Ecuaciones en Diferencias Finitas: Estabilidad

Hemos dicho que nos interesa estudiar el comportamiento de la solución de una Ecuación en Diferencias Finitas alrededor de un punto particular, y este punto es el punto de equilibrio, así que una vez que sabemos como calcularlo. Veamos qué tipos de comportamiento podemos identificar.

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Punto estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si a partir de un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación, podemos definir un nuevo entorno sobre el punto de equilibrio que contiene al valor inicial, y así, asegurar que todos los elementos de la sucesión que define la solución están dentro del entorno original, entonces decimos que punto de equilibrio es estable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto estable si dado \varepsilon > 0, existe un número real \delta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \delta, entonces |y_{t} - P_e| < \varepsilon para todo t

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, entonces podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Punto inestable

Si al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo existirá un entorno del punto de equilibrio tal que por más cercano que el valor inicial esté del punto de equilibrio, hay un elemento de la sucesión que define la solución por fuera del entorno dicho entorno. En este caso, decimos que es el punto de equilibrio inestable.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto inestable si existe un número real \varepsilon > 0 y un número real \delta > 0 tal que

|y_0 - P_e| < \delta pero |y_{k} - P_e| > \varepsilon para algún k

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, pero no podemos garantizar que todos los puntos de la sucesión se mantienen en entre las líneas punteadas rojas.

fluctuaciones de amplitud creciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud creciente.
oscilaciones explosivas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones explosivas.


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Punto atractor

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si existe un entorno sobre el punto de equilibrio de esta ecuación que contiene al valor inicial, a partir del cual podemos asegurar que los elementos de la sucesión que define la solución se acercan cada vez más al punto de equilibrio, entonces decimos que el punto de equilibrio es un atractor.

Formalmente, si y_{t+1} = p \cdot y_{t} + q es una ecuación en diferencias finitas con condición inicial y_0, cuyo punto de equilibrio es P_e, diremos que este es un punto atractor si existe un número real \eta > 0 tal que si

|y_0 - P_e| < \eta, entonces \lim_{t \to \infty} y_{t} = P_e

Gráficamente, lo que ocurre es que si y_0 está entre las líneas punteadas azules, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

oscilaciones amortiguadas | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como oscilaciones amortiguadas.


Más aún, si esto se cumple para cualquier número real \eta, decimos que el punto de equilibrio es un punto atractor global. Gráficamente, lo que ocurre es que independientemente de sea cual sea el valor de y_0, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más a la línea negra.

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com
Este gráfico describe un comportamiento conocido como fluctuaciones de amplitud decreciente.


Asintóticamente estable

Al considerar una Ecuación en Diferencias Finitas con un valor inicial fijo, si el punto de equilibrio es estable y atractor, entonces decimos que es un punto de equilibrio asintóticamente estable.

Más aún, si el punto de equilibrio es estable y atractor global, entonces decimos que es un punto de equilibrio globalmente asintóticamente estable.

Veamos en los siguientes ejemplos, como determinar la estabilidad del punto de equilibrio.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = 2y_{t} + 5 con condición inicial y_0 = 10, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = 2^t \cdot 15 - 5 \text{ y } P_e= \frac{5}{1-2} = -5

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a +\infty, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo mayor que uno: 2; es decir,

\lim_{t \to \infty} 2^t \cdot 15 - 5 = +\infty

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud creciente:

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Ejemplo 2

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden y_{t+1} = -3y_{t} + 7 con condición inicial y_0 = \frac{2}{3}, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = (-3)^t \cdot \frac{2}{3} + \left( 1-(-3)^t \right) \left( \frac{7}{4} \right) \text{ y } P_e= \frac{7}{4}

Si intentamos calcular el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a +\infty para los valores pares de t y tiende a -\infty para los valores impares de t, esto se debe a que la base de la potencia es un número negativo menor que menos uno: -3; de esta forma, el límite no existe y concluimos que esta sucesión diverge.

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto inestable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe oscilaciones explosivas:

oscilaciones explosivas | totumat.com

Ejemplo 3

Considerando la Ecuación en Diferencias Lineal Autónoma de Primer Orden 10y_{t+1} = 5y_{t} + 4 con condición inicial y_0 = 20, hemos determinado que la solución y su punto de equilibrio son, respectivamente:

y_{t} = \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \left( \frac{4}{5} \right) \text{ y } P_e= \frac{4}{5}

Si calculamos el límite de la sucesión y_{t}, podemos notar que tiene a \frac{4}{5}, esto se debe a que la base de la potencia es un número positivo menor que uno: \frac{1}{2}; es decir,

\lim_{t \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^t \cdot 20 + \left( 1-\left( \frac{1}{2} \right)^t \right) \cdot \left( \frac{4}{5} \right) = 0 \cdot 20 + (1 - 0) \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio es un punto asintóticamente estable y más aún, al estudiar el comportamiento de esta sucesión, decimos que esta describe fluctuaciones de amplitud decreciente:

fluctuaciones de amplitud decreciente | totumat.com