de carne con un valor de $V_1 = 8379$ Ps. y esta se deprecia en $r = 7.159$ por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 4190 .

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 4190$ , es decir, para el cual $8379 \cdot \left( 1 - \frac{7.159}{100} \right)^{(n-1)} = 4190$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la moledora de carne tiene una vida útil de aproximadamente 10 años.

Ejemplo 10

Suponga que una panificadora adquiere una amasadora con un valor de $V_1 = 6523$ Ps. y esta se deprecia en $r = 18.953$ por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 815.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 815$ , es decir, para el cual $6523 \cdot \left( 1 - \frac{18.953}{100} \right)^{(n-1)} = 815$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la amasadora tiene una vida útil de aproximadamente 11 años.

Ejemplo 11

Suponga que una empresa constructora adquiere una batidora de cemento con un valor de $V_1 = 9292$ Ps. y esta se deprecia en $r = 33.818$ por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 3097.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 3097$ , es decir, para el cual $9292 \cdot \left( 1 - \frac{33.818}{100} \right)^{(n-1)} = 3097$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la batidora de cemento tiene una vida útil de aproximadamente 4 años.

Ejemplo 12

Suponga que una cafetería adquiere una máquina de espresso con un valor de $V_1 = 6181$ Ps. y esta se deprecia en $r = 17.541$ por ciento anualmente. Determine su vida útil si su valor de desecho es igual a 2060.

Aplicando la fórmula de depreciación, el valor de este bien durante el $n$ -ésimo año viene dado de la siguiente manera:

$V_n = 6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)}$

Nuestro propósito es determinar el valor de $n$ para el cual $V_n= 2060$ , es decir, para el cual $6181 \cdot \left( 1 - \frac{17.541}{100} \right)^{(n-1)} = 2060$ y para esto, despejamos $n$ .

Por lo tanto, la máquina de espresso tiene una vida útil de aproximadamente 7 años.

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

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Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

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Ejemplo 2

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Ejemplo 9

Ejemplo 10

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Ejemplo 12

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Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Determinar la fórmula general de depreciación porcentual

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

El valor de desecho

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

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